[Nub]

Hola.
Def: Dos sucesiones \( a_n \) y \( b_n \)  son equivalentes
sii \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{a_n}{b_n}}=1 \)

1) ¿Poruqe \( a_n=sin(1/n) \) y \( b_n=1/n \) son equivalentes?
Tengo anotado que es porque \( sin(x)\sim{x} \) cuando \( x\rightarrow{0} \)

Entonces primero que nada tengo entendido que

A) Las sucesiones son funciones de los naturales a los reales, no son de reales en reales entonces no podria aplicar propiedades de funciones de reales en reales a sucesiones, por ejemplo no puedo derivar una sucesion (creo, por ahora )

Entonces... como \( 1/n\rightarrow{0} \) luego como sin es una funcion de reales a reales entonces al ponerle como entrada numeros de la forma 1/n sigue siendo una funcion de reales en reales entonces puedo usar la propiedad \( sin(x)\sim{x} \) cuando \( x\rightarrow{0} \) ¿Es ese el argumento? Porque sino no se como probarlo :'(

Gracias

[Fernando Revilla]

Hola. Def: Dos sucesiones \( a_n \) y \( b_n \)  son equivalentes sii \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{a_n}{b_n}}=1 \)1) ¿Poruqe \( a_n=sin(1/n) \) y \( b_n=1/n \) son equivalentes?Tengo anotado que es porque \( sin(x)\sim{x} \) cuando \( x\rightarrow{0} \)

Son equivalentes por la propia definición i.e. porque \( \displaystyle\lim_{n\to{+}\infty}\displaystyle\frac{\sin (1/n)}{1/n}=1. \)

Tengo anotado que es porque \( sin(x)\sim{x} \) cuando \( x\rightarrow{0} \)

Precisamente, \( \sin x\sim x \) cuando \( x\to 0 \) significa \( \displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{\sin x}{x}=1 \).

Entonces primero que nada tengo entendido que  A) Las sucesiones son funciones de los naturales a los reales, no son de reales en reales entonces no podria aplicar propiedades de funciones de reales en reales a sucesiones, por ejemplo no puedo derivar una sucesion (creo, por ahora ) Entonces... como \( 1/n\rightarrow{0} \) luego como sin es una funcion de reales a reales entonces al ponerle como entrada numeros de la forma 1/n sigue siendo una funcion de reales en reales entonces puedo usar la propiedad \( sin(x)\sim{x} \) cuando \( x\rightarrow{0} \) ¿Es ese el argumento? Porque sino no se como probarlo :'(

Seguramente te sirva lo siguiente: si \( f,g:[1,+\infty)\to \mathbb{R} \) entonces, es fácil demostrar que

        \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}=L\Rightarrow \lim_{n \to{+}\infty}\displaystyle\frac{f(n)}{g(n)}=L \)

Observa que el primer límite es de funciones y el segundo de sucesiones construidas a partir de las funciones. Por ejemplo,

        \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{\sin (1/x)}{1/x}=\ldots=1\Rightarrow \lim_{n \to{+}\infty}\displaystyle\frac{\sin (1/n)}{1/n}=1 \)

y para el primer límite podrías usar la regla de L'Hopital.

[manooooh]

Hola Fernando

Seguramente te sirva lo siguiente: si \( f,g:[1,+\infty)\to \mathbb{R} \)  entonces,

        \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}=L\Rightarrow \lim_{n \to{+}\infty}\displaystyle\frac{f(n)}{g(n)}=L \)

Observa que el primer límite es de funciones y el segundo de sucesiones construidas a partir de las funciones. Por ejemplo,

        \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{\sin (1/x)}{1/x}=\ldots=1\Rightarrow \lim_{n \to{+}\infty}\displaystyle\frac{\sin (1/n)}{1/n}=1 \)

y para el primer límite podrías usar la regla de L'Hopital.

¿Se puede calcular el límite de la sucesión (tu primera implicación) pues en el límite cuando \( n \) tiende a infinito tenemos el mismo comportamiento que la función de variable real? No sé si me he explicado

Por ejemplo la función \( f(x)=1/x \) es de variable real, y cuando tomamos la sucesión \( f(n)=1/n \) para \( n\to\infty \) es que estamos "diciendo lo mismo" que \( f(x) \) en el infinito. ¿Es correcto?

Saludos

[Fernando Revilla]

Seguramente te sirva lo siguiente: si \( f,g:[1,+\infty)\to \mathbb{R} \)  entonces,

        \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}=L\Rightarrow \lim_{n \to{+}\infty}\displaystyle\frac{f(n)}{g(n)}=L \)

Observa que el primer límite es de funciones y el segundo de sucesiones construidas a partir de las funciones. Por ejemplo,

        \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{\sin (1/x)}{1/x}=\ldots=1\Rightarrow \lim_{n \to{+}\infty}\displaystyle\frac{\sin (1/n)}{1/n}=1 \)

y para el primer límite podrías usar la regla de L'Hopital.

¿Se puede calcular el límite de la sucesión (tu primera implicación) pues en el límite cuando \( n \) tiende a infinito tenemos el mismo comportamiento que la función de variable real? No sé si me he explicado Por ejemplo la función \( f(x)=1/x \) es de variable real, y cuando tomamos la sucesión \( f(n)=1/n \) para \( n\to\infty \) es que estamos "diciendo lo mismo" que \( f(x) \) en el infinito. ¿Es correcto?

En esencia es eso, aunque no es difícil demostrarlo formalmente a partir de la definición de límite de una función y de límite de una sucesión.

[Nub]

Hola. Def: Dos sucesiones \( a_n \) y \( b_n \)  son equivalentes sii \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{a_n}{b_n}}=1 \)1) ¿Poruqe \( a_n=sin(1/n) \) y \( b_n=1/n \) son equivalentes?Tengo anotado que es porque \( sin(x)\sim{x} \) cuando \( x\rightarrow{0} \)

Son equivalentes por la propia definición i.e. porque \( \displaystyle\lim_{n\to{+}\infty}\displaystyle\frac{\sin (1/n)}{1/n}=1. \)

Claro... pero yo tengo que probar que son equivalentes, osea que el \( \displaystyle\lim_{n\to{+}\infty}\displaystyle\frac{\sin (1/n)}{1/n} \) me de como resultado 1 pero no puedo calcular eso, va no se como hacerlo, l'hopital no vi que sirva para sucesiones, bueno basicamente lo que se hasta ahora es: Definicion de sucesion, Definicion de limite de una sucesion, propiades del limite de la sucesion y no deberia usar nada mas, pero si hay una especie de conexión entre esto y funciones de reales en reales ahí tal vez pueda hacer algo

Precisamente, \( \sin x\sim x \) cuando \( x\to 0 \) significa \( \displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{\sin x}{x}=1 \).

Claro, pero eso es una función de reales en reales y no una sucesión, yo tengo ese resultado para funciones, pero para sucesiones tengo solo lo que dije arriba

Lo que yo había dicho que puede tener sentido es que si u=1/n luego sin(u) seria una función de r en r pues \( u\in{\mathbb{R}} \) osea en palabras, yo le doy un natural a la sucesión, y esta me devuelve un numero real y ese numero real va a la funcion seno y esta me devuelve un real, entonces sen(u) seria una funcion de r en r y entonces puedo aplicar el limite equivalente que ya era conocido, no se si tiene sentido esto

PD: En cuanto al ultimo resultado que me diste, no lo tengo en el libro y tambien creo que tengo la misma duda que manooooh,  basicamente si \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}1/x{}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}1/n{} \)

[delmar]

Hola

Hola. Def: Dos sucesiones \( a_n \) y \( b_n \)  son equivalentes sii \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{a_n}{b_n}}=1 \)1) ¿Poruqe \( a_n=sin(1/n) \) y \( b_n=1/n \) son equivalentes?Tengo anotado que es porque \( sin(x)\sim{x} \) cuando \( x\rightarrow{0} \)

Son equivalentes por la propia definición i.e. porque \( \displaystyle\lim_{n\to{+}\infty}\displaystyle\frac{\sin (1/n)}{1/n}=1. \)

Claro... pero yo tengo que probar que son equivalentes, osea que el \( \displaystyle\lim_{n\to{+}\infty}\displaystyle\frac{\sin (1/n)}{1/n} \) me de como resultado 1 pero no puedo calcular eso, va no se como hacerlo, l'hopital no vi que sirva para sucesiones, bueno basicamente lo que se hasta ahora es: Definicion de sucesion, Definicion de limite de una sucesion, propiades del limite de la sucesion y no deberia usar nada mas, pero si hay una especie de conexión entre esto y funciones de reales en reales ahí tal vez pueda hacer algo

Precisamente, \( \sin x\sim x \) cuando \( x\to 0 \) significa \( \displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{\sin x}{x}=1 \).

Claro, pero eso es una función de reales en reales y no una sucesión, yo tengo ese resultado para funciones, pero para sucesiones tengo solo lo que dije arriba

Lo que yo había dicho que puede tener sentido es que si u=1/n luego sin(u) seria una función de r en r pues \( u\in{\mathbb{R}} \) osea en palabras, yo le doy un natural a la sucesión, y esta me devuelve un numero real y ese numero real va a la funcion seno y esta me devuelve un real, entonces sen(u) seria una funcion de r en r y entonces puedo aplicar el limite equivalente que ya era conocido, no se si tiene sentido esto

PD: En cuanto al ultimo resultado que me diste, no lo tengo en el libro y tambien creo que tengo la misma duda que manooooh,  basicamente si \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}1/x{}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}1/n{} \)

Lo marcado en azul, claro que tiene sentido es intuitivo, si hay que ser más riguroso se puede plantear el siguiente teorema :


Si \( \displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{sen \ x}{x}}=1 \)

Si \( n\in{Z^+} \)

Entonces \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{\displaystyle\frac{sen \ (\displaystyle\frac{1}{n})}{\displaystyle\frac{1}{n}}}=1 \)

Una forma de demostrar :

Por definición de límite de función se tiene :

\( \forall{\epsilon}>0, \ \ \exists{\delta}>0 \ / \ si \ \left |{x}\right |< \delta \Rightarrow{\left |{\displaystyle\frac{sen \ x}{x}-1}\right |<\epsilon} \)

Siempre \( \exists{N}\in{Z^+} \ / \ 0<\displaystyle\frac{1}{N}< \delta \) de lo contrario los enteros positivos serían un conjunto acotado superiormente, absurdo

si \( n\in{Z^+}\wedge n\geq{N}\Rightarrow{0<\displaystyle\frac{1}{n}\leq{\displaystyle\frac{1}{N}}<\delta}\Rightarrow{\left |{\displaystyle\frac{sen (\displaystyle\frac{1}{n})}{\displaystyle\frac{1}{n}}-1}\right |<\epsilon} \)

Entonces se puede decir :

\( \forall{\epsilon}>0, \ \exists{n\geq{N}} \ / \ \left |{\displaystyle\frac{sen (\displaystyle\frac{1}{n})}{\displaystyle\frac{1}{n}}-1}\right |<\epsilon \)

Por definición de límite para sucesiones \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{\displaystyle\frac{sen (\displaystyle\frac{1}{n})}{\displaystyle\frac{1}{n}}}=1 \)

Saludos

[Nub]

Hola

Hola. Def: Dos sucesiones \( a_n \) y \( b_n \)  son equivalentes sii \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{a_n}{b_n}}=1 \)1) ¿Poruqe \( a_n=sin(1/n) \) y \( b_n=1/n \) son equivalentes?Tengo anotado que es porque \( sin(x)\sim{x} \) cuando \( x\rightarrow{0} \)

Son equivalentes por la propia definición i.e. porque \( \displaystyle\lim_{n\to{+}\infty}\displaystyle\frac{\sin (1/n)}{1/n}=1. \)

Claro... pero yo tengo que probar que son equivalentes, osea que el \( \displaystyle\lim_{n\to{+}\infty}\displaystyle\frac{\sin (1/n)}{1/n} \) me de como resultado 1 pero no puedo calcular eso, va no se como hacerlo, l'hopital no vi que sirva para sucesiones, bueno basicamente lo que se hasta ahora es: Definicion de sucesion, Definicion de limite de una sucesion, propiades del limite de la sucesion y no deberia usar nada mas, pero si hay una especie de conexión entre esto y funciones de reales en reales ahí tal vez pueda hacer algo

Precisamente, \( \sin x\sim x \) cuando \( x\to 0 \) significa \( \displaystyle\lim_{x \to 0}\displaystyle\frac{\sin x}{x}=1 \).

Claro, pero eso es una función de reales en reales y no una sucesión, yo tengo ese resultado para funciones, pero para sucesiones tengo solo lo que dije arriba

Lo que yo había dicho que puede tener sentido es que si u=1/n luego sin(u) seria una función de r en r pues \( u\in{\mathbb{R}} \) osea en palabras, yo le doy un natural a la sucesión, y esta me devuelve un numero real y ese numero real va a la funcion seno y esta me devuelve un real, entonces sen(u) seria una funcion de r en r y entonces puedo aplicar el limite equivalente que ya era conocido, no se si tiene sentido esto

PD: En cuanto al ultimo resultado que me diste, no lo tengo en el libro y tambien creo que tengo la misma duda que manooooh,  basicamente si \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}1/x{}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}1/n{} \)

Lo marcado en azul, claro que tiene sentido es intuitivo, si hay que ser más riguroso se puede plantear el siguiente teorema :


Si \( \displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{sen \ x}{x}}=1 \)

Si \( n\in{Z^+} \)

Entonces \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{\displaystyle\frac{sen \ (\displaystyle\frac{1}{n})}{\displaystyle\frac{1}{n}}}=1 \)

Una forma de demostrar :

Por definición de límite de función se tiene :

\( \forall{\epsilon}>0, \ \ \exists{\delta}>0 \ / \ si \ \left |{x}\right |< \delta \Rightarrow{\left |{\displaystyle\frac{sen \ x}{x}-1}\right |<\epsilon} \)

Siempre \( \exists{N}\in{Z^+} \ / \ 0<\displaystyle\frac{1}{N}< \delta \) de lo contrario los enteros positivos serían un conjunto acotado superiormente, absurdo

si \( n\in{Z^+}\wedge n\geq{N}\Rightarrow{0<\displaystyle\frac{1}{n}\leq{\displaystyle\frac{1}{N}}<\delta}\Rightarrow{\left |{\displaystyle\frac{sen (\displaystyle\frac{1}{n})}{\displaystyle\frac{1}{n}}-1}\right |<\epsilon} \)

Entonces se puede decir :

\( \forall{\epsilon}>0, \ \exists{n\geq{N}} \ / \ \left |{\displaystyle\frac{sen (\displaystyle\frac{1}{n})}{\displaystyle\frac{1}{n}}-1}\right |<\epsilon \)

Por definición de límite para sucesiones \( \displaystyle\lim_{n \to{}\infty}{\displaystyle\frac{sen (\displaystyle\frac{1}{n})}{\displaystyle\frac{1}{n}}}=1 \)

Saludos

Creo que hay un error ahi al escribir, pero entiendo la idea de probarlo por definicion, no era la idea del ejercicio, la idea era calcular ese limite y que me diera 1

[Nub]

Seguramente te sirva lo siguiente: si \( f,g:[1,+\infty)\to \mathbb{R} \)  entonces,

        \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}=L\Rightarrow \lim_{n \to{+}\infty}\displaystyle\frac{f(n)}{g(n)}=L \)

Observa que el primer límite es de funciones y el segundo de sucesiones construidas a partir de las funciones. Por ejemplo,

        \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{\sin (1/x)}{1/x}=\ldots=1\Rightarrow \lim_{n \to{+}\infty}\displaystyle\frac{\sin (1/n)}{1/n}=1 \)

y para el primer límite podrías usar la regla de L'Hopital.

¿Se puede calcular el límite de la sucesión (tu primera implicación) pues en el límite cuando \( n \) tiende a infinito tenemos el mismo comportamiento que la función de variable real? No sé si me he explicado Por ejemplo la función \( f(x)=1/x \) es de variable real, y cuando tomamos la sucesión \( f(n)=1/n \) para \( n\to\infty \) es que estamos "diciendo lo mismo" que \( f(x) \) en el infinito. ¿Es correcto?

En esencia es eso, aunque no es difícil demostrarlo formalmente a partir de la definición de límite de una función y de límite de una sucesión.

El teorema general es asi o es asi:
si \( f,g:[1,+\infty)\to \mathbb{R} \)  entonces,

        \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}f(x)=L\Rightarrow \lim_{n \to{+}\infty}=L \)

[Fernando Revilla]

El teorema general es asi o es asi: si \( f,g:[1,+\infty)\to \mathbb{R} \)  entonces, \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}f(x)=L\Rightarrow \lim_{n \to{+}\infty}=L \)

Sería:

Proposición. Sea \( F:[1,+\infty)\to \mathbb{R} \)  y consideremos la sucesión \( a_n=F(n) \).Entonces,

        \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}F(x)=L\Rightarrow \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}a_n=L. \)

Demostración. Si \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}F(x)=L \) entonces, para todo \( \epsilon > 0 \) existe \( x_0 \) tal que si \( x> x_0 \) se verifica \( |f(x)-L|< \epsilon \) con lo cual para todo \( \epsilon > 0 \) si \( n> \lfloor x_0\rfloor +1 \) se verifica \( |F(n)-L|< \epsilon \) o bien \( |a_n-L|<\epsilon \) es decir \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}a_n=L \).

Ejemplo. Calcular \( \displaystyle\lim_{n\to{+}\infty}\displaystyle\frac{\sin (1/n)}{1/n} \) usando la proposición anterior.

Solución. Llamemos \( F(x)=\displaystyle\frac{\sin (1/x)}{1/x} \). Entonces

        \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}F(x)=\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{\sin (1/x)}{1/x}=\left\{{\displaystyle\frac{0}{0}}\right\}\underbrace{=}_{\text{L'Hopital}}\lim_{x \to{+}\infty}\displaystyle\frac{(-1/x^2)\cos (1/x)}{-1/x^2}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}\cos (1/x)=\cos 0=1 \)

Usando la proposición anterior,

        \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{F(n)}=\displaystyle\lim_{n\to{+}\infty}\displaystyle\frac{\sin (1/n)}{1/n}=1 \).

Nota. Todo lo anterior prueba que para calcular límites de sucesiones es lícito aplicar la regla de L'Hopital en condiciones como las anteriores.   

[ani_pascual]

Hola:

...
Def: Dos sucesiones \( a_n \) y \( b_n \)  son equivalentes
sii \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{a_n}{b_n}}=1 \)

1) ¿Poruqe \( a_n=sin(1/n) \) y \( b_n=1/n \) son equivalentes?
...

Sabes que si  una función real de variable real \(  f \), es continua en un punto \( x_0 \) se tiene que para cualquier sucesión con \( \{x_n\}\longrightarrow x_0 \), se cumple que \( \{f(x_n)\}\longrightarrow f(x_0) \).     
Así, si consideras la función \( f(x)=\left\{\begin{array}{lr}\dfrac{\sin x}{x}&x\neq 0\\1&x=0\end{array}\right. \), es continua en \( x=0 \), luego como \( \left\{\dfrac{1}{n}\right\}\longrightarrow 0 \) se tiene que \( \lim\limits_{n\to\infty}f\left(\dfrac{1}{n}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sin\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{n}} =f(0)=1 \)
Saludos