[Minmind]

Hola a todos. Busco información relativa al siguiente estudio.

Sea \( \mu \) una función definida sobre \( \displaystyle\Sigma \) con valores en [0, +\( \infty \)] y considere las siguientes propiedades que puede tener \( \mu \):
(a) Extiende la medida de Lebesgue.
(b) Es finitamente aditiva.
(c) Es invariante por traslaciones.
(d) Es invariante por rotaciones.

Si \( \displaystyle\Sigma = 2^\mathbb{R^d} \). Demostrar que:
(1) Para cada \( d \geq 1 \), existe \( \mu \) cumpliendo (a), (b) y (c).
(2) Para \( d = 1, 2 \) existe \( \mu \) cumpliendo (a), (b), (c) y (d).
(3) Para \( d \geq 3 \), no existe \( \mu \) cumpliendo (a), (b) y (d).

El motivo por el que comparto esto es por si alguien sabe dónde puedo encontrar bibliografía que hable sobre este tipo de extensión de la medida de Lebesgue, o si me pueden dar una idea general. Hasta ahora, creo que (3) se refuta por la paradoja de Banach-Tarski, la cual me era desconocida hasta que me puse a investigar.

Gracias, un saludo.

Moderación: ligerísima corrección, cambiado \sum por \Sigma como símbolo para designar un conjunto o espacio matemático.

[Masacroso]

En el libro de Vladimir Kadets de análisis funcional mencionan algo de esto en el título 5.5 y refiere a otro texto para más información. El texto referido es The Banach–Tarski Paradox de S. Wagon.

Para buscar más información (artículos, libros, etcétera) utiliza algo como "finitely additive invariant measure".

[Minmind]

Gracias Masacroso. He encontrado un argumento para probar (1) que parte de una extensión de la medida de Lebesgue aplicada sobre conjuntos de Vitali, de manera que la medida \( \mu \) cumpla las propiedades (a), (b) y (c).

\( \mu (A) = \displaystyle\sum_{q \in \mathbb{Q}^d} \lambda (A \cap{} (v + q)) \)

Aquí \( \lambda \) es la medida de Lebesgue y \( v \) es un conjunto de Vitali tal que \( v + \mathbb{Q}^d = \mathbb{R}^d  \), para \( A \in \Sigma  \). Sin embargo, desconozco el por qué de esta construcción en particular, que efectivamente se puede ver que cumple las tres propiedades.