Si la superficie es $$S=n\pi$$ en metros cuadrados entonces como $$S=\pi r^2$$ tenemos que el radio del cilindro es $$r=\sqrt n$$ y su diámetro es $$d=2r=2\sqrt n$$
Si cuando esta inclinado (situación 2) tiene igual altura que cuando esta sin inclinar (situación 1) y los volúmenes son iguales se tiene
$$v_1=v_2$$
Cuando esta inclinado el nivel de liquido sigue siendo $$h_1$$ y es la altura a la cual esta el borde superior de la base si el vaso se vuelca $$\beta$$ grados respecto de la vertical su complemento es $$\alpha$$ grados respecto de la vertical $$90°=\alpha + \beta$$
Por trigonometría el diámetro de la base inclinada debe coincidir con $$h_1$$ que es el nivel de líquido
Entonces $$\cos\alpha=\dfrac{h_1}{d}$$
Si cuando el vaso está inclinado se marca el extremo mas alejado de la base y por allí se marca una circunferencia entonces se observa que el volumen de aire hasta por encima de la superficie es exactamente igual al volumen de líquido, luego el volumen allí es 2 veces el volumen de liquido en el vaso. Y como por trigonometría la altura hasta esa marca es surge de $$\sen \alpha=\dfrac{h_1}{h_2}$$
tenemos
$$2v_2 =h_2S=\dfrac{h_1}{\sin\alpha}S=2v_1=2h_1S$$
Dejando en claro que $$\dfrac{h_1}{\sin\alpha}S=2h_1S$$ entonces $$\dfrac{1}{\sin\alpha}=2 $$ entonces $$\alpha =30°$$ y $$\cos\alpha =\sqrt3/2$$
Reemplazando en $$\cos\alpha=\dfrac{h_1}{d}$$
$$\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{h_1}{2\sqrt n}$$
Entonces $$h_1=\sqrt{3n}$$
Luego el volumen para cualquier número $$n$$ de metros cuadrados de superficie es $$v_1=v_2=v=n\pi\sqrt{3n}$$
Si $$n=2$$ entonces $$v=2\sqrt6 \pi$$
Y si $$n=3$$ entonces $$v=9\pi $$
Ambos resultados presentados en el hilo
Saludos
