[Nub]

Hola, tenía que ver si converge o diverge la siguiente serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{3^n}} \)
y tengo entendido, que es buena idea calcularle el límite a la sucesión y ver que tienda a 0, pues si no tiende a 0 diverge y si tiende a 0 hay chances de que converja (puede que no)

Preguntas

1) ¿Vale la pena hacer esto con series alternadas? (lo de calcular el límite antes) o mejor ver si es absolutamente convergente de una sin calcular el límite, pues si es a.convergente entonces se que converge, lo digo porque la otra pregunta es
2) ¿Cómo calculo \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{3^n}} \) ?

PD: Sé que la serie converge por Leibnitz, pero como dije antes suelo mirar si la sucesión tiende a 0 primero...


Una idea para calcular esto \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{3^n}} \)  es decir que tiende a 0 por órdenes... pero es raro porque lo de arriba va ser -1,1,-1,1 no se si está bien hacerlo así nomas

La otra idea es decir como n es natural, entonces n es par o impar, si n es par, \( n=2k \)
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{(-1)^{2k+1}}{3^{2k}}}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{(-1)}{3^{2k}}}=0 \)

Si n impar entonces n=2k+1

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{(-1)^{2k+2}}{3^{2k+1}}}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{(1)}{3^{2k+1}}}=0 \)

En ambos casos va a 0...

[Juan Pablo Sancho]

Para usar Leibniz debes probar que converge a cero y además es no creciente, que se ve fácilmente con \( a_n = \dfrac{1}{3^n} \).
Pero puedes usar todos los demás problemas que has puesto en anteriores hilos:
Sea \( q=\dfrac{-1}{3} \) tienes que la serie es \( -\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} q^n = -q \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} q^n  \)

[Nub]

Para usar Leibniz debes probar que converge a cero y además es no creciente, que se ve fácilmente con \( a_n = \dfrac{1}{3^n} \).
Pero puedes usar todos los demás problemas que has puesto en anteriores hilos:
Sea \( q=\dfrac{-1}{3} \) tienes que la serie es \( -\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} q^n = -q \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} q^n  \)

Hola

Para usar Leibniz debes probar que converge a cero y además es no creciente, que se ve fácilmente con \( a_n = \dfrac{1}{3^n} \).

\( a_n \) es decreciente y \( a_n \) tiende a 0, por lo tanto puedo usar Leibniz, pero la pregunta no es eso, la pregunta es todo lo que puse en hilo, como calcular ese límite, no se si está bien mi forma...

[Juan Pablo Sancho]

Pero que tienda a cero es fácil:
\( -\dfrac{1}{3^n} \leq \dfrac{(-1)^{n+1}}{3^n} \leq \dfrac{1}{3^n}  \) y tiende a cero.
Para calcular el límite te puse justo lo que necesitas.

Pero puedes usar todos los demás problemas que has puesto en anteriores hilos:
Sea \( q=\dfrac{-1}{3} \) tienes que la serie es \( -\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} q^n = -q \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} q^n  \)

[Nub]

Pero puedes usar todos los demás problemas que has puesto en anteriores hilos:
Sea \( q=\dfrac{-1}{3} \) tienes que la serie es \( -\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} q^n = -q \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} q^n  \)

Pero porque me pones esto, si yo no quiero calcular la serie ni nada, lo único que quiero es calcular \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{3^n}}}
 \)

Otra cosa, no se si lo que yo dije esta bien o mal, si esta mal dime: es una basura, mejor usa ese especie de teorema del sandwich

[Juan Pablo Sancho]

Pero porque me pones esto, si yo no quiero calcular la serie ni nada, lo único que quiero es calcular \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{3^n}}}
 \)

Pero  \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{3^n}}} \) es una serie ¿no?.
Pero además sería, cosa que te indica siempre ani_pascual
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\sum_{k=1}^n {\displaystyle\frac{(-1)^{k+1}}{3^k}}} \) es una serie.
Sea \( q = -\dfrac{1}{3} \):
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{3^n} = -q \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \dfrac{-q}{1-q} = \dfrac{1/3}{1+1/3} = \dfrac{1}{4}  \).

[Nub]

Pero porque me pones esto, si yo no quiero calcular la serie ni nada, lo unico que quiero es calcular \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{3^n}}}
 \)

Pero  \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{3^n}}} \) es una serie ¿no?.
Pero además sería, cosa que te indica siempre ani_pascual
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\sum_{k=1}^n {\displaystyle\frac{(-1)^{k+1}}{3^k}}} \) es una serie.
Sea \( q = -\dfrac{1}{3} \):
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}}{3^n} = -q \cdot \sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \dfrac{-q}{1-q} = \dfrac{1/3}{1+1/3} = \dfrac{1}{4}  \).

Mala mía, hice un copia y pega y me quedó la serie, era \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{3^n}} \)

[ani_pascual]

Hola:

...
Mala mía, hice un copia y pega y me quedí la serie, era \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{3^n}} \)

Puedes usar que \( \lim\limits_{n\to\infty}|a_n|=0\Longrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}a_n=0 \)
Saludos

[Nub]

Hola:

...
Mala mia, hice un copia y pega y me quedo la serie, era \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{3^n}} \)

Puedes usar que \( \lim\limits_{n\to\infty}|a_n|=0\Longrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}a_n=0 \)
Saludos

Bien, aun asi me pregunto si lo mio esta bien... tengo ahora 2 formas de resolverlo, con el teorema del sandwich, tu forma y quiero ver si la mia esta bien...

[Juan Pablo Sancho]

Está bien.