[zorropardo]

Si $$a>1.$$ Probar que: $$\displaystyle\lim_{x \to  0^{-} }   \frac{1}{1+a^{\frac{1}{x}}}=1$$

Hice lo siguiente:

Dado $$\epsilon>0$$ debemos encontrar un $$\delta>0$$ tal que si $$x \in X$$ y $$-\delta<x<0$$ entonces $$\Big| \frac{1}{1+a^{\frac{1}{x}}} -1\Big|<\epsilon.$$

$$  -\epsilon< \frac{1}{1+a^{\frac{1}{x}}}  -1<\epsilon $ \Leftrightarrow{    a^{1/x} > \frac{\epsilon}{1+\epsilon} } \Leftrightarrow{  x< \frac{1}{\ln_{a}\Big(\frac{\epsilon}{1+\epsilon}\Big)} }$$

Estaria bien si tomo mi $$ \delta= \frac{1}{\ln_{a} \Big(\frac{\epsilon}{1+\epsilon}\Big)} >0.$$     

[Luis Fuentes]

Hola

Si $$a>1.$$ Probar que: $$\displaystyle\lim_{x \to  0^{-} }   \frac{1}{1+a^{\frac{1}{x}}}=1$$

Hice lo siguiente:

Dado $$\epsilon>0$$ debemos encontrar un $$\delta>0$$ tal que si $$x \in X$$ y $$-\delta<x<0$$ entonces $$\Big| \frac{1}{1+a^{\frac{1}{x}}} -1\Big|<\epsilon.$$

$$  -\epsilon< \frac{1}{1+a^{\frac{1}{x}}}  -1<\epsilon \color{red} \Leftrightarrow{    a^{1/x} > \frac{\epsilon}{1+\epsilon} } \Leftrightarrow{  x< \frac{1}{\ln_{a}\Big(\frac{\epsilon}{1+\epsilon}\Big)} }\color{black}$$

Tienes que tener en cuenta que \( log_a\left(\dfrac{\epsilon}{1+\epsilon}\right)<0 \) porque \( \dfrac{\epsilon}{1+\epsilon}<1 \).

Además para cualquier valor de \( x \), \( \dfrac{1}{1+a^{1/x}}<1 \) por tanto:

\( \left|\dfrac{1}{1+a^{1/x}}-1\right|=1-\dfrac{1}{1+a^{1/x}}=\dfrac{a^{1/x}}{1+a^{1/x}} \).

Entonces la condición queda:

\( \dfrac{a^{1/x}}{1+a^{1/x}}<\epsilon \)

que equivale (si \( \epsilon<1 \)) a:

\( a^{1/x}<\dfrac{\epsilon}{1-\epsilon} \).

Aplicando logaritmos:

\( \dfrac{1}{x}<log_a\left(\dfrac{\epsilon}{1-\epsilon}\right) \)

Como \( x<0 \) equivale a:

\( 1>x\cdot log_a\left(\dfrac{\epsilon}{1-\epsilon}\right) \)

Suponemos \( \epsilon<1/2 \) y entonces \( <0 \) y nos queda:

\( x>\dfrac{1}{log_a\left(\dfrac{\epsilon}{1-\epsilon}\right)} \)

Basta tomar \( \delta=-\dfrac{1}{log_a\left(\dfrac{\epsilon'}{1-\epsilon'}\right)}>0 \) con \( \epsilon'=min\{\epsilon,1/3\} \)

Saludos.

P.D. Desconozco como te piden que resuelvas este tipo de problemas y en que resultados previos te puedes apoyar. Este camino no sería mi primera elección. Lo lógico sería primero demostrar/justificar que \( \displaystyle\lim_{x \to 0^-}{}a^{1/x}=0 \) y el límite que te piden se sigue de propiedades básicas de los límites.

[zorropardo]

Hola, es verdad primero seria mejor probar que: $$ \displaystyle\lim_{x \to 0^-}{}a^{1/x}=0$$

Siguiendo tu procedimiento:

Para $$0<\epsilon<1$$ debemos encontrar $$ \delta>0$$ tal que $$- \delta <x<0 $$ entonces $$|a^{1/x}|<\epsilon$$

$$- \epsilon<a^{1/x}< \epsilon \Rightarrow{ \frac{1}{x}<log_{a}(\epsilon)<0} \Rightarrow{ x> \frac{1}{log_{a}(\epsilon)} }$$

Asi basta tomar $$\delta=-\frac{1}{log_{a}(\epsilon)}.$$ Esta bien 

[zorropardo]

Otra forma:

Tenemos la desigualdad: $$0<t<a^{t} \quad ; \quad \forall t >0.$$ Si $$x<0 \Rightarrow{t=-\frac{1}{x}>0}.$$ Asi: $$0<-\frac{1}{x}<a^{-1/x}.$$ Y como $$x<0$$ tenemos $$0<a^{1/x}<-x,$$ por el teorema de sandwich $$ \displaystyle\lim_{x \to 0^{-}}{a^{1/x}}=0.$$ Esta bien 

[ani_pascual]

Hola:

Otra forma:

Tenemos la desigualdad: $$0<t<a^{t} \quad ; \quad \forall t >0.$$ Si $$x<0 \Rightarrow{t=-\frac{1}{x}>0}.$$ Asi: $$0<-\frac{1}{x}<a^{-1/x}.$$ Y como $$x<0$$ tenemos $$0<a^{1/x}<-x,$$ por el teorema de sandwich $$ \displaystyle\lim_{x \to 0^{-}}{a^{1/x}}=0.$$ Esta bien 

Lo veo correcto 
Saludos