Buenas a todos,
Estoy teniendo problemas al intentar probar la siguiente proposición:
Sea \( U \) una clase equipada con una relación binaria \( R(y,x) \) bien fundada. Entonces toda clase \( C\subseteq U \) no vacía tiene un elemento \( R \)-minimal.
Donde la definición de relación bien fundada es la siguiente:
Sea \( U \) una clase. Se dice que una relación binaria \( R(y,x) \) sobre \( U \) está bien fundada cuando:
- Para todo \( x\in U \) la clase \( R^{-1}(x) := \{y\in U : R(y,x)\} \) es un conjunto
- Todo conjunto \( X\subseteq U \) no vacío tiene un elemento \( R \)-minimal, es decir, un elemento \( x\in X \) tal que \( R^{-1}(x)\cap X = \emptyset \)
Me ha dicho un compañero que la prueba es análoga al caso de \( \in \) (cuando trabajamos con AF), pero en ese caso lo primero que hacemos es definir la clausura transitiva \( \text{cl}(x) \). Lo que me esta costando es ver que sería lo análogo en este caso, o sea, sería el conjunto más pequeño que contiene a \( x \) y donde \( R \) es transitiva, ¿no?
Tal vez si definimos (imitando la prueba para \( \in \)) una función \( G \) por recursión como \( G(0)=x \) y luego \( G(n+1) := \bigcup R^{-1}(G(n)) \) y luego llamamos \( \text{cl}_R(x) = \bigcup_{n\in \omega} G(n) \) pero no me sale probar que aquí \( R \) es transitiva.
(Si tomamos \( R= \in \) vemos que \( R^{-1}(a)=a \) para todo \( a \) y nos quedaría \( \text{cl}_R(x)=\text{cl}(x) \))
Cualquier ayuda es bienvenida.
Saludos,
Franco.
