[pilar12]

Estudia si los valores de la ordenada, y, están incluidos en los recorridos de estas funciones.
Las ordenadas \( y=3 \), \( y=2 \), \( y=-5 \) en la función \( f(x) =\sqrt{3x-3} \).

Tengo varios problemas de este tipo  con las soluciones pero necesito el proceso.
Muchas gracias de antemano.

[Fernando Revilla]

Estudia si los valores de la ordenada, y, están incluidos en los recorridos de estas funciones.
Las ordenadas \( y=3 \), \( y=2 \), \( y=-5 \) en la función \( f(x) =\sqrt{3x-3} \).

La función \( f(x)=\sqrt{3x-3}=\sqrt 3\sqrt{x-1} \) está definida en \( [1,+\infty) \) y

        \( f^\prime (x)=\displaystyle\frac{\sqrt 3}{2\sqrt{x-1}}>0 \) si \( x>1 \) (estrictamente creciente).

Por otra parte \( f(1)=0 \), \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}=+\infty \) y \( f \) es continua en \( [1, +\infty) \). 
Por el teorema de los valores intermedios para funciones continuas deducimos que \( \operatorname{Rango}f=[0,+\infty). \)

        Representación gráfica

[Nub]

Obviamente la solución bien echa es la de Fernando Revilla, pero el enunciado parece que realmente no pide que la solución sea tan "avanzada" para mi es un ejercicio que te dan cuando aprendes la definición de recorrido o algo así

En fin, el recorrido es el conjunto de todas las imagenes de todos los valores del dominio, o seria todo los valores que devuelve la función al tu darle todos los posibles valores a x, o simplemente \( \{ f(x) \mid x \in D \}=\{ y \in \mathbb{R} \mid \exists x \in D, f(x) = y \} \) donde \( D \) es el dominio

Luego para ver si un \( y=algo \) pertenece al recorrido, la misma definición del conjunto te la dice, encontrar un valor \( x \) tal que al hacer \( f(x) \), \( f(x) \) sea igual a ese valor \( y \)

1) Si \( y=3 \), ahora para ver si 3 esta en el recorrido, necesitamos encontrar un x tal que\(  f(x)=y \) y en este caso queda \( f(x)=3 \), ahora como nuestra funcion es \( f(x)=\sqrt[ ]{3x-3} \) nos queda \( \sqrt[ ]{3x-3}=3 \) y aquí nos queda una ecuación a resolver donde al resolverla encontraremos ese \( x \) tal que f(x)=3 y si podemos resolver la ecuacion es decir encontrar ese x y da que \( f(x)=3 \) efectivamente entonces, 3 esta en el recorrido

Entonces \( \sqrt[ ]{3x-3}=3 \), elevamos ambos lados al cuadrado y queda \( 3x-3=3^2 \) luego \( x=\displaystyle\frac{9+3}{3}=4 \) entonces \( x=4 \)

Ahora solo falta verificar que \( f(4)=3 \) entonces \( \sqrt[ ]{3*4-3}=\sqrt[ ]{9}=3 \) y nos dio 3

Para los otros es lo mismo, pero notar que cuando \( y=-5 \) es imposible que este sea parte del recorrido, pues una raiz cuadrada nunca puede darte un numero negativo y en particular -5, o también puedes hacer el mismo procedimiento que hice y notar que el x que encontraras no verificara que \( f(x)=-5 \)

[pilar12]

Como siempre muchísimas gracias por las respuestas. Con esto yo creo que lo puedo resolver.

[Fernando Revilla]

Obviamente la solución bien hecha es la de Fernando Revilla, pero el enunciado parece que realmente no pide que la solución sea tan "avanzada" para mi es un ejercicio que te dan cuando aprendes la definición de recorrido o algo así

Tienes razón en el sentido de que no pide el rango en general, sino si algunos valores están en el rango. Bien, ahí queda por si pudiera ayudar.

[sugata]

Estudia si los valores de la ordenada, y, están incluidos en los recorridos de estas funciones.
Las ordenadas \( y=3 \), \( y=2 \), \( y=-5 \) en la función \( f(x) =\sqrt{3x-3} \).

Tengo varios problemas de este tipo  con las soluciones pero necesito el proceso.
Muchas gracias de antemano.

Una raíz siempre es positiva así que y=-5 es imposible. El resto ya te lo han dicho.

[Marcos Castillo]

Una raíz siempre es positiva así que y=-5 es imposible.

\( y=3 \) e \( y=2 \) son posibles. En cuanto a \( y=-5 \)... Es imposible, pero en el plano complejo sí: \( y=5i \); ¿por qué complejo? Se van a acomplejar

Editado: \( \,5i^2=-5 \) no sólo no es posible, sino que además es imposible ; en el plano real no; en el complejo se ubica en las abscisas. El caso \( 5i \) sólo apunta que ...Creo que es anecdótico, o en el mejor de los casos, ilustrativo de que los complejos se comportan de análoga manera a los reales, es decir, concluye que en nada se altera el estudio del recorrido de \( f(x)=\sqrt{3x-3} \) si pasamos del plano cartesiano al complejo.

¡Un saludo!

[pilar12]

Muchas gracias por la última información. Ya he realizado los ejercicios y me salen.
Como siempre infinitas gracias por todas las molestias tomadas en mi problema.