[alejaaa]

Buenas, tengo el siguiente PVI

\[
\begin{cases}
y' = \frac{y}{1+x^2+y^2}, \\
y(0)=0
\end{cases}
\]

y tengo que determinar el intervalo máximo de definición de la única solución utilizando el teorema de Picard-Lindelöf. Sin embargo, no entiendo cómo debo aplicar el teorema de Picard para encontrar ese intervalo.
Gracias de antemano.

[ani_pascual]

Hola:

Buenas, tengo el siguiente PVI

\[
\begin{cases}
y' = \frac{y}{1+x^2+y^2}, \\
y(0)=0
\end{cases}
\]

y tengo que determinar el intervalo máximo de definición de la única solución utilizando el teorema de Picard-Lindelöf. Sin embargo, no entiendo cómo debo aplicar el teorema de Picard para encontrar ese intervalo.
Gracias de antemano.

Veo que la función idénticamente nula \( y(x)=0,\,\forall \, x \in \mathbb{R} \), es solución del P.V.I.
Y además \( f(x,y)=\dfrac{y}{x^2+y^2+1} \) cumple las hipótesis del teorema de P.L., luego supongo que el intervalo máximo de definición es \( \mathbb{R} \) si no me equivoco, claro.
Saludos

[alejaaa]

Hola:

Buenas, tengo el siguiente PVI

\[
\begin{cases}
y' = \frac{y}{1+x^2+y^2}, \\
y(0)=0
\end{cases}
\]

y tengo que determinar el intervalo máximo de definición de la única solución utilizando el teorema de Picard-Lindelöf. Sin embargo, no entiendo cómo debo aplicar el teorema de Picard para encontrar ese intervalo.
Gracias de antemano.

Veo que la función idénticamente nula \( y(x)=0,\,\forall \, x \in \mathbb{R} \), es solución del P.V.I.
Y además \( f(x,y)=\dfrac{y}{x^2+y^2+1} \) cumple las hipótesis del teorema de P.L., luego supongo que el intervalo máximo de definición es \( \mathbb{R} \) si no me equivoco, claro.
Saludos

El ejercicio me pide que encuentre el intervalo máximo de definición de la única solución usando el Teorema de Picard-Lindelöf no buscando una solución particular, no se si lo que me has dicho me serviría como respuesta.

[Fernando Revilla]

El ejercicio me pide que encuentre el intervalo máximo de definición de la única solución usando el Teorema de Picard-Lindelöf no buscando una solución particular, no se si lo que me has dicho me serviría como respuesta.

Tal vez se refiera a lo siguiente: para \( f(x,y)=\displaystyle\frac{y}{1+x^2+y^2} \), las funciones iterativas de Picard \( \left (y_n(x)\right) \) son

        \( \displaystyle y_0(x)=0,\quad y_n(x)=\int_{0}^x f\left(t,y_{n-1}(t)\right)dt. \)

Obtendrás inmediatamente que \( y_n(x)=0 \) para todo \( n \) con lo cual al solución

         \( y(x)=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}y_n(x)=0 \)

está definida en \( I=(-\infty,+\infty) \).

P.D. Puede ser útil https://fernandorevilla.es/2015/12/01/iteraciones-de-picard/.

[ani_pascual]

Hola:

...
El ejercicio me pide que encuentre el intervalo máximo de definición de la única solución usando el Teorema de Picard-Lindelöf no buscando una solución particular, no se si lo que me has dicho me serviría como respuesta.

No sé si te servirá el siguiente análisis ...
Si es \( f(x,y)=\dfrac{y}{x^2+y^2+1} \) con \( f:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} \), entonces \( f \) es continua en \( D=\mathbb{R}\times \mathbb{R} \) y además, dados \(  a>0,b>0 \) arbitrarios \(  [-a,a]\times [-b,b]\subset D=\mathbb{R}\times \mathbb{R} \) se cumple que  \(  \forall (x,y),(x,z)\in D \) es \( |f(x,y)-f(x,z)|<|y-z| \); en efecto, \( f(x,y)-f(x,z)=\dfrac{y}{x^2+y^2+1}-\dfrac{z}{x^2+z^2+1}=\cdots =\dfrac{(y-z)(x^2+1)+yz^2-zy^2}{(x^2+y^2+1)(x^2+z^2+1)}=\dfrac{(y-z)(x^2+1-yz)}{(x^2+y^2+1)(x^2+z^2+1)} \) de donde \( |f(x,y)-f(x,z)|=\dfrac{|y-z||x^2+1-yz|}{(x^2+y^2+1)(x^2+z^2+1)}\leq \dfrac{|y-z|\left|x^2+1+\dfrac{y^2}{2}+\dfrac{z^2}{2}\right|}{(x^2+y^2+1)(x^2+z^2+1)}\leq |y-z| \) con lo que la función \( f \) es Lipschitz en la segunda variable. Por tanto, aplicando el teorema de P.L. existe una solución única \( y\in {\cal C}^1([-a,a],\mathbb{R}) \) del PVI  \( \left\{\begin{array}{l}y'=f(x,y)\\y(0)=0\end{array}\right. \).
Pero \( y(x)=0,\,\,\forall\,x\in [-a,a]  \) es solución del PVI, luego será la única y como \( a>0 \) es arbitrario, se puede extender a \( ]-\infty,\infty[ \).
Saludos