Hola
Sea \( X_i \) las variables binarias definidas anteriormente. Defino \( Z \) aquella tal que \( x_i=n+1 \). Pregunto: entonces \( P(Z\leq{}t)\leq{}P(X_i\leq{}t) \) para todo \( t>0. \) De ser cierto, eso no puede extenderse para las \( n \) variables aleatorias y al ser independientes deducirse que el mínimo de \( P(S_n<n+1) \) se da cuando \( x=n+1 \).
No se si te entiendo. NO es cierto que si \( Z_i,X_i \) son Bernoulli con:
\( P(Z_i=n+1)=\dfrac{1}{n+1},\quad P(Z_i=0)=\dfrac{n}{n+1} \)
\( P(X_i=x)=\dfrac{1}{x},\quad P(Z_i=0)=1-\dfrac{1}{x} \) con \( x<n+1 \).
Entonces \( P(Z_i\leq t)\leq P(X_i\leq t) \).
La desigualdad que falta por probar es esta:
\( \boxed{T(n,m)=\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}{}\displaystyle\binom{n}{k}m^k(n+1-m)^{n-k}>n^n\text{ para }m>1} \)
y me está resultando frustrante. Porque empíricamente no parece tan ajustada (es decir a medida que crece \( m \) se cumple de manera más "sobrada"), pero no me acaba de salir una demostración
Anoto una especie de tormenta de ideas:
1) Para \( m=2 \) es fácil de probar:
Spoiler
\( T(n,2)=(n-1)^n+2n(n-1)^{n-1}=(3n-1)(n-1)^{n-1} \)
Por lo que habría que probar que:
\( (3n-1)(n-1)^{n-1}>n^n \)
Equivalentemente:
\( \left(3-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^{n-1}>1 \)
Si llamamos \( x=1/n \) equivale a:
\( g(x)=(3-x)(1-x)^{1/x-1}>1 \) para \( x\in (0,1) \)
Pero \( g'(x)=\dfrac{(1-x)^(1-1/x)}{x^2}((x-3)ln(1-x)-3x) \)
Si \( h(x)=(x-3)ln(1-x)-3x \), y es fácil ver que \( h(0)=h'(0)=0,\quad h''(x)>0 \) y por tanto \( h(x)\geq 0 \).
De ahí se deduce que \( g'(x)>0 \) y por tanto \( g(x) \) es creciente.
Así que el mínimo de \( g(x) \) es cuando \( x\to 0 \) y:
\( \displaystyle\lim_{x \to 0^+}{}(3-x)(1-x)^{1/x-1}=\displaystyle\lim_{n \to \infty}\left(3-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^{n-1}=\dfrac{3}{e}>1 \).
2) Entonces si fuésemos capaces de probar que \( T(n,m+1)>T(n,m) \) listo.
3) También se puede considerar
\( W(n,m)=\dfrac{T(n,m)}{n^n} \)
y he comprobado (empíricamente) que fijado \( m \) esa función es decreciente en \( n \). En ese caso bastaría con probar que:
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{T(n,m)}{n^n}>1 \)
Ahora:
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{T(n,m)}{n^n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\displaystyle\binom{n}{k}\left(\dfrac{m}{n}\right)^k(1+\dfrac{1-m}{n})^{n-k}=\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}\dfrac{m^k}{k!}e^{1-m} \)
Así que se trataría de probar que:
\( \displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}\dfrac{m^k}{k!}>e^{m-1} \)
Es decir que si se trunca el desarrollo de \( e^m \) en los \( m \) primeros términos, da un valor mayor que \( e^{m-1} \)
Esto equivale a probar que si \( X \) una Poisson de parámetro \( \lambda=m \), \( P(X\leq m\color{red}-\color{black}1)>1/e \).
Saludos.
CORREGIDO
