[zorropardo]

Si $$K \subset{\mathbb{R}}$$ es compacto (con la topologia usual) y $$F$$ cerrado con $$F \subset{K}$$ entonces $$F$$ es compacto.

Como $$K$$ es compacto, entonces es cerrado y acotado, asi solo resta probar que $$F$$ es acotado, ya que por dato es cerrado.

Em efecto, como $$ F \subset K $$  entonces, para todo $$x \in F$$  implica $$x \in K.$$Por el hecho de que $$K$$ ser compacto, es tambien limitado entonces  $$ \exists{c>0} $$ tal que $$ |k| \leq{c}; \forall k \in K.$$  Em particular $$\forall x \in F \Rightarrow{x \in K}; |x| \leq{c}.$$ Asi $$|x| \leq{c}; \forall x \in F,$$ luego $$F$$ es acotada , por tanto $$F$$ es compacto. Esta bien 

[Luis Fuentes]

Hola

Si $$K \subset{\mathbb{R}}$$ es compacto (con la topologia usual) y $$F$$ cerrado con $$F \subset{K}$$ entonces $$F$$ es compacto.

Como $$K$$ es compacto, entonces es cerrado y acotado, asi solo resta probar que $$F$$ es acotado, ya que por dato es cerrado.

Em efecto, como $$ F \subset K $$  entonces, para todo $$x \in F$$  implica $$x \in K.$$Por el hecho de que $$K$$ ser compacto, es tambien limitado entonces  $$ \exists{c>0} $$ tal que $$ |k| \leq{c}; \forall k \in K.$$  Em particular $$\forall x \in F \Rightarrow{x \in K}; |x| \leq{c}.$$ Asi $$|x| \leq{c}; \forall x \in F,$$ luego $$F$$ es acotada , por tanto $$F$$ es compacto. Esta bien 

Está bien. El resultado es cierto en cualquier espacio topológico: un cerrado dentro de un compacto es compacto. Se puede demostrar fácilmente usando la definición de compacidad por recubrimientos y subrecubrimientos por abiertos
.
Saludos.

[zorropardo]

Muy agradecido.

[ani_pascual]

Hola:

Si $$K \subset{\mathbb{R}}$$ es compacto (con la topologia usual) y $$F$$ cerrado con $$F \subset{K}$$ entonces $$F$$ es compacto.
...

Te sugiero echar un vistazo a este hilo tuyo  
Saludos

[zorropardo]

Hola, si lo queria hacer de otra forma sin recurrir a los cubrimientos.