[Nub]

Hola, en series habia un teorema que decia que si una serie converge entonces el termino general tiende a 0, para integrales impropias hay un resultado similar. Que dice si \( \displaystyle\int_{a}^{+\infty}f(t)dt \) converge y \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}=L \) existe entonces \( L=0 \)

Entonces... el contrareciproco del teorema para series me era útil, pues si es distinto de 0 el limite la serie no converge, pero el contrareciproco del teorema para integrales impropias no es útil, pues hay un contra ejemplo que una integral impropia converge y el limite no da 0
Entonces para que sea mas util creo que lo puedo arreglar, el contra reciproco es asi:

\( \text{Si } \lim_{x \to \infty} f(x) \neq 0, \text{ entonces la integral } \int_{a}^{\infty} f(t) \, dt \text{ no converge o no existe } \lim_{x \to \infty} f(x). \)

Entonces podria decir \( \text{Si } \lim_{x \to \infty} f(x) \text{ finito y} \lim_{x \to \infty} f(x) \neq 0, \text{ entonces la integral } \int_{a}^{\infty} f(t) \, dt \text{ no converge}  \)

¿Esta bien? siempre me confundo con el contrareciproco

[Juan Pablo Sancho]

Estaría bien.

[Nub]

Estaría bien.

Gracias

[Fernando Revilla]

Que dice si \( \displaystyle\int_{a}^{+\infty}f(t)dt \) converge y \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}=L \) existe entonces \( L=0 \)

Por si te interesa, aquí tienes la demostración (problema 5).

[Masacroso]

Entonces podria decir \( \text{Si } \lim_{x \to \infty} f(x) \text{ finito y} \lim_{x \to \infty} f(x) \neq 0, \text{ entonces la integral } \int_{a}^{\infty} f(t) \, dt \text{ no converge}  \)

Una generalización de ese teorema es el siguiente: si \( \liminf_{x\to\infty}f(x)>0 \) ó \( \limsup_{x\to\infty}f(x)<0 \) entonces \( \int_{a}^{\infty }f(x)\,d x \) no converge. Como irás viendo, los conceptos de límite superior y límite inferior, al ser más generales que el de límite, son más útiles en muchas situaciones.