[JVC]

Hola buenas. En mis apuntes de probabilidad viene en las propiedades de sigma álgebra que, "todo σ-álgebra es un álgebra", pero que la implicación al revés no se da siempre.

¿Alguien me podría ayudar a ver en qué casos un álgebra no es a su vez σ-álgebra?

Mi duda viene sobre todo en que por la definición de álgebra, \( A\cup B \in \mathcal{F} \) y a su vez \( \bigcup_{i=1}^n \{A_i\} \in \mathcal{F} \), luego no podríamos "convertir" la unión finita en una unión infinita numerable "uniendo \( \emptyset \)" infinitamente?

Es decir, si tienes una sucesión de conjuntos finita \( \{A_i\}=\{A_1,...,A_k\}\ \), sabemos por las propiedades de álgebra que \( \bigcup_{i=1}^n\{A_i\} \in \mathcal{F} \). Pues hagamos ahora \( \{A_i\}'=\{A_i\}\cup \{ \emptyset , \dots ,\emptyset , \dots \} \) (denotando mediante \( \cup \) a la concatenación y no a la unión), con esto estaríamos convirtiendo la sucesión de finita a infinita numerable y además estaría en \( \mathcal{F} \), luego sería σ-álgebra, no?

Gracias.

[Masacroso]

Hola buenas. En mis apuntes de probabilidad viene en las propiedades de sigma álgebra que, "todo σ-álgebra es un álgebra", pero que la implicación al revés no se da siempre.

¿Alguien me podría ayudar a ver en qué casos un álgebra no es a su vez σ-álgebra?

Mi duda viene sobre todo en que por la definición de álgebra, \( A\cup B \in \mathcal{F} \) y a su vez \( \bigcup_{i=1}^n \{A_i\} \in \mathcal{F} \), luego no podríamos "convertir" la unión finita en una unión infinita numerable "uniendo \( \emptyset \)" infinitamente?

Es decir, si tienes una sucesión de conjuntos finita \( \{A_i\}=\{A_1,...,A_k\}\ \), sabemos por las propiedades de álgebra que \( \bigcup_{i=1}^n\{A_i\} \in \mathcal{F} \). Pues hagamos ahora \( \{A_i\}'=\{A_i\}\cup \{ \emptyset , \dots ,\emptyset , \dots \} \) (denotando mediante \( \cup \) a la concatenación y no a la unión), con esto estaríamos convirtiendo la sucesión de finita a infinita numerable y además estaría en \( \mathcal{F} \), luego sería σ-álgebra, no?

Gracias.

La notación que estás usando no está bien, debería ser \( \bigcup_{k=1}^n A_k \), porque si pones corchetes entonces es otra cosa. También observa que \( A=A\cup \emptyset  \) para cualquier conjunto \( A \), que es un teorema independiente de si \( A \) pertenece a una familia de conjuntos o no.

Tu confusión viene de que un álgebra no impide que una unión infinita de conjuntos pertenezca a tal álgebra, lo único que te dice es que la unión finita de sus miembros pertenece necesariamente al álgebra. Un ejemplo de álgebra que no es \( \sigma  \)‑álgebra es la colección de conjuntos \( A\subset \mathbb{R} \) tales que o bien \( A \) es finito o sino \( \mathbb{R}\setminus A \) lo es.