[ani_pascual]

Hola:

...
No sé exactamente que teorema has utilizado. En cualquier caso, ...

Gracias por la documentación.  Le echaremos un vistazo 
Respecto al resultado teórico que comento es el siguiente:

Corolario del teorema de Picard-Lindelöf

Si la aplicación \( f \) es continua en \( [x_0,\infty[\times \mathbb{R}^n \) y cumple la condición \( |f(x,y)-f(x,z)|\leq L(x)|y-z|,\,\,\,\forall\,y,z\in\mathbb{R}^n,\,\forall\,x\in[x_0,\infty[  \) donde \( L:[x_0,\infty[\longrightarrow \mathbb{R} \) es una función acotada en intervalos acotados, entonces \( \forall\,y_0\in\mathbb{R}^n  \) el P.V.I.
\( \left\{\begin{array}{l}y'=f(x,y)\\y(x_0)=y_0\end{array}\right.  \)
admite una única solución en \( [x_0,\infty[ \).
Demostración:
Sea \( x_1>x_0 \); entonces la función \( L \) está acotada en el intervalo \( [x_0,x_1]  \), luego por el teorema de Picard-Lindelöf existe una única solución \( y_1 \) del P.V.I. en dicho intervalo. Si consideramos \( x_2>x_1 \), por el mismo teorema se deduce que existe una única solución \( y_2 \) del P.V.I. en el intervalo \( [x_0,x_2] \). Ahora bien, por la unicidad de solución se tiene que en el intervalo intersección \( [x_0,x_1]\cap [x_0,x_2]=[x_0,x_1] \) resulta \( y_1=y_2 \). Si ahora hacemos tender \( x_1 \) a infinito se ve que existe una única solución en \( [x_0,\infty[ \) del P.V.I.

[cerrar]

Por cierto, sería interesante que te pasaras por aquí y para que no perdieras protagonismo, nos detallaras cual es el teorema sobre soluciones maximales habéis dado en clase.

Totalmente de acuerdo 
Saludos

[Masacroso]

Hola:

...
No sé exactamente que teorema has utilizado. En cualquier caso, ...

Gracias por la documentación.  Le echaremos un vistazo 
Respecto al resultado teórico que comento es el siguiente:

Corolario del teorema de Picard-Lindelöf

Si la aplicación \( f \) es continua en \( [x_0,\infty[\times \mathbb{R}^n \) y cumple la condición \( |f(x,y)-f(x,z)|\leq L(x)|y-z|,\,\,\,\forall\,y,z\in\mathbb{R}^n,\,\forall\,x\in[x_0,\infty[  \) donde \( L:[x_0,\infty[\longrightarrow \mathbb{R} \) es una función acotada en intervalos acotados, entonces \( \forall\,y_0\in\mathbb{R}^n  \) el P.V.I.
\( \left\{\begin{array}{l}y'=f(x,y)\\y(x_0)=y_0\end{array}\right.  \)
admite una única solución en \( [x_0,\infty[ \).
Demostración:
Sea \( x_1>x_0 \); entonces la función \( L \) está acotada en el intervalo \( [x_0,x_1]  \), luego por el teorema de Picard-Lindelöf existe una única solución \( y_1 \) del P.V.I. en dicho intervalo. Si consideramos \( x_2>x_1 \), por el mismo teorema se deduce que existe una única solución \( y_2 \) del P.V.I. en el intervalo \( [x_0,x_2] \). Ahora bien, por la unicidad de solución se tiene que en el intervalo intersección \( [x_0,x_1]\cap [x_0,x_2]=[x_0,x_1] \) resulta \( y_1=y_2 \). Si ahora hacemos tender \( x_1 \) a infinito se ve que existe una única solución en \( [x_0,\infty[ \) del P.V.I.

[cerrar]

Por cierto, sería interesante que te pasaras por aquí y para que no perdieras protagonismo, nos detallaras cual es el teorema sobre soluciones maximales habéis dado en clase.

Totalmente de acuerdo 
Saludos

Me parece que no está bien la demostración (o el supuesto "corolario"), ya que el teorema de Picard-Lindelöf sólo dice que existe una solución local en \( [x_0,x_1] \), es decir, que existe un \( \epsilon >0 \) tal que el P.V.I. \( y'=f(x,y) \) con \( y(x_0)=y_0 \) tiene solución en \( {\color{red}{[}}-\epsilon +x_0,x_0+\epsilon {\color{red}{]}} \), en ningún momento se afirma que la solución se extienda a \( [x_0,x_1] \).

Corregido.

[ani_pascual]

Hola:

...
Me parece que no está bien la demostración (o el supuesto "corolario"), ya que el teorema de Picard-Lindelöf sólo dice que existe una solución local en \( [x_0,x_1] \), es decir, que existe un \( \epsilon >0 \) tal que el P.V.I. \( y'=f(x,y) \) con \( y(x_0)=y_0 \) tiene solución en \( (-\epsilon +x_0,x_0+\epsilon ) \), en ningún momento se afirma que la solución se extienda a \( [x_0,x_1] \).

Esta es la versión que me presentaron a mí ... 

Picard-Lindelöf, global

El espacio métrico \( (\mathbb{R}^n,d) \), donde \( d \) es la distancia euclídea, es completo; si la función \( f:I\times \mathbb{R}^n\longrightarrow \mathbb{R}^n  \) es continua, siendo \( I=[x_0,x_1]\subset\mathbb{R} \) un intervalo cerrado y acotado, y Lipschitz en la segunda variable, es decir, existe una constante \( L>0 \) tal que
\( |f(x,y)-f(x,z)|\leq L|y-z|\hspace{1cm}\forall\,y,z\in\mathbb{R}^n,\,\,\forall\,x\in I  \) entonces dado \( y_0\in\mathbb{R}^n \) existe una única solución \( y\in{\cal C}^1(I,\mathbb{R}^n) \) del P.V.I.
\( \left\{\begin{array}{l}y'=f(x,y)\\y(x_0)=y_0\end{array}\right.  \)

[cerrar]

Saludos

[Masacroso]

Hola:

...
Me parece que no está bien la demostración (o el supuesto "corolario"), ya que el teorema de Picard-Lindelöf sólo dice que existe una solución local en \( [x_0,x_1] \), es decir, que existe un \( \epsilon >0 \) tal que el P.V.I. \( y'=f(x,y) \) con \( y(x_0)=y_0 \) tiene solución en \( (-\epsilon +x_0,x_0+\epsilon ) \), en ningún momento se afirma que la solución se extienda a \( [x_0,x_1] \).

Esta es la versión que me presentaron a mí ... 

Picard-Lindelöf, global

El espacio métrico \( (\mathbb{R}^n,d) \), donde \( d \) es la distancia euclídea, es completo; si la función \( f:I\times \mathbb{R}^n\longrightarrow \mathbb{R}^n  \) es continua, siendo \( I=[x_0,x_1]\subset\mathbb{R} \) un intervalo cerrado y acotado, y Lipschitz en la segunda variable, es decir, existe una constante \( L>0 \) tal que
\( |f(x,y)-f(x,z)|\leq L|y-z|\hspace{1cm}\forall\,y,z\in\mathbb{R}^n,\,\,\forall\,x\in I  \) entonces dado \( y_0\in\mathbb{R}^n \) existe una única solución \( y\in{\cal C}^1(I,\mathbb{R}^n) \) del P.V.I.
\( \left\{\begin{array}{l}y'=f(x,y)\\y(x_0)=y_0\end{array}\right.  \)

[cerrar]

Saludos

Pues que yo sepa ese teorema es falso, no lo he visto en ningún lado (como ejemplo puedes mirar en la wikipedia).

Corrección: perdón, el resultado es cierto porque \( f \) es globalmente Lipschitz respecto de \( y \).

[ani_pascual]

Hola:

...
Pues que yo sepa ese teorema es falso, no lo he visto en ningún lado (como ejemplo puedes mirar en la wikipedia).

O sea, que nos timó el profesor... 
En la demostración se usa la norma de Bielecki en el espacio \( {\cal C}(I,\mathbb{R}^n) \), que es equivalente a la norma del supremo.
He encontrado unos apuntes en la red, por si quieres echar un vistazo. Páginas, 69,70, 71
Curso
 
Saludos

[Masacroso]

Hola:

...
Pues que yo sepa ese teorema es falso, no lo he visto en ningún lado (como ejemplo puedes mirar en la wikipedia).

O sea, que nos timó el profesor... 
En la demostración se usa la norma de Bielecki en el espacio \( {\cal C}(I,\mathbb{R}^n) \), que es equivalente a la norma del supremo.
He encontrado unos apuntes en la red, por si quieres echar un vistazo. Páginas, 69,70, 71
Curso
 
Saludos

Tenías razón, había pasado por alto que ahí \( f \) es globalmente Lipschitz respecto de \( y \), y no meramente Lipschitz en un abierto acotado de \( \mathbb{R}^n \).