[SimónH]

Tengo que demostrar que la solución maximal de \( y'=y \; arctan^2y \, \), \( y(0)=1 \)  está definada en todo \( \mathbb{R} \). Llevo un rato loco intentandolo hacer pero no lo consigo, sería muy util vuestra ayuda. Gracias de antemano.

[Fernando Revilla]

Tengo que demostrar que la solución maximal de \( y'=y \; arctan^2y \, \), \( y(0)=1 \)  está definada en todo \( \mathbb{R} \). Llevo un rato loco intentandolo hacer pero no lo consigo, sería muy util vuestra ayuda.

Siendo $$f(x,y)=y\arctan^2 y$$ tenemos

        $$f_y(x,y)=\arctan^2y+ 2y\arctan y\cdot\dfrac{1}{1+y^2}$$

entonces,

        $$|f_y(x,y)|\le |\arctan^2y|+2\left|\arctan y\cdot\dfrac{y}{1+y^2}\right|\le \dfrac{\pi^2}{4}+2\cdot \dfrac{\pi}{2}\cdot 1:=L$$

Aplica el teorema del valor medio a la función $$f(x,y)=y\arctan^2 y$$ en el intervalo $$[y_1,y_2]$$ y obtendrás

        $$|f(x,y_2)-f(x,y_1)|\le L|y_2-y_1|$$

Esto te asegura que se cumplen las hipótesis del teorema de Picard en todo rectángulo $$R=[a,b]\times [c,d]$$ conteniendo a $$(0,1)$$.

Continúa.

[ani_pascual]

Hola:

...
Siendo $$f(x,y)=y\arctan^2 y$$ tenemos

        $$f_y(x,y)=\arctan^2y+y\cdot 2\textcolor{red}{y}\arctan y\cdot\dfrac{1}{1+y^2}$$

entonces,

        $$|f_y(x,y)|\le |\arctan^2y|+2\left|\arctan y\cdot\dfrac{y}{1+y^2}\right|\le \dfrac{\pi^2}{4}+2\cdot \dfrac{\pi}{2}\cdot 1:=L$$
...

¿No sobra una \( y \) en ese párrafo?
Luego, ya no la has escrito
Añadido ¿No se podría afinar un poco quitando el 2 del segundo sumando de la cota L?
Saludos

[Fernando Revilla]

Hola:

...
Siendo $$f(x,y)=y\arctan^2 y$$ tenemos

        $$f_y(x,y)=\arctan^2y+y\cdot 2\textcolor{red}{y}\arctan y\cdot\dfrac{1}{1+y^2}$$

entonces,

        $$|f_y(x,y)|\le |\arctan^2y|+2\left|\arctan y\cdot\dfrac{y}{1+y^2}\right|\le \dfrac{\pi^2}{4}+2\cdot \dfrac{\pi}{2}\cdot 1:=L$$
...

¿No sobra una \( y \) en ese párrafo?
Luego, ya no la has escrito
Saludos

Así es. Ya está corregido. Gracias.

[Fernando Revilla]

Añadido ¿No se podría afinar un poco quitando el 2 del segundo sumando de la cota L?

Bah, eso se lo dejo al lector . Lo importante es que \( L \) es constante.

[ani_pascual]

Hola:

Bah, eso se lo dejo al lector .
...

 
Saludos

[Masacroso]

Esto te asegura que se cumplen las hipótesis del teorema de Picard en todo rectángulo $$R=[a,b]\times [c,d]$$ conteniendo a $$(0,1)$$.

Continúa.

Pero esto sólo nos asegura que existe una única solución local entorno a \( x=0 \). Para ver que la solución maximal tiene a \( \mathbb{R} \) como dominio sería suficiente con demostrar que la solución maximal \( y \) es estrictamente monótona y está acotada por una función conocida (esto es para asegurarnos que no explota a más o a menos infinito en algún punto concreto), luego por continuidad podemos extenderla indefinidamente a todo \( \mathbb{R} \).

SOLUCIÓN

Primero podemos demostrar que \( y(x)\neq 0 \) para cualquier \( x\in J \), siendo \( J\subset \mathbb{R} \) su intervalo de máxima existencia. Manipulando la ecuación diferencial tenemos que \( |y(x)|=\sqrt{1+2\int_{0}^x (y(t)\arctan y(t))^2\,d t} \), luego si \( x_1:=\sup\{x\in J:y(x)=0\} \) existe entonces necesariamente \( x_1<0 \) e \( y|_I>0 \) con \( I:=(x_1,0] \), y por tanto en \( I \) manipulando la ecuación diferencial de nuevo obtenemos que \( y(x)=\exp\left(\int_{0}^x (\arctan y(t))^2\,d t\right) \).

De esto último deducimos que es imposible que tal \( x_1 \) exista ya que tendría que darse el caso que \( \infty =\lim_{x\to x_1^+}|\int_{0}^{x}(\arctan y(t))^2 \,d t|\leqslant |x_1|\pi^2 \), luego \( y \) es positiva, estrictamente creciente e \( y(x)\leqslant e^{|x|\pi^2} \) de donde se sigue fácilmente que \( J=\mathbb{R} \).∎

[cerrar]

[Fernando Revilla]

Esto te asegura que se cumplen las hipótesis del teorema de Picard en todo rectángulo $$R=[a,b]\times [c,d]$$ conteniendo a $$(0,1)$$.

Continúa.

Pero esto sólo nos asegura que existe una única solución local entorno a \( x=0 \).

Claro, por eso dije a SimónH que continuara.

[ani_pascual]

Hola:
Me parece que uno de los corolarios del teorema de Picard es que si \( f \) es continua en \( [0,\infty[\times \mathbb{R} \) y cumple la condición
\( |f(x,y)-f(x,z)|\leq L(x)|y-z|,\,\forall\,y,z\in\mathbb{R},\forall\,x\in[0,\infty[ \) donde es \( L:[0,\infty[\longrightarrow \mathbb{R} \) una función continua y acotada en intervalos acotados, entonces  existe una solución única, \( y\in {\cal C}^1([0,\infty[,\mathbb{R}) \) del PVI
\( \left\{\begin{array}{l}y'=f(x,y)\\y(0)=1\end{array}\right. \)
En este caso se cumple que \( \forall\, x\in [0,\infty[,\,\,\forall\,y,z\in\mathbb{R} \) es \( |f(x,y)-f(x,z)|=|y\arctan^2y-z\arctan^2z|\leq \left(\dfrac{\pi^2}{4}+\dfrac{\pi}{2}\right)|y-z| \), luego existe dicha función, \( L:[0,\infty[\longrightarrow \mathbb{R} \) dada por \( L(x)=\dfrac{\pi(2+\pi)}{4},\,\forall\,x\in [0,\infty[ \), que al ser constante, es continua en \( [0,\infty[ \) y acotada en intervalos acotados. Supongo que algo parecido se podrá aplicar en \( ]-\infty,0] \), con lo que el intervalo maximal de la única solución del PVI será \( ]-\infty, \infty[ \)
¿Es correcto?
Saludos

[Fernando Revilla]

¿Es correcto?

No sé exactamente que teorema has utilizado. En cualquier caso, si $$y:[0,X)\to \mathbb R$$ es la solución maximal, para que sea $$X=\infty$$ basta que $$|f(x,y(x))|\le M$$ (constante) para toda solución $$y:[0,x_1)\to \mathbb R$$.  Extending solutions to Differential Equations   

Tengo que demostrar que la solución maximal de \( y'=y \; arctan^2y \, \), \( y(0)=1 \)  está definada en todo \( \mathbb{R} \). Llevo un rato loco intentandolo hacer pero no lo consigo, sería muy util vuestra ayuda.

Por cierto, sería interesante que te pasaras por aquí y para que no perdieras protagonismo, nos detallaras cual es el teorema sobre soluciones maximales habéis dado en clase.