[Matemático Contento]

Buenas. Tengo una duda sobre la  demostración del Lema 9.3.7 del libro de teoría de teoría de conjuntos de Hrbacek-Jech. El lema y la demostración (de la primera parte) es :
9.3.7 Lema   Sea α≥β  y sea S el conjunto de todos los subconjuntos X⊆ω_α tales que |X|=ℵ_β  . Entonces ℵ_α^(ℵ_β )=|S|.
Demostración

Demostramos en primer lugar que ℵ_α^(ℵ_β )≤|S|. Sea  S´el conjunto de todos los subconjuntos  Y⊆ω_β×ω_α tales que |Y|=ℵ_β, entonces como  ℵ_β·ℵ_α=ℵ_α   ha de ser  |S´|=|S|. Ahora cada f:ω_β→ω_α es un miembro del conjunto S´ y por lo tanto ω_α^(ω_β )⊆S´.
Luego ℵ_α^(ℵ_β )≤|S|.

Creo que Hrbacek  y Jech son demasiado escuetos para explicar que |S´|=|S|. Los conjuntos Y de S´ podemos expresarlos como el producto cartesiano dom(Y)×ran(Y). Está claro que |dom(Y)×ran(Y)|=ℵ_β implica que alguno de los conjuntos dom(Y) o ran(Y) tiene cardinal ℵ_β pero no nos asegura que sea ran(Y). Nos bastaría  con demostrar que |S´|≤|S|, pero yo solo consigo demostrar que |S|≤|S´| (bastante evidente).

Si alguien me puede ayudar, le estaré, como no, infinitamente agradecido

[Carlos Ivorra]

Buenas. Tengo una duda sobre la  demostración del Lema 9.3.7 del libro de teoría de teoría de conjuntos de Hrbacek-Jech. El lema y la demostración (de la primera parte) es :
9.3.7 Lema   Sea α≥β  y sea S el conjunto de todos los subconjuntos X⊆ω_α tales que |X|=ℵ_β  . Entonces ℵ_α^(ℵ_β )=|S|.
Demostración

Demostramos en primer lugar que ℵ_α^(ℵ_β )≤|S|. Sea  S´el conjunto de todos los subconjuntos  Y⊆ω_β×ω_α tales que |Y|=ℵ_β, entonces como  ℵ_β·ℵ_α=ℵ_α   ha de ser  |S´|=|S|. Ahora cada f:ω_β→ω_α es un miembro del conjunto S´ y por lo tanto ω_α^(ω_β )⊆S´.
Luego ℵ_α^(ℵ_β )≤|S|.

Creo que Hrbacek  y Jech son demasiado escuetos para explicar que |S´|=|S|. Los conjuntos Y de S´ podemos expresarlos como el producto cartesiano dom(Y)×ran(Y). Está claro que |dom(Y)×ran(Y)|=ℵ_β implica que alguno de los conjuntos dom(Y) o ran(Y) tiene cardinal ℵ_β pero no nos asegura que sea ran(Y). Nos bastaría  con demostrar que |S´|≤|S|, pero yo solo consigo demostrar que |S|≤|S´| (bastante evidente).

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