Hola
Hola, tengo que estudiar la diferenciabilidad de la función
\( f(x,y)=\displaystyle\frac{|x|y^3}{x^2+y^4} \) en el punto (0,0), creo que no es diferenciable.
¿Podeis ayudarme?. Gracias
Se sobre entiende que en \( (0,0) \) está definida como \( f(0,0)=0 \) para garantizar primero la continuidad (si no fuese continua difícilmente sería diferenciable).
Ahora para que una función en dos variables sea diferenciable en \( P=(x_0,y_0) \) tiene que cumplirse que:
\( \displaystyle\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}{}\dfrac{f(x,y)-f(x_0,y_0)-\frac{\partial f}{\partial x}(P)\cdot (x-x_0)-\frac{\partial f}{\partial y}(P)\cdot (y-y_0)}{\|(x,y)-(x_0,y_0)\|}=0 \)
En este caso es fácil ver que las derivadas parciales en el origen son nulas ya que \( f(x,0)=f(0,y)=0 \) para todo \( x,y\in \Bbb R \). Entonces hay que analizar el límite:
\( \displaystyle\lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{f(x,y)}{\|(x,y)\|}=\displaystyle\lim_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{|x|y^3}{(x^2+y^4)\sqrt{x^2+y^2}} \)
Si nos acercamos al origen por las curvas \( (x,y)=(t^2,t) \) queda:
\( \displaystyle\lim_{t\to 0}\dfrac{t^2\cdot t^3}{(t^4+t^4)|t|\sqrt{t^2+1}}=\displaystyle\lim_{t\to 0}\dfrac{signo(t)}{2\sqrt{1+t^2}} \)
que no converge a cero (converge a \( \pm 1/2 \) según nos acerquemos por la izquierda o por la derecha al cero).
Por tanto no es diferenciable en el origen.
Saludos.
