[Luis Fuentes]

Encontrar todas las funciones: \( f:(0,+\infty)\to (0,+\infty) \) que cumplen para cualquier \( x,y>0 \) que:

\( f(xf(y))=f(xy)+x \)

[ani_pascual]

Hola:

Encontrar todas las funciones: \( f:(0,+\infty)\to (0,+\infty) \) que cumplen para cualquier \( x,y>0 \) que:

\( f(xf(y))=f(xy)+x \)

Un intento...

Spoiler

Sea \( \forall\, z>0,\,f(z)=z+1 \), entonces
\( f(xf(y))=f(x(y+1))=f(xy+x)=xy+x+1=f(xy)+x \)
Se observa también que tomando \( x=1, f(y)=z \), resulta que \( f(xf(y))=f(xy)+x\Longrightarrow f(z)=z+1 \)

[cerrar]

Saludos

[Richard R Richard]

Mi intento, solo por prueba y error

Spoiler

$$f(z)=z+1$$

[cerrar]

Justo veo a ani_pascual  postear y ... creo hoy ando con suerte.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Encontrar todas las funciones: \( f:(0,+\infty)\to (0,+\infty) \) que cumplen para cualquier \( x,y>0 \) que:

\( f(xf(y))=f(xy)+x \)

Mi solución:

Spoiler

Tomando \( x=1 \) se tiene que:

\( f(f(y))=f(y)+1 \)

eso quiere decir que para todo \( z\in Im(f) \) se cumple que \( f(z)=z+1. \)

Pero todavía no hemos terminado, porque no sabemos si \( Im(f)=(0,+\infty) \).

Ahora para culaquier \( x \) tomando \( y=1/x \):

\( f(xf(1/x))=f(1)+x \)

eso quiere decir que \( (f(1),+\infty)\subset Im(f) \), ya que para cualquier \( z>f(1) \) tomando \( x=z-f(1) \), \( f(xf(1/x))=f(1)+x=z \).

Por tanto para todo \( z>f(1) \), \( f(z)=z+1 \).

Finalmente para cualquier \( y\in (0,+\infty) \), tomando \( x=2max\{f(1)/y,f(1)/f(y)\} \), se tiene que:

\( xf(y)\geq 2f(1)>f(1) \) y por tanto \( f(xf(y))=xf(y)+1 \)
\( xy\geq 2f(1)>f(1) \) y por tanto \( f(xy)=xy+1 \)

Pero como \( f(xf(y))=f(xy)+x \):

\( xf(y)+1=xy+1+x\quad \Rightarrow{}\quad \) \( \boxed{ f(y)=y+1\text{ ahora sí para todo  }y\in (0,+\infty)}. \)

[cerrar]

Richard R Richard:

Mi intento, solo por prueba y error

Spoiler

$$f(z)=z+1$$

[cerrar]

Pero eso sólo dice que esa es una posible función que cumple lo pedido. Pero la clave está en probar que es la ÚNICA.

ani_pascual. Tampoco es del todo concluyente lo que haces:

Spoiler

Sea \( \forall\, z>0,\,f(z)=z+1 \), entonces
\( f(xf(y))=f(x(y+1))=f(xy+x)=xy+x+1=f(xy)+x \)

Con esto sólo pruebas que esa sería un ejemplo de función que cumple lo pedido, pero no la única.

Se observa también que tomando \( x=1, f(y)=z \), resulta que \( f(xf(y))=f(xy)+x\Longrightarrow f(z)=z+1 \)

Con esto sólo pruebas que para \( z\in Im(f) \) se cumple que \( f(z)=z+1 \), pero en principio NO necesariamente para todo \( z\in (0,+\infty) \).

[cerrar]

Saludos.

[ani_pascual]

Hola;

Tampoco es del todo concluyente lo que haces:

Spoiler

Sea \( \forall\, z>0,\,f(z)=z+1 \), entonces
\( f(xf(y))=f(x(y+1))=f(xy+x)=xy+x+1=f(xy)+x \)

Con esto sólo pruebas que esa sería un ejemplo de función que cumple lo pedido, pero no la única.

Se observa también que tomando \( x=1, f(y)=z \), resulta que \( f(xf(y))=f(xy)+x\Longrightarrow f(z)=z+1 \)

Con esto sólo pruebas que para \( z\in Im(f) \) se cumple que \( f(z)=z+1 \), pero en principio NO necesariamente para todo \( z\in (0,+\infty) \).

[cerrar]

De entre las funciones derivables es la única  ... Ya solo falta probar que las que cumplen la hipótesis son derivables 

Spoiler

En un mensaje anterior se ha visto que si \( f(z)=z+1, \forall\,z>0 \) entonces se cumple \( f(xf(y))=f(xy)+x,\,\forall\,x,y>0 \)
También se ha visto que \( \forall\,z\in Im(f),  \) se verifica \( f(z)=z+1 \). Ahora bien, \( \forall\,z>0 \) es \( f(z)\in Im(f) \), luego \( \forall\,z>0 \) se cumple que \( f(f(z))=f(z)+1 \).
Suponiendo que \( f \) es derivable en \( ]0,\infty[ \) se tiene que ha de ser \( f'(f(z))\cdot f'(z)=f'(z)\Longrightarrow f'(f(z))=1\Longrightarrow f(z)=z+k \) con \(  k \) una constante a determinar. La opción \( f'(z)=0 \) se descarta porque si es \(  f \) constante, no cumple la hipótesis. Así pues, dados \( x,y>0 \) se ha de cumplir \( f(xf(y))=f(xy)+x \), es decir, \( x(y+k)+k=xy+k+x\Longrightarrow xk=x\Longrightarrow k=1 \) con lo que \( f(z)=z+1 \)

[cerrar]

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

De entre las funciones derivables es la única  ... Ya solo falta probar que las que cumplen la hipótesis son derivables 

Pero lo que haces sigue teniendo el mismo problema que citaba antes:

Spoiler

Suponiendo que \( f \) es derivable en \( ]0,\infty[ \) se tiene que ha de ser \( f'(f(z))\cdot f'(z)=f'(z)\Longrightarrow f'(\color{red}f(z)\color{black})=1\Longrightarrow f(z)=z+k \) con \(  k \) una constante a determinar.

Ahí solo pruebas que \( f'(y)=1 \) para \( y=f(z) \), es decir, para \( y\in Im(f) \). Luego sólo tienes que \( f(y)=y+k \) para \( y\in Im(f) \), cosa que ya sabías antes.

[cerrar]

Es decir no veo que hacer intervenir la derivada tal y como has hecho suponga avance alguno respecto a lo que ya tenías.

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

...
Pero lo que haces sigue teniendo el mismo problema que citaba antes:

¡Es cierto!
Se me ocurre una aproximación de prueba, pero necesitaría ayuda para probar primero un par de requisitos...

Spoiler

a)\( f(1)=2 \)
b) \( \lim\limits_{x\to 0^{+}}f(x)=1 \).
Si se pudiera probar esto ...
se tiene que \( \forall\,x>0,\,f(x)= f\left(\dfrac{x}{f(1)}f(1)\right)=\\f\left(\dfrac{x}{f(1)}\right)+\dfrac{x}{f(1)}=\\f\left(\dfrac{x}{f^2(1)}\right)+\dfrac{x}{f^2(1)}+\dfrac{x}{f(1)}=\cdots=\\f\left(\dfrac{x}{f^n(1)}\right)+\dfrac{x}{f^n(1)}+\cdots+\dfrac{x}{f(1)},\,\,\forall\,n\in\mathbb{N} \).
Así, haciendo tender \( n \) a infinito... \( f(x)=\lim\limits_{n\to \infty}f\left(\dfrac{x}{f^n(1)}\right)+x\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{f^n(1)}=\\1+\dfrac{x}{f(1)-1}=1+x \)

[cerrar]

¿Alguna sugerencia?
Saludos

[ani_pascual]

Hola:
Me parece que los requisitos no son necesarios ya que...

Spoiler

como \( \forall\,x>0 \) es \( \,f(x)=f\left(\dfrac{x}{f(1)}\right)+\dfrac{x}{f(1)} \), si es \( f(1)>1 \) entonces \( \forall\,x>0, \dfrac{x}{f(1)}<x \) y además \( f(x)-f\left(\dfrac{x}{f(1)}\right)=\dfrac{x}{f(1)} \) luego la tasa de variación media es \( \dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\dfrac{\dfrac{x}{f(1)}}{x-\dfrac{x}{f(1)}}=\dfrac{1}{f(1)-1} \), constante y si es \( f(1)<1 \) se llega al mismo resultado. En definitiva, \( f(x)=ax+b \).
Así, como \( \forall\, z>0,f(f(z))=f(z)+1 \) se tiene que \( a(az+b)+b=az+b+1\Longrightarrow \cdots\Longrightarrow a=1,b=1 \) con lo que necesariamente es \( f(x)=x+1,\forall\, x>0 \)

[cerrar]

¿A la \( n  \) va la vencida?
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Esto no lo veo claro y casi voy a pasar ya de Spoiler  :

como \( \forall\,x>0 \) es \( \,f(x)=f\left(\dfrac{x}{f(1)}\right)+\dfrac{x}{f(1)} \), si es \( f(1)>1 \) entonces \( \forall\,x>0, \dfrac{x}{f(1)}<x \) y además \( f(x)-f\left(\dfrac{x}{f(1)}\right)=\dfrac{x}{f(1)} \) luego la tasa de variación media es \( \dfrac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\dfrac{\dfrac{x}{f(1)}}{x-\dfrac{x}{f(1)}}=\dfrac{1}{f(1)-1} \), constante y si es \( f(1)<1 \) se llega al mismo resultado.

No veo claro como EXACTAMENTE del hecho de que:

\( \dfrac{f(x)-f(x/f(1))}{x-x/f(1)}=1 \)

se deduce que \( f(x) \) tiene que ser de la forma \( f(x)=ax+b \).

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

...
No veo claro como EXACTAMENTE del hecho de que:

\( \dfrac{f(x)-f(x/f(1))}{x-x/f(1)}=\textcolor{blue}{\dfrac{1}{f(1)-1}} \)

se deduce que \( f(x) \) tiene que ser de la forma \( f(x)=ax+b \).

Si \( \forall\,x>0 \) la TVM en el intervalo \( \left[\dfrac{x}{f(1)},x\right] \) es constante, ¿no implica que ha de ser una función afín?
Saludos