[cab_he]

Hola, estoy analizando los extremos relativos de la función \[ f(x,y) = (x + y - 1)·(x^4 + y^4) \] pero en el punto \[(0,0)\] la Hessiana es nula. Entiendo que que tengo que estudiar los extremos relativos de otra forma. ¿Cómo se estudia en este caso (o en cualquier otro caso en el que la Hessiana no es estrictamente definida positiva o negativa ni indefinida)?

[ani_pascual]

Hola:

Hola, estoy analizando los extremos relativos de la función \[ f(x,y) = (x + y - 1)·(x^4 + y^4) \] pero en el punto \[(0,0)\] la Hessiana es nula. Entiendo que que tengo que estudiar los extremos relativos de otra forma. ¿Cómo se estudia en este caso (o en cualquier otro caso en el que la Hessiana no es estrictamente definida positiva o negativa ni indefinida)?

Sin repasar tus cálculos ni analizar mucho, veo que \( f(0,0)=0 \) y que en un entorno del \( (0,0) \) es \( f(x,y)<0 \), luego parece que hay un máximo relativo en el origen.🤔
Saludos

[Fernando Revilla]

Sin repasar tus cálculos ni analizar mucho, veo que \( f(0,0)=0 \) y que en un entorno del \( (0,0) \) es \( f(x,y)<0 \), luego parece que hay un máximo relativo en el origen.🤔

Efectivamente \( (0,0) \) es punto crítico y la Hessiana es nula en \( (0,0) \). La recta \( r:x+y-1=0 \) pasa por \( (1,0) \) y \( (0,1) \) y se verifica que \( x+y-1 <0 \) en el semiplano inferior determinado por \( r \). En tal semiplano se puede incluir una bola abierta \( B \) de centro el origen con lo cual para todo \( (x,y)\in B-\{(0,0)\} \):

        \( \Delta f(x,y)=f(x,y)-f(0,0)=(x+y-1)(x^4+y^4) <0 \)

Esto implica que \( f \) tiene un máximo local estricto en \( (0,0) \). Por cierto, Wolfran|Alpha se equivoca. Ver Local extrema of $$f(x,y)=(x+y-1)(x^4+y^4)$$.

Al respecto pueden ser útiles los enlaces:

        https://fernandorevilla.es/2014/04/24/puntos-criticos-cados-dudosos/
        https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=118179.msg474908;topicseen#msg474908
        (No siempre hay que fiarse de Wolfran|Alpha) .

[cab_he]

Gracias :)

[Fernando Revilla]

   He decidido redactar la resolución completa del problema:

        Puntos críticos, casos dudosos (problema 3).

   Existe máximo local estricto en \( (0,0) \) y punto de silla en \( \color{red}(2/5,2/5) \).

   Y como ya comenté  Wolfran|Alpha dice que no se encontraron ni máximos ni mínimos locales:

        Local extrema of $$f(x,y)=(x+y-1)(x^4+y^4)$$

¿Algún alma caritativa podría explicarme el por qué de estos errores?

[Luis Fuentes]

Hola

   He decidido redactar la resolución completa del problema:

        Puntos críticos, casos dudosos (problema 3).

   Existe máximo local estricto en \( (0,0) \) y mínimo local estricto en \( (5/2,5/2) \).

 Por esa manía que tienes de resolver problemas mientas meditas cabeza abajo, creo que has puesto \( 5/2 \) cuando era \( 2/5 \).  Eso hace que cambie el Hessiano y ese punto crítico \( (2/5,2/5) \) resulte ser un punto de silla.

 

  Y como ya comenté  Wolfran|Alpha dice que no se encontraron ni máximos ni mínimos locales:

        Local extrema of $$f(x,y)=(x+y-1)(x^4+y^4)$$

¿Algún alma caritativa podría explicarme el por qué de estos errores?

 Supongo que calcula los puntos críticos derivando (si la función es derivable) y clasifica el Hessiano... pero no llega a más cuando éste no decide.

 Para la función en una variable \( y=|x^2-1|+x+1 \) patina también estrepitosamente. Supongo que el valor absoluto "le mata".

Saludos.

[Fernando Revilla]

Por esa manía que tienes de resolver problemas mientas meditas cabeza abajo, creo que has puesto \( 5/2 \) cuando era \( 2/5 \).  Eso hace que cambie el Hessiano y ese punto crítico \( (2/5,2/5) \) resulte ser un punto de silla.

La suerte para WolframAlpha es que \( (0,0) \) pensando con la cabeza abajo le salió también \( (0,0) \) . Luego tuvo la mala suerte que el hessiano le salió caso dudoso.

Para la función en una variable \( y=|x^2-1|+x+1 \) patina también estrepitosamente. Supongo que el valor absoluto "le mata".

Pues que en WolframAlpha contraten a DeepSeek .

Editado. Corregida la errata. Gracias Luis.

[Eparoh]

Hola.

   He decidido redactar la resolución completa del problema:

        Puntos críticos, casos dudosos (problema 3).

   Existe máximo local estricto en \( (0,0) \) y punto de silla en \( \color{red}(2/5,2/5) \).

En la solución que das en tu web, al final del todo, hay una errata cuando dices que la matriz hessiana asociada al (2/5, 2/5) es definida negativa, pues es indefinida y por eso, como dices, hay un punto de silla.

Un saludo.

[Fernando Revilla]

En la solución que das en tu web, al final del todo, hay una errata cuando dices que la matriz hessiana asociada al (2/5, 2/5) es definida negativa, pues es indefinida y por eso, como dices, hay un punto de silla.

Gracias, me pasó inadvertido tu mensaje. Ya está corregido.