Hola
Bienvenido al foro.
Recuerda leer y seguir las
reglas del mismo así como el
tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.
En cuanto al problema, ¿hay algún dato más? Tal como está no puede darse ningún valor concreto del lado del triángulo \( x=AC \). En todo caso se puede dar una expresión en función de \( a,b \).
Llamo \( x_1=AD \), \( p_1=\text{semiperímetro}(ADB) \), \( x_2=DC \), \( p_2=\text{semiperímetro}(ADC) \). Además \( BD=y \).
Entonces:
\( p_1-y=AH=a\,cot(30^o)=a\sqrt{3}\quad \Rightarrow{}\quad \dfrac{x+x_1-y}{2}=a\sqrt{3} \) (1)
\( p_2-y=JC=b\,cot(30^o)=b\sqrt{3}\quad \Rightarrow{}\quad \dfrac{x+x_2-y}{2}=b\sqrt{3} \)
Restando:
\( x_1-x_2=2\sqrt{3}(a-b)\quad \Rightarrow{}\quad 2x_1-x=2\sqrt{3}(a-b) \). (2)
Por otra parte en el triángulo \( ABD \) por el Teorema del coseno:
\( y^2=x^2+x_1^2-2xx_1cos(60^o)\quad y^2=x^2+x_1^2-xx_1 \) (3)
Despejando \( y \) de (1) e igualando en (3):
\( (x+x_1-2\sqrt{3}a)^2=x^2+x_1^2-xx_1 \) (4)
Junto con la ecuación (2) tenemos el sistema de ecuaciones:
\( (x+x_1-2\sqrt{3}a)^2=x^2+x_1^2-xx_1 \)
\( 2x_1-x=2\sqrt{3}(a-b) \)
De donde se puede despejar \( x \). Sale una ecuación de segundo grado. Una de las soluciones se descarta viendo que da un \( x<max(a,b) \). Queda:
\( \boxed{x=\sqrt{3}(a+b)+\sqrt{3a^2-2ab+3b^2}} \)
Saludos.
