[Jclenator]

Conocidos los números primos desde 2 hasta n, repartidos en dos grupos A y B, de forma exhaustiva (todos los números primos deben estar presentes) y exclusiva (los primos deben estar solamente en uno de los dos grupos, permitiéndose elevar cualquiera de los números primos a potencias mayores a 0, se establece que:
1) Tanto las sumas como las diferencias de los grupos A y B serán números primos siempre que sean menores que \( (n+2)^2 \).
2) Utilizando las distintas combinaciones y potencias, los resultados serán todos los primos existentes entre \( n \) y \( (n+2)^2 \).
3) el único número no primo que podrá resultar es el 1.
4) El \( 1 \) podrá ser encontrado para cualquier valor de \( n \).

El fundamento del presente método es que tanto en la suma como en la resta de dos números naturales, el resultado contiene siempre los factores primos comunes a ambos. Dados que los grupos A y B por la forma en que son creados son coprimos sus suma o resta no puede tener a ninguno de los números primos de \( 2 \) hasta \( n \). Por la condición de que el resultado sea menor a \( (n+2)^2 \) el número será necesariamente primo.

[Luis Fuentes]

Hola

Conocidos los números primos desde 2 hasta n, repartidos en dos grupos A y B, de forma exhaustiva (todos los números primos deben estar presentes) y exclusiva (los primos deben estar solamente en uno de los dos grupos, permitiéndose elevar cualquiera de los números primos a potencias mayores a 0, se establece que:
1) Tanto las sumas como las diferencias de los grupos A y B serán números primos siempre que sean menores que \( (n+2)^2 \).

Supongo que te refieres a multiplicar todos los primos de \( A \) y todos los de \( B \) (posiblemente elevados a potencias mayores que cero) y sumar o restar ambos productos. De manera precisa:

Si \( A=\{p_1,p_2,\ldots,p_k\} \), \( B=\{q_1,q_2,\ldots,q_s\} \) de manera que \( A\cap B=\emptyset \) y \( A\cup B=\text{todos los primos }\leq n \) entonces tomando:

 \( x=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\ldots p_k^{a_k} \) con \( a_i\geq 1 \)
 \( y=q_1^{b_1}q_2^{b_2}\ldots q_s^{b_s} \) con \( b_i\geq 1 \)

Entonces:

- Si \( x+y<(n+1)^2 \) es primo.
- Si \( |x-y|< (n+1)^2 \), es primo.

Eso es correcto y como dices el motivo es que alguno de los posibles divisores primos de un número menor que \( (n+1)^2 \) necesariamente es menor o igual que \( n \) y no puede aparecer en la descomposición de esas sumas o diferencias porque sumamos y restamos números coprimos.

Lo que no se es porque pones la condición \( <(n+2)^2 \); con esa condición no es cierto. Por ejemplo si \( n=4 \), \( A=\{2\},B=\{3\} \), entonces \( 2^4+3^2=25<(4+2)^2 \) y sin embargo \( 25 \) no es primo.

2) Utilizando las distintas combinaciones y potencias, los resultados serán todos los primos existentes entre \( n \) y \( (n+2)^2 \).

No te digo que ni que si ni que no, pero habría que demostrarlo.

3) el único número no primo que podrá resultar es el 1.

Bien.

4) El \( 1 \) podrá ser encontrado para cualquier valor de \( n \).

Tampoco te digo ni que si ni que no. De nuevo habría que probarlo.

Saludos.

[Jclenator]

Hola, gracias por la pronta respuesta, efectivamente supones bien al decir que las sumas o diferencias de A y B, se refiere al producto de los factores de cada grupo, quizás debería editar y corregir eso, veré cómo hacerlo. Cuando elijo n+2, la idea es abarcar el mayor rango a partir de n, el mayor de los primos conocidos. Funcionaría si dijera que las sumas o diferencias son menores que el menor número primo mayor que n, pero dado que n es el mayor que conozco no puedo referirme a un primo mayor, pero dado que n es impar me aseguro al sumarle 2 de obtener el menor impar mayor que n. En el ejemplo que pones, obtienes 25, pero si consideramos que conocíamos solamente 2 y 3, entonces estamos diciendo que obtendremos todos los primos menores que (3+2)^2 o sea menores que 25 y mayores que n o sea 3. Considero que dado que A y B son coprimos, su suma o diferencia no puede tener ninguno de los primos conocidos y dado que n+2 es impar el menor número que puede tenerlo como factor es su cuadrado.Lamento no poder expresar esto en un lenguaje formal.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, gracias por la pronta respuesta, efectivamente supones bien al decir que las sumas o diferencias de A y B, se refiere al producto de los factores de cada grupo, quizás debería editar y corregir eso, veré cómo hacerlo. Cuando elijo n+2, la idea es abarcar el mayor rango a partir de n, el mayor de los primos conocidos. Funcionaría si dijera que las sumas o diferencias son menores que el menor número primo mayor que n, pero dado que n es el mayor que conozco no puedo referirme a un primo mayor, pero dado que n es impar me aseguro al sumarle 2 de obtener el menor impar mayor que n. En el ejemplo que pones, obtienes 25, pero si consideramos que conocíamos solamente 2 y 3, entonces estamos diciendo que obtendremos todos los primos menores que \( (3+2)^2 \) o sea menores que 25 y mayores que n o sea 3. Considero que dado que A y B son coprimos, su suma o diferencia no puede tener ninguno de los primos conocidos y dado que n+2 es impar el menor número que puede tenerlo como factor es su cuadrado.Lamento no poder expresar esto en un lenguaje formal.

 Para que la cota \( (n+2) \) que dices sea válida no tienes más que añadir la condición de \( n \) impar por ejemplo.

 Por lo demás no hace falta que uses un lenguaje formal, la cosa es ser preciso.

 Por ejemplo:

 - Dado un número impar \( n \) divido el conjunto todo los números primos menores que \( n \) en dos grupos \( A \) y \( B \). Entonces se construyen dos números: uno multiplicando todos los primos de \( A \) elevados a cualquier potencia positiva y otro haciendo lo mismo con los de \( B \) entonces se cumple que la suma y diferencia de esos dos números primos si es menor que \( (n+2)^2 \) es un número primo.

 Listo: ahí está expresado lo que querías decir con total precisión.

Saludos.

[Jclenator]

Perfecto, creo que donde te refieres a la diferencia o suma de esos dos números primos, debería decir coprimos y que el resultado de la operación será \( 1 \) o un número primo mayor que \( n \) y menor que \( (n+2)^2 \)
Queda pendiente demostrar que las distintas operaciones con los dos grupos variando la composición y los exponentes permitirá obtener todos los primos mayores que \( n \) y menores que \( (n+2)^2 \).

[Luis Fuentes]

Hola

Perfecto, creo que donde te refieres a la diferencia o suma de esos dos números primos, debería decir coprimos y que el resultado de la operación será \( 1 \) o un número primo mayor que \( n \) y menor que \( (n+2)^2 \)

 En ningún sitio hablo de esos "dos números primos". Hablo de dos números construidos multiplicando todos los elementos de \( A \) (elevados a cualquier potencia positiva) y todos los de \( B \) (elevados a cualquier potencia positiva). Es cierto que esos dos números son coprimos y esa información podría añadirse a la frase que yo he escrito, que era simplemente un ejemplo de como escribir tu idea usando palabras, lenguaje natural, pero de manera precisa.

 Tu primera explicación por ejemplo era imprecisa; tu hablabas de "sumas como las diferencias de los grupos A y B" y eso no tiene un significado preciso. No se sabe si te referías a sumar uno o algunos elementos de \( A \) con uno o algunos ejemplos de \( B \). Del contexto y para que realmente se cumpliese lo que afirmabas, supuse que en realidad querias referirte a los números que se obtienen multiplicando todos los números de \( A \) por un lado y todo los de \( B \) por otro.

 

Queda pendiente demostrar que las distintas operaciones con los dos grupos variando la composición y los exponentes permitirá obtener todos los primos mayores que \( n \) y menores que \( (n+2)^2 \).

 Si. Yo eso en principio no lo veo obvio. Pero eso no quiere decir que no se cumpla, ni que no pueda probarse.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Estuve explorando empíricamente una de las cuestiones que planteas.

Dado el conjunto de todos los números primos menores o iguales que \( n \) (\( n \) primo impar):

 \( P_n=\{p|p \text{ primo},p\leq n\} \)

 ¿Es posible dividirlo en dos conjuntos disjuntos \( A,B \) no vacíos con \( A\cup B=P_n \)?:

 \( A=\{p_1,p_2,\ldots,p_s\} \)
 \( B=\{q_1,q_2,\ldots,q_t\} \)
 
 de manera que existan enteros positivos \( a_1,a_2,\ldots,a_s,b_1,b_2,\ldots,b_t \) verificando:

 \( p_1^{a_1}p_2^{a_2}\ldots p_s^{a_s}-q_1^{b_1}q_2^{b_2}\ldots q_t^{b_t}=1 \)?

 He hecho un programa en Python para que analice casos particulares. Para \( n<23 \) la respuesta es afirmativa:

 \( n=3 \), \( 3-2=1 \).
 \( n=5 \), \( 2\cdot 3-5=1 \)
 \( n=7 \), \( 3\cdot 5-2\cdot 7=1 \).
 \( n=11 \), \( 3^2\cdot 7^2-2^3\cdot 5\cdot 11=1 \).
 \( n=13 \), \( 2^2\cdot 3\cdot 11\cdot 13-5\cdot 7^3=1 \)
 \( n=17 \), \( 5\cdot 11\cdot 13-2\cdot 3\cdot 7\cdot 17=1 \).
 \( n=19 \), \( 2^2\cdot 7\cdot 11^3\cdot 17-3^3\cdot 5\cdot 13\cdot 19^2=1 \).

 Para \( n=23 \), he comprobado que no existe ninguna posibilidad con exponentes \( \leq 10 \).

Saludos.

ACTUALIZADO: Para \( n=23 \), he comprobado que no existe ninguna posibilidad con exponentes \( \leq 20 \).

ACTUALIZADO II  : Para \( n=23 \), he comprobado que no existe ninguna posibilidad con exponentes \( \leq 30 \).

ACTUALIZADO III    : Para \( n=23 \), he comprobado que no existe ninguna posibilidad con exponentes \( \leq 40 \).

ACTUALIZADO IV    : Para \( n=23 \), he comprobado que no existe ninguna posibilidad con exponentes \( \leq 50 \).

CONJETURA: La respuesta a:

¿Es posible dividir \( P_{23}=\{2,3,5,7,11,13,17,19,23\} \) en dos conjuntos disjuntos \( A,B \) no vacíos con \( A\cup B=P_{23} \)?:

 \( A=\{p_1,p_2,\ldots,p_s\} \)
 \( B=\{q_1,q_2,\ldots,q_t\} \)
 
 de manera que existan enteros positivos \( a_1,a_2,\ldots,a_s,b_1,b_2,\ldots,b_t \) verificando:

 \( p_1^{a_1}p_2^{a_2}\ldots p_s^{a_s}-q_1^{b_1}q_2^{b_2}\ldots q_t^{b_t}=1 \)?

es: NO ES POSIBLE.

[Jclenator]

Hola, quizás la conjetura no sea cierta o requiera exponentes más grandes. Hasta 19 lo hice manualmente hallando la raíz cuadrada de producto de todis los primos menores que n, después ya se complicó.
Saludos