[franma]

Buenas a todos,

Estoy intentando adaptar la construcción de un modelo de \( \mathsf{ZF}+\neg\mathsf{AC} \) como se muestra en el libro Set Theory de Thomas Jech (página 221 de la tercera edición). La cuestión es que en el curso usamos más que nada los \( \mathbb{B} \)-nombres mientras que parece ser que Jech usa los \( P \)-nombres.

Partimos de un modelo \( M\models \mathsf{ZFC} + (V=L) \), aquí me surgen dos dudas:

• ¿Por qué precisamos que el modelo base cumpla \( \mathsf{AC} \)? Tal vez es porque el forcing genralmente se hace con \( \mathsf{AC} \) (aunque en mi curso no lo pediamos)
• ¿Donde se usa que el modelo base cumpla \( V=L \)? No logro darme cuenta leyendo el libro.

Ahora realizamos una construcción conocida (añadimos reales de Cohen), tomamos como conjunto de forcing \( \mathbb{P} = (\text{Fin}(\omega^2, 2),\supset) \) y un filtro \( M \)-genérico \( G\subseteq \mathbb{P} \), ahora en \( M[G] \) podemos definir:

\( g := \bigcup G : \omega^2 \to 2 \)

(se verifica facilmente que \( g \) es una función total.) Ahora podemos considerar los "nuevos reales":

\( a_i := \{n \in \omega : g(i,n) = 1\}\in \mathfrak{P}(\omega)^{M[G]} \) para cada \( i\in \omega \)

junto con el conjunto:

\( A := \{a_i : i \in \omega\} \)

Ahora, para poder razonar con estos objetos en \( M \) debemos constuirles nombres, así que definimos \( \dot{a}_i \in V^{\mathbb{B}} \) (o sea, en \( (V^\mathbb{B})^M =: M^\mathbb{B} \)) como:

\( \begin{cases}
\text{dom}(\dot{a}_i) &: = \{ \check{n} : n\in \omega \} \\
\dot{a}_i(\check{n}) &: = \{p \in \mathbb{P} : p(i,n) = 1\}^{\perp \perp}
\end{cases} \)

Recordatorio

Por las dudas recuerdo que el poset \( \mathbb{P} \) induce un álgebra booleana completa \( \mathbb{B}(\mathbb{P}) \) (que yo abrevio a \( \mathbb{B} \)) dada por \( \mathbb{B} := \{X\subseteq \mathbb{P} : X^{\perp\perp} = X\} \) donde \( X^\perp := \{p\in \mathbb{P} : (\forall q\in X)\ q\bot p\} \) y todo filtro \( M \)-genérico \( F\subseteq \mathbb{P} \) induce un ultrafltro \( M \)-genérico \( \tilde{F}\subseteq \mathbb{B} \) definido como \( \tilde{F} := \{ X\in \mathbb{B} : X\cap G \neq \emptyset \} \)

Ahora recordar que dado un elemento de \( u\in M^\mathbb{B} \) su reificación \( u^G \in M[G] \) esta definida por recursión por:

\( u^G := \{ v^G : v\in \text{dom}(u) \land u(v) \in \tilde{G} \} \)

[cerrar]

También definimos \( \dot{A} \in M^\mathbb{B} \) como:

\( \begin{cases}
\text{dom}(\dot{A}) &: = \{ \dot{a}_i : i \in \omega \} \\
\dot{A}(\dot{a}_i) &: = 1_\mathbb{B}
\end{cases} \)

(no es dificil comprobar que efectivamente son los nombres buscados, es decir, que \( (\dot{a}_i)^G = a_i \) y que \( (\dot{A})^G = A \)).

Ahora lo primero que hay que probar es que \( M[G] \models (\forall i,j\in \omega)(i\neq j \Rightarrow a_i\neq a_j) \) y para esto probaremos algo más fuerte, que toda condición \( p\in \mathbb{P} \) fuerza \( \dot{a}_i \neq \dot{a}_j \). Queremos entonces ver que:

\( (\forall p\in \mathbb{P})\ p \Vdash \dot{a}_i \neq \dot{a}_j \)

Aquí es donde me tranco porque no se trabajar con la relación de forcing Recuerdo que esta esta definida por:

\( p \Vdash \varphi(u_1^,...,u_n) :\equiv e(p) \leq [\![ \varphi(u_1,...,u_n)]\!] \Leftrightarrow p \in [\![ \varphi(u_1,...,u_n)]\!] \)

donde \( e(p) := \{p\}^{\perp\perp} \)

¿Debo calcular a mano \( [\![ \dot{a}_i \neq \dot{a}_j ]\!] \)? Cualquier ayuda y/o aclaración es bienvenida.

Saludos,
Franco.

[Carlos Ivorra]

La cuestión es que en el curso usamos más que nada los \( \mathbb{B} \)-nombres mientras que parece ser que Jech usa los \( P \)-nombres.

Pues es un incordio (lo de usar sólo \( \mathbb{B} \)-nombres). Dado un conjunto preordenado \( \mathbb P \), sumergirlo en un álgebra de Boole completa es útil para definir la relación del forcing, pero, una vez definida, conviene observar que podemos prescindir ya para siempre de las álgebras de Boole. Si \( G \) es un filtro \( \mathbb P \)-genérico sobre \( M \), todo elemento de \( M[G] \) admite un \( \mathbb P \)-nombre y no hay necesidad ninguna de buscarle un \( \mathbb B \)-nombre.

Partimos de un modelo \( M\models \mathsf{ZFC} + (V=L) \), aquí me surgen dos dudas:

• ¿Por qué precisamos que el modelo base cumpla \( \mathsf{AC} \)? Tal vez es porque el forcing genralmente se hace con \( \mathsf{AC} \) (aunque en mi curso no lo pediamos)
• ¿Donde se usa que el modelo base cumpla \( V=L \)? No logro darme cuenta leyendo el libro.

Supone AC porque sólo ha definido las extensiones genéricas de modelos de ZFC. Viendo superficialmente la prueba, no me parece que use en ningún momento la hipótesis de que \( V=L \). No sé si se me escapará algo, pero yo diría que no hace falta.

Ahora realizamos una construcción conocida (añadimos reales de Cohen), tomamos como conjunto de forcing \( \mathbb{P} = (\text{Fin}(\omega^2, 2),\supset) \) y un filtro \( M \)-genérico \( G\subseteq \mathbb{P} \), ahora en \( M[G] \) podemos definir:

\( g := \bigcup G : \omega^2 \to 2 \)

(se verifica facilmente que \( g \) es una función total.) Ahora podemos considerar los "nuevos reales":

\( a_i := \{n \in \omega : g(i,n) = 1\}\in \mathfrak{P}(\omega)^{M[G]} \) para cada \( i\in \omega \)

junto con el conjunto:

\( A := \{a_i : i \in \omega\} \)

Ahora, para poder razonar con estos objetos en \( M \) debemos constuirles nombres, así que definimos \( \dot{a}_i \in V^{\mathbb{B}} \) (o sea, en \( (V^\mathbb{B})^M =: M^\mathbb{B} \)) como:

\( \begin{cases}
\text{dom}(\dot{a}_i) &: = \{ \check{n} : n\in \omega \} \\
\dot{a}_i(\check{n}) &: = \{p \in \mathbb{P} : p(i,n) = 1\}^{\perp \perp}
\end{cases} \)

Recordatorio

Por las dudas recuerdo que el poset \( \mathbb{P} \) induce un álgebra booleana completa \( \mathbb{B}(\mathbb{P}) \) (que yo abrevio a \( \mathbb{B} \)) dada por \( \mathbb{B} := \{X\subseteq \mathbb{P} : X^{\perp\perp} = X\} \) donde \( X^\perp := \{p\in \mathbb{P} : (\forall q\in X)\ q\bot p\} \) y todo filtro \( M \)-genérico \( F\subseteq \mathbb{P} \) induce un ultrafltro \( M \)-genérico \( \tilde{F}\subseteq \mathbb{B} \) definido como \( \tilde{F} := \{ X\in \mathbb{B} : X\cap G \neq \emptyset \} \)

Ahora recordar que dado un elemento de \( u\in M^\mathbb{B} \) su reificación \( u^G \in M[G] \) esta definida por recursión por:

\( u^G := \{ v^G : v\in \text{dom}(u) \land u(v) \in \tilde{G} \} \)

[cerrar]

También definimos \( \dot{A} \in M^\mathbb{B} \) como:

\( \begin{cases}
\text{dom}(\dot{A}) &: = \{ \dot{a}_i : i \in \omega \} \\
\dot{A}(\dot{a}_i) &: = 1_\mathbb{B}
\end{cases} \)

(no es dificil comprobar que efectivamente son los nombres buscados, es decir, que \( (\dot{a}_i)^G = a_i \) y que \( (\dot{A})^G = A \)).

Si con la teoría que has estudiado necesitas todo eso, pues bien, pero en realidad no hace ninguna falta. Un \( \mathbb P \)-nombre para \( a_i \) es simplemente \( \sigma_i = \{(\check n, p)\mid p(i, n)=1\} \), mientras que un \( \mathbb P \)-nombre para \( A \) es simplemente \( \sigma = \{(\sigma_i, 1)\mid i\in \omega\} \).

Ahora lo primero que hay que probar es que \( M[G] \models (\forall i,j\in \omega)(i\neq j \Rightarrow a_i\neq a_j) \) y para esto probaremos algo más fuerte, que toda condición \( p\in \mathbb{P} \) fuerza \( \dot{a}_i \neq \dot{a}_j \). Queremos entonces ver que:

\( (\forall p\in \mathbb{P})\ p \Vdash \dot{a}_i \neq \dot{a}_j \)

Pero es que no es algo más fuerte. Es equivalente, al menos si supones que el modelo \( M \) es numerable. Decir que \( p\Vdash \phi(\sigma_1,\ldots, \sigma_n) \) es equivalente a que para todo filtro genérico \( G \) sobre \( M \) tal que \( p\in G \) se cumple \( \phi^{M[G]}(\sigma_{1G}, \ldots, \sigma_{nG}) \). Esto es (parte de) el teorema fundamental del forcing.

Por lo tanto, lo único que tienes que demostrar es que si \( G \) es un filtro genérico e \( i\neq j \), entonces \( a_i\neq a_j \), y eso es inmediato por el hecho de que \( G \) es genérico.

Que \( G \) sea genérico significa que corta a todo subconjunto denso de \( \mathbb P \) contenido en \( M \), y basta con que apliques esto al conjunto \( D_{ij}=\{p\in \mathbb P\mid \exists n\in \omega\, p(i,n)\neq p(j,n)\} \). Se comprueba que es denso, que está en \( M \) y, tomando \( p\in D_{ij}\cap G \), tenemos que existe un \( n\in \omega \) tal que \( g(i,n)\neq g(j, n)  \), lo que significa que \( n\in a_i\setminus a_j \), o bien \( n\in a_j\setminus a_i \), luego \( a_i\neq a_j \).

Aquí es donde me tranco porque no se trabajar con la relación de forcing Recuerdo que esta esta definida por:

\( p \Vdash \varphi(u_1^G,...,u_n^G) :\equiv e(p) \leq [\![ \varphi(u_1,...,u_n)]\!] \Leftrightarrow p \in [\![ \varphi(u_1,...,u_n)]\!] \)

donde \( e(p) := \{p\}^{\perp\perp} \)

¿Debo calcular a mano \( [\![ \dot{a}_i \neq \dot{a}_j ]\!] \)? Cualquier ayuda y/o aclaración es bienvenida.

Es muy raro que haga falta calcular alguna vez algo así. La definición de la relación del forcing es "olvidable", igual que uno puede olvidarse de la definición de los números reales una vez que conoce las propiedades que caracterizan a los números reales. Lo único que importa de la relación del forcing es el teorema fundamental, que dice dos cosas: 1) lo que he dicho antes y 2) que si se cumple \( \phi^{M[g]}(\sigma_{1G}, \ldots, \sigma_{nG}) \), existe \( p\in G \) tal que \( p\Vdash \phi(\sigma_1,\ldots, \sigma_n) \).

Una vez demostrado esto, la definición de \( \Vdash \) y la compleción de \( \mathbb P \) no hacen falta para nada (sin perjuicio de que el algún caso en concreto pueda ser útil hacer referencia a ellos).

[Carlos Ivorra]

He estado mirando tus apuntes:

https://www.fing.edu.uy/~amiquel/posgrado24/index.html

para ver si había mucha diferencia entre lo que te estaba diciendo y lo que has estudiado, y veo que no. La clave es el teorema que tienes en el pdf 4, titulado "Extensiones genéricas". Copio:

Teorema de forcing:

Para toda fórmula \( \phi(x_1, \ldots, x_n) \) con parámetros \( u_1,\ldots, u_n\in M^{\mathbb B} \):

\( \phi^{M[G]}(u_1^G, \ldots, u_n^G) \leftrightarrow \exists p\in G\,p\Vdash \phi(u_1,\ldots, u_n) \).

Aunque no lo pone, ahí hay que entender que \( G \) es un filtro \( \mathbb P \)-genérico sobre \( M \).

Lo que te decía es que, con este teorema, puedes olvidarte por completo (casi siempre) de calcular valores booleanos de fórmulas. El único matiz que lo mejoraría es tener claro que \( M[G]=\{u^G\mid u\in M^{\mathbb P}\} \), donde los \( \mathbb P \)-nombres admiten una estructura mucho más laxa. No necesitan ser funciones ni nada.

Ahora no tengo mucho tiempo, pero si tienes alguna duda sobre lo que te decía en el mensaje anterior, sobre esta base que conoces podemos aclararlo todo fácilmente. Ayer te escribía a ciegas, sin saber qué sabías y qué no.

[franma]

Hola Carlos ,

Primero quiero pedirte perdón porque ayer tenía un gran mareo. Resulta que Jech le dice \( P \)-nombres a lo que para nosotros son los \( \mathbb{B} \)-nombres

He estado mirando tus apuntes:

https://www.fing.edu.uy/~amiquel/posgrado24/index.html

para ver si había mucha diferencia entre lo que te estaba diciendo y lo que has estudiado, y veo que no. La clave es el teorema que tienes en el pdf 4, titulado "Extensiones genéricas". Copio:

Teorema de forcing:

Para toda fórmula \( \phi(x_1, \ldots, x_n) \) con parámetros \( u_1,\ldots, u_n\in M^{\mathbb B} \):

\( \phi^{M[G]}(u_1^G, \ldots, u_n^G) \leftrightarrow \exists p\in G\,p\Vdash \phi(u_1,\ldots, u_n) \).

Aunque no lo pone, ahí hay que entender que \( G \) es un filtro \( \mathbb P \)-genérico sobre \( M \).

Lo que te decía es que, con este teorema, puedes olvidarte por completo (casi siempre) de calcular valores booleanos de fórmulas.

La verdad es que estaba (y probablemente este) un poco confundido con esa parte del "teorema fundamental". Lo que no me queda claro es que parte del si y sólo si es "la importante", me explico, ¿la utilidad del teorema es que probar cosas en \( M[G] \) se reduce a probar que existe alguna condición en el genérico que la fuerza? ¿o que para probar que existe alguna condición que fuerza \( \psi \) basta con razonar en \( M[G] \) y probar \( \psi \)? O tal vez sea algo que depende del caso y simplemente me falte experiencia.

Todo lo que me dices en tu mensaje anterior lo entiendo (por cierto, que raro que no se use lo de V=L), solo me queda entender un pequeño (gran) detalle que son los \( \mathbb{P} \)-nombres, estos aparecen en mis apuntes (el pdf 5 "Forcing Axiomático") pero no esta la construcción de \( M[G] \) utilizando \( V^\mathbb{P} \), ¿tienes alguna referencia para leer un poco al respecto? O me alcanzaría si me puedes detallar un poco la construcción y como se hace \( u^G \) para \( u\in V^\mathbb{P} \).

Cuando tenga esto un poco más claro publicare otro mensaje intentando terminar la prueba de consistencia relativa de no AC.

Saludos,
Franco.

[Carlos Ivorra]

Primero quiero pedirte perdón porque ayer tenía un gran mareo. Resulta que Jech le dice \( P \)-nombres a lo que para nosotros son los \( \mathbb{B} \)-nombres

Es cierto. No me había dado cuenta. La exposición del forcing de Jech me parece un desastre. Cuesta ver dónde y cómo define cada cosa. Pero insisto en que es posible (y muy práctico) trabajar con \( \mathbb P \)-nombres definidos sin hacer referencia alguna a ninguna álgebra de Boole.

La verdad es que estaba (y probablemente este) un poco confundido con esa parte del "teorema fundamental". Lo que no me queda claro es que parte del si y sólo si es "la importante", me explico, ¿la utilidad del teorema es que probar cosas en \( M[G] \) se reduce a probar que existe alguna condición en el genérico que la fuerza? ¿o que para probar que existe alguna condición que fuerza \( \psi \) basta con razonar en \( M[G] \) y probar \( \psi \)? O tal vez sea algo que depende del caso y simplemente me falte experiencia.

Las dos implicaciones son fundamentales, pero expresarlas así, como una doble implicación, oculta un poco su significado.

Por una parte, de esa doble implicación se sigue que lo que te decía:

Si \( M \) es un modelo transitivo numerable de ZFC (según dices, basta ZF, aunque yo siempre he trabajado con modelos de ZFC para esto), fijado un conjunto preordenado \( \mathbb P\in M \) y \( \mathbb P \)-nombres \( \sigma_1,\ldots, \sigma_n\in M^{\mathbb P} \), la afirmación \( (p\Vdash \phi(\sigma_1,\ldots, \sigma_n))^M \) equivale a que, para todo filtro \( G \) \( \mathbb P \)-genérico sobre \( M \) tal que \( p\in G \), se cumple \( \phi^{M[G]}(\sigma_1^G,\ldots, \sigma_n^G) \).

Demostración

Si \( (p\Vdash \phi(\sigma_1,\ldots, \sigma_n))^M \) y \( G \) es un filtro genérico tal que \( p\in G \), entonces tenemos \( \phi^{M[G]}(\sigma_1^G,\ldots, \sigma_n^G) \) directamente por el teorema de forcing.

Para el recíproco necesito un hecho básico sobre la relación del forcing que no veo enunciado en tus apuntes: si \( \lnot (p\Vdash \phi(\sigma_1,\ldots, \sigma_n)) \), existe \( q\leq p \) tal que \( q\Vdash \lnot\phi(\sigma_1,\ldots, \sigma_n) \).

En efecto, por definición tenemos que \( \lnot (e(p)\leq [\![ \phi(\sigma_1,\ldots, \sigma_n)]\!]) \), luego  \( e(p)\land  [\![ \phi(\sigma_1,\ldots, \sigma_n)]\!]'\neq 0 \), luego existe un \( q\in \mathbb P \) tal que \( e(q)\leq e(p)\land  [\![ \phi(\sigma_1,\ldots, \sigma_n)]\!]' \). Esto implica que  \( q\leq p \) y \( q\Vdash \lnot\phi(\sigma_1,\ldots, \sigma_n) \).

Teniendo esto en cuenta, si  \( \lnot (p\Vdash \phi(\sigma_1,\ldots, \sigma_n))^M \), tomamos \( q\leq p \) tal que  \( (q\Vdash \lnot\phi(\sigma_1,\ldots, \sigma_n))^M \), y consideramos un filtro genérico \( G \) tal que \( q\in G \) (cuya existencia está garantizada si \( M \) es numerable). Entonces \( p\in G \), pero, por el teorema \( \lnot\phi^{M[G]}(\sigma_1^G,\ldots, \sigma_n^G) \).

[cerrar]

Esto significa que, para probar una afirmación de tipo \( (p\Vdash \phi)^M \), no necesitas meterte en la definición de \( \Vdash \), ni en la de \(  [\![ \phi]\!] \), sino que basta que consideres un filtro genérico arbitrario \( G \) tal que \( p\in G \) y que pruebes \( \phi^{M[G]} \).

Pero, a la vez, es muy importante que estamos considerando la relación \( \Vdash \) relativizada a \( M \). Esto es lo crucial. Podríamos haber definido:

\( p\Vdash^*\phi(\sigma_1,\ldots, \sigma_n) \) si y sólo si para todo filtro \( G \) \( \mathbb P \)-genérico sobre \( M \) tal que \( p\in G \) se cumple \( \phi^{M[G]}(\sigma_1^G,\ldots, \sigma_n^G) \),

pero con esta definición no sería evidente en absoluto que el miembro derecho, que involucra filtros genéricos sobre \( M \) (que no están en \( M \)) puede calcularse desde dentro de \( M \), es decir, que el miembro derecho es equivalente a una fórmula relativizada a \( M \), a saber, \( (p\Vdash \phi(\sigma_1,\ldots, \sigma_n)^M \), que puede usarse para definir conjuntos dentro de \( M \). Esto es un punto crucial de la teoría.

Para probar esto sólo hemos usado la implicación \( \Leftarrow \) del teorema, y es en esta forma como resulta más práctica, pero la implicación contraria es igualmente importante:

Si se cumple \( \phi^{M[G]}(\sigma_1^G,\ldots, \sigma_n^G) \), entonces existe \( p\in G \) tal que \( (p\Vdash\phi(\sigma_1,\ldots, \sigma_n))^M \).

Verás que esto se usa constantemente en cualquier argumento con extensiones genéricas.

solo me queda entender un pequeño (gran) detalle que son los \( \mathbb{P} \)-nombres, estos aparecen en mis apuntes (el pdf 5 "Forcing Axiomático") pero no esta la construcción de \( M[G] \) utilizando \( V^\mathbb{P} \),

He ojeado por encima ese pdf, y me parece que esos \( \mathbb P \)-nombres no son los mismos que lo que usualmente se entiende por \( \mathbb P \)-nombres (aunque no lo te lo aseguro, porque no he llegado a analizar con detalle qué se hace en ese pdf).

¿tienes alguna referencia para leer un poco al respecto? O me alcanzaría si me puedes detallar un poco la construcción y como se hace \( u^G \) para \( u\in V^\mathbb{P} \).

Una referencia es el libro de Kunen (Set Theory, an Introduction to Independence Proofs). La idea es que puedes definir un \( \mathbb P \)-nombre por \( \in \)-recurrencia estableciendo que \( \sigma \) es un \( \mathbb P \)-nombre si y sólo si es un conjunto de pares ordenados de la forma \( (\tau, p) \), donde \( p\in \mathbb P \) y \( \tau \) es un \( \mathbb P \)-nombre.

Entonces, si \( M \) es un modelo transitivo de ZFC, llamamos \( M^\mathbb P \) al conjunto de todos los \( \mathbb P \)-nombres en \( M \) (es decir, los \( \mathbb P \)-nombres que están en \( M \), porque "ser un \( \mathbb P \)-nombre" es absoluto y no hay que distinguir entre \( \mathbb P \)-nombres\( ^M \) y \( \mathbb P \)-nombres que están en \( M \)).

 A su vez, si \( G \) es un filtro \( \mathbb P \)-genérico sobre \( M \), podemos definir el valor de un \( \mathbb P \)-nombre de forma recurrente, como

\( \sigma^G = \{\tau^G\mid \exists p\in G\, (\tau, p)\in \sigma\} \).

Finalmente, podemos definir \( M[G] = \{\sigma^G\mid \sigma\in M^\mathbb P\} \), y se puede probar fácilmente que \( M[G] \) es un conjunto transitivo que satisface todos los axiomas de ZF salvo a lo sumo reemplazo y partes. Para éstos ya es necesario definir la relación de fórcing.

Estas definiciones valen también cuando \( \mathbb P \) es un álgebra de Boole completa, pero en ese caso podemos reducir la clase de los \( \mathbb P \)-nombres considerando únicamente nombres que sean funciones e incluso que cumplan algunas propiedades adicionales, pero en realidad esto, aunque puede ser elegante desde un punto de vista teórico, no es nada práctico, pues vuelve a los nombres unas estructuras mucho menos flexibles que la definición general.

Todo esto está detallado en el capítulo IV de mi libro de Pruebas de consistencia, donde sigo una mezcla del enfoque de Kunen y el de Jech.

[franma]

Hola Carlos ,

Pero insisto en que es posible (y muy práctico) trabajar con \( \mathbb P \)-nombres definidos sin hacer referencia alguna a ninguna álgebra de Boole.

De momento todo lo que he trabajado de forcing ha sido con \( \mathbb{B} \)-nombres pero será cuestión de acostumbrarme.

Si \( M \) es un modelo transitivo numerable de ZFC (según dices, basta ZF, aunque yo siempre he trabajado con modelos de ZFC para esto), fijado un conjunto preordenado \( \mathbb P\in M \) y \( \mathbb P \)-nombres \( \sigma_1,\ldots, \sigma_n\in M^{\mathbb P} \), la afirmación \( (p\Vdash \phi(\sigma_1,\ldots, \sigma_n))^M \) equivale a que, para todo filtro \( G \) \( \mathbb P \)-genérico sobre \( M \) tal que \( p\in G \), se cumple \( \phi^{M[G]}(\sigma_1^G,\ldots, \sigma_n^G) \).

Demostración

Si \( (p\Vdash \phi(\sigma_1,\ldots, \sigma_n))^M \) y \( G \) es un filtro genérico tal que \( p\in G \), entonces tenemos \( \phi^{M[G]}(\sigma_1^G,\ldots, \sigma_n^G) \) directamente por el teorema de forcing.

Para el recíproco necesito un hecho básico sobre la relación del forcing que no veo enunciado en tus apuntes: si \( \lnot (p\Vdash \phi(\sigma_1,\ldots, \sigma_n)) \), existe \( q\leq p \) tal que \( q\Vdash \lnot\phi(\sigma_1,\ldots, \sigma_n) \).

En efecto, por definición tenemos que \( \lnot (e(p)\leq [\![ \phi(\sigma_1,\ldots, \sigma_n)]\!]) \), luego  \( e(p)\land  [\![ \phi(\sigma_1,\ldots, \sigma_n)]\!]'\neq 0 \), luego existe un \( q\in \mathbb P \) tal que \( e(q)\leq e(p)\land  [\![ \phi(\sigma_1,\ldots, \sigma_n)]\!]' \). Esto implica que  \( q\leq p \) y \( q\Vdash \lnot\phi(\sigma_1,\ldots, \sigma_n) \).

Teniendo esto en cuenta, si  \( \lnot (p\Vdash \phi(\sigma_1,\ldots, \sigma_n))^M \), tomamos \( q\leq p \) tal que  \( (q\Vdash \lnot\phi(\sigma_1,\ldots, \sigma_n))^M \), y consideramos un filtro genérico \( G \) tal que \( q\in G \) (cuya existencia está garantizada si \( M \) es numerable). Entonces \( p\in G \), pero, por el teorema \( \lnot\phi^{M[G]}(\sigma_1^G,\ldots, \sigma_n^G) \).

[cerrar]

De acuerdo. No conocía ese resultado.

Pero, a la vez, es muy importante que estamos considerando la relación \( \Vdash \) relativizada a \( M \). Esto es lo crucial. Podríamos haber definido:

\( p\Vdash^*\phi(\sigma_1,\ldots, \sigma_n) \) si y sólo si para todo filtro \( G \) \( \mathbb P \)-genérico sobre \( M \) tal que \( p\in G \) se cumple \( \phi^{M[G]}(\sigma_1^G,\ldots, \sigma_n^G) \),

pero con esta definición no sería evidente en absoluto que el miembro derecho, que involucra filtros genéricos sobre \( M \) (que no están en \( M \)) puede calcularse desde dentro de \( M \), es decir, que el miembro derecho es equivalente a una fórmula relativizada a \( M \), a saber, \( (p\Vdash \phi(\sigma_1,\ldots, \sigma_n)^M \), que puede usarse para definir conjuntos dentro de \( M \). Esto es un punto crucial de la teoría.

Bien, esa observación la tengo en mis notas.

Si se cumple \( \phi^{M[G]}(\sigma_1^G,\ldots, \sigma_n^G) \), entonces existe \( p\in G \) tal que \( (p\Vdash\phi(\sigma_1,\ldots, \sigma_n))^M \).

Verás que esto se usa constantemente en cualquier argumento con extensiones genéricas.

De acuerdo.

He ojeado por encima ese pdf, y me parece que esos \( \mathbb P \)-nombres no son los mismos que lo que usualmente se entiende por \( \mathbb P \)-nombres (aunque no lo te lo aseguro, porque no he llegado a analizar con detalle qué se hace en ese pdf).

No es necesario que leas mis apuntes (no pretendo que lo hagas), te dejo aquí las definiciones que se hacen en el mismo sobre \( \mathbb{P} \)-nombres:

Se construye la clase \( V^\mathbb{P} \) de los \( \mathbb{P} \)-nombres (recursivos) por:

\( \displaystyle V^\mathbb{P} := \bigcup_{\alpha\in On} V_\alpha^\mathbb{P} \)

donde

\( \displaystyle V^\mathbb{P}_\alpha := \bigcup_{\beta<\alpha} \mathfrak{P}(V^\mathbb{P}_\beta \times \mathbb{P}) \)

Es decir, intuitivamente un \( \mathbb{P} \)-nombre (recursivo) es un conjunto de la forma:

\( \{(v_1,p_1),(v_2,p_2),...\} \)

donde los \( v_i \) son \( \mathbb{P} \)-nombres (recursivos) y los \( p_i \) son condiciones.

Que (si no me equivoco) es la definición que das tu más abajo.

Respecto a todo lo otro que me dices, he estado revisando tu libro sobre pruebas de consistencia relativa y creo que ahora lo tengo un poco más claro. Me gustaría entonces intentar escribir este ejemplo sobre el axioma de elección, aunque si no te molesta utilizare los \( \mathbb{B} \)-nombres porque ya tenía un poco escrito con ellos (y por costumbre supongo) .


Intentaré escribir toda la exposición de Jech y en que partes me tranco:

Primero probamos un resultado general sobre automorfismos de los modelos booleanos. Dado \( \pi \in \text{Aut}(\mathbb{B}) \) podemos definir por inducción transfinita (lo hacemos en los \( V^\mathbb{B}_\alpha \)) un automorfismo de \( V^\mathbb{B} \) que notaremos \( \tilde{\pi} \):

• \( \tilde{\pi}(\emptyset) = \emptyset \)
• \( \begin{cases}
  \text{dom}(\tilde{\pi}(u)) &= \tilde{\pi}(\text{dom}(u))  \\
  \tilde{\pi}(u)(\tilde{\pi}(v)) &= \pi(u(v))\ \text{para todo } \tilde{\pi}(v)\in \text{dom}(\tilde{\pi}(u))
  \end{cases} \)
  

Lema: \( \tilde{\pi}:V^\mathbb{B} \to V^\mathbb{B} \) es inyectiva y \( \tilde{\pi}(\check{x})= \check{x} \)
Esta prueba no me sale ¿para la inyectividad debemos hacer recursión transfinita?

Con esto en mente podemos probar el siguiente resultado:
Lema: Sea \( \varphi(x_1,...,x_n) \) una fórmula, si \( \pi \in \text{Aut}(\mathbb{B}) \) entonces para todos \( u_1,...,u_n \in V^\mathbb{B} \) se tiene que:

\( [\![ \varphi(\tilde{\pi}(u_1),...,\tilde{\pi}(u_n)) ]\!] = \pi([\![ \varphi(u_1,...,u_n) ]\!]) \)

Esta prueba tampoco me sale (más bien no entiendo que hace Jech... en un momento saca un \( \pi \) para afuera sin explicación). No sé si se deberá hacer una recursión doble para las fórmulas atómicas ya que la definición de \( [\![ x\in y ]\!] \) depende de la definición de \( [\![ x = y ]\!] \) y viceversa.

Una duda más que tengo es que luego Jech dice que todo automorfismo de \( \mathbb{P} \) se extiende a un automorfismo de \( \mathbb{B} \) donde esta álgebra de Boole para mi es:

\( \mathbb{B} := \{X\subseteq \mathbb{P} : X^{\perp\perp} = X\} \) donde \( X^\perp := \{p\in \mathbb{P} : (\forall q\in X)\ q\bot p\} \)

Esto no lo veo claro, no se como construir la extensión.

Ahora tomamos un modelo numerable \( M\models \mathsf{ZFC} \) (si a lo largo de la prueba utilizo V=L lo agregaré pero supongamos que no se precisa). Ahora realizamos una extensión genérica para agregar más reales, tomamos como conjunto de forcing \( \mathbb{P} = (\text{Fin}(\omega^2, 2),\supset) \) y un filtro \( M \)-genérico \( G\subseteq \mathbb{P} \), ahora en \( M[G] \) podemos definir:

\( g := \bigcup G : \omega^2 \to 2 \)

(se verifica fácilmente que \( g \) es una función total) Ahora podemos considerar los "nuevos reales":

\( a_i := \{n \in \omega : g(i,n) = 1\}\in \mathfrak{P}(\omega)^{M[G]} \) para cada \( i\in \omega \)

junto con el conjunto:

\( A := \{a_i : i \in \omega\} \)

Definimos \( \dot{a}_i \in V^{\mathbb{B}} \) (o sea, en \( (V^\mathbb{B})^M =: M^\mathbb{B} \)) como:

\( \begin{cases}
\text{dom}(\dot{a}_i) &: = \{ \check{n} : n\in \omega \} \\
\dot{a}_i(\check{n}) &: = \{p \in \mathbb{P} : p(i,n) = 1\}^{\perp \perp}
\end{cases} \)

Y \( \dot{A} \in M^\mathbb{B} \) como:

\( \begin{cases}
\text{dom}(\dot{A}) &: = \{ \dot{a}_i : i \in \omega \} \\
\dot{A}(\dot{a}_i) &: = 1_\mathbb{B}
\end{cases} \)

Es fácil comprobar que \( (\dot{a}_i)^G = a_i \) y que \( (\dot{A})^G = A \)).

Ahora probaremos que \( M[G] \models (\forall i,j\in \omega)(i\neq j \Rightarrow a_i\neq a_j) \) y esto lo hacemos como dice Carlos:

Consideremos el conjunto \( D_{i,j} : = \{p \in \mathbb{P} : (\exists n \in \omega)\ p(i,n) \neq p(j,n) \} \), dado \( q\in \mathbb{P} \) como su dominio es finito debe existir \( n\in \omega \) tal que \( (i,n),(j,n)\not\in \text{dom}(q) \) luego podemos considerar \( p := q \cup \{((i,n),0),(j,n),1)\} \) luego \( p\leq q \) y \( p\in D_{i,j} \) por lo tanto \( D_{i,j} \) es denso y además \( D_{i,j}\in M \) pues esta definido por una fórmula \( \Delta_0 \). Ahora como G es M-genérico podemos tomar \( p\in D_{i,j}\cap M \) por lo cual existe \( n\in \omega \) tal que \( g(i,n)\neq g(j,n) \) y por lo tanto \( a_i\neq a_j \).

Ahora algo que no me quedo claro es como a partir de esto deducir que \( (\forall p\in \mathbb{P})\ p\Vdash \dot{a}_i \neq \dot{a}_j \) ya que me dijiste aquí:

Pero es que no es algo más fuerte. Es equivalente, al menos si supones que el modelo \( M \) es numerable.

que era equivalente si suponemos M numerable. ¿Es utilizando el lema de Rasiowa-Sikorski?

Y hasta aquí por hoy. Cuando tenga estas dudas resueltas continuo con el resto de la prueba.

Saludos,
Franco.

PD: ¿Por qué se les dice filtros genéricos? ¿Tiene algún significado la palabra genérico o es simplemente algo histórico?

[Carlos Ivorra]

No es necesario que leas mis apuntes (no pretendo que lo hagas), te dejo aquí las definiciones que se hacen en el mismo sobre \( \mathbb{P} \)-nombres:

Ya, pero a mí me resulta mucho más práctico echarles un vistazo para hacerme una idea de en qué términos conviene que te responda que no responderte a ciegas, y no me supone ningún esfuerzo. De hecho, prueba de que no me había esforzado mucho es que no encontré la definición de \( \mathbb P \)-nombre que me pones a continuación, que, en efecto, coincide con la que yo te decía. Lo que encontré era otra cosa más rara.

Me gustaría entonces intentar escribir este ejemplo sobre el axioma de elección, aunque si no te molesta utilizare los \( \mathbb{B} \)-nombres porque ya tenía un poco escrito con ellos (y por costumbre supongo) .

Hombre, claro. Si estás siguiendo un curso, lo mejor es que hagas todo en la línea de lo que se hace en el curso. Si te señalo otras alternativas no es para que hagas algo "original" respecto a lo que se espera que hagas, sino para que seas consciente de el salto que puede haber entre lo que estás estudiando y lo que te puedes encontrar.

En este caso, la situación es que si lees muchos artículos o libros que usen forcing, pero sin exponer la teoría básica, que la den por conocida, te puedes encontrar con que no hacen la menor referencia a álgebras de Boole, por lo que si, para digerir algo, tienes que traducirlo a álgebras de Boole, eso es un hándicap que puede complicarte bastante las cosas. Pero sólo te lo digo para que seas consciente de ello, no para que vayas a contracorriente en tu curso.

Más precisamente: la teoría básica del forcing se puede desarrollar sin usar para nada álgebras de Boole (que es lo que hace Kunen), pero eso vuelve muy técnica y farragosa la demostración del teorema fundamental. Por eso es más práctico demostrar el teorema fundamental para álgebras de Boole, así como que toda extensión obtenida mediante un conjunto preordenado arbitrario \( \mathbb P \) se puede obtener igualmente con un álgebra de Boole (la compleción que has descrito en algún mensaje anterior). Ahora bien, conviene acabar de redondear esto llegando a que, al final, es posible trabajar únicamente con \( \mathbb P \) sin hacer referencia para nada a su compleción.

Observa que, para un álgebra de Boole completa, tienes dos definiciones distintas de \( \mathbb B \)-nombre: una es la definición general de \( \mathbb P \)-nombre, que vale igualmente en el caso particular en que \( \mathbb P = \mathbb B \), y otra la exclusiva para álgebras de Boole completas (para la cual, por ejemplo, los \( \mathbb B \)-nombres son funciones, a las que se les puede pedir incluso propiedades adicionales).

La relación entre ambas definiciones es que si \( \pi \) es un \( \mathbb B \)-nombre en el sentido amplio, existe otro \( \mathbb B \)-nombre \( \pi' \) en el sentido particular para álgebras tal que \( [\![ \pi = \pi' ]\!]=1 \).

Pero esto presupone que los términos \( [\![ \phi(\sigma_1,\ldots, \sigma_n) ]\!] \) pueden definirse para \( \mathbb B \)-nombres en sentido amplio y tienen exactamente las mismas propiedades que si sólo consideras nombres en el sentido de álgebras de Boole.

Pero insisto en que sólo te digo esto para que sepas lo que te puedes encontrar si lees más cosas sobre forcing, no para que plantees una revolución en tu curso.

Intentaré escribir toda la exposición de Jech y en que partes me tranco:

Primero probamos un resultado general sobre automorfismos de los modelos booleanos. Dado \( \pi \in \text{Aut}(\mathbb{B}) \) podemos definir por inducción transfinita (lo hacemos en los \( V^\mathbb{B}_\alpha \)) un automorfismo de \( V^\mathbb{B} \) que notaremos \( \tilde{\pi} \):

• \( \tilde{\pi}(\emptyset) = \emptyset \)
• \( \begin{cases}
  \text{dom}(\tilde{\pi}(u)) &= \tilde{\pi}(\text{dom}(u))  \\
  \tilde{\pi}(u)(\tilde{\pi}(v)) &= \pi(u(v))\ \text{para todo } \tilde{\pi}(v)\in \text{dom}(\tilde{\pi}(u))
  \end{cases} \)
  

Lema: \( \tilde{\pi}:V^\mathbb{B} \to V^\mathbb{B} \) es inyectiva y \( \tilde{\pi}(\check{x})= \check{x} \)
Esta prueba no me sale ¿para la inyectividad debemos hacer recursión transfinita?

Sí, pero se dice inducción transfinita, no recursión. Basta probar por inducción sobre \( \alpha \) que si \( {\color{red}x} \in V^{\mathbb B}_\alpha \), entonces, para todo \( \mathbb B \)-nombre \( y \), se cumple que si \( \tilde \pi(x)=\tilde\pi(y) \), entonces \( x=y \).

Lo suponemos cierto para todo \( \beta <\alpha \) y ahora tomamos \( x\in V^{\mathbb B}_\alpha \) tal que existe otro \( \mathbb B \)-nombre \( y \) de modo que \( \tilde\pi(x)=\tilde\pi(y) \). Hay que probar que \( x=y \).

Demostración

Si \( z \) está en el dominio de \( x \), entonces \( \tilde \pi(z) \) está en el dominio de \( \tilde\pi(x) \), que es el mismo que el de \( \tilde \pi(y) \), luego existe un \( z' \) en el dominio de \( y \) tal que \( \tilde\pi(z)=\tilde\pi(z') \), pero \( z \) tiene rango menor que \( \alpha \), luego por hipótesis de inducción \( z=z' \) está en el dominio de \( y \).

El recíproco es igual: si \( z \) está en el dominio de \( y \), entonces \( \tilde \pi(z) \) está en el dominio de \( \tilde\pi(y) \), que es el mismo que el de \( \tilde \pi(x) \), luego existe un \( z' \) en el dominio de \( x \) tal que \( \tilde \pi(z)=\tilde\pi(z') \), y usando la hipótesis de inducción para \( z' \) concluimos que \( z=z' \) está en el dominio de \( x \). En resumen: \( x \) e \( y \) tienen el mismo dominio.

Ahora si \( z \) está en este dominio común, tenemos que \( \pi(x(z))=\tilde\pi(x)(\tilde\pi(z))=\tilde\pi(y)(\tilde\pi(z))=\pi(y(z)) \), luego \( x(z)=y(z) \), y esto prueba que \( x=y \).

[cerrar]

Con esto en mente podemos probar el siguiente resultado:
Lema: Sea \( \varphi(x_1,...,x_n) \) una fórmula, si \( \pi \in \text{Aut}(\mathbb{B}) \) entonces para todos \( u_1,...,u_n \in V^\mathbb{B} \) se tiene que:

\( [\![ \varphi(\tilde{\pi}(u_1),...,\tilde{\pi}(u_n)) ]\!] = \pi([\![ \varphi(u_1,...,u_n) ]\!]) \)

Esta prueba tampoco me sale (más bien no entiendo que hace Jech... en un momento saca un \( \pi \) para afuera sin explicación). No sé si se deberá hacer una recursión doble para las fórmulas atómicas ya que la definición de \( [\![ x\in y ]\!] \) depende de la definición de \( [\![ x = y ]\!] \) y viceversa.

Si. Jech dice que hay que probarlo por inducción como en la definición de \( [\![ x \in y ]\!] \) y \( [\![ x = y ]\!] \), es decir, como hace en la página 209. Allí explica que la definición es por recursión en los pares \( (\rho(x), \rho(y)) \) respecto al orden canónico. Aquí hemos de razonar por inducción respecto a este mismo orden. Eso quiere decir que, cuando supones que la propiedad se cumple para los pares menores que \( (\rho(x), \rho(y)) \), estás suponiendo que se cumple para todos los pares de ordinales \( (\alpha,\beta) \) en los que el máximo de \( \alpha, \beta \) es menor que el máximo de \( \rho(x), \rho(y) \) o bien los máximos son iguales, pero \( \alpha<\rho(x) \), o bien \( \alpha=\rho(x) \), pero \( \beta<\rho(y) \).

Jech pone como ejemplo la prueba de que \( [\![\pi x \in \pi y ]\!] = \pi([\![x \in y ]\!]) \).

La primera igualdad es la definición de \( [\![u \in v ]\!] \) para el caso en que \( u = \pi x \) y \( v = \pi y \).

La segunda igualdad se debe a que los \( t \) del dominio de \( \pi y \) son precisamente los nombres de la forma \( \pi z \), cuando \( z \) varía en el dominio de \( y \), es decir, ha sustituido \( t \) por \( \pi z \).

En la tercera igualdad aplica la hipótesis de inducción, porque \( (\rho(x), \rho(z))<(\rho(x), \rho(y)) \), ya que \( \rho(z)<\rho(y) \). La hipótesis de inducción vale tanto para  \( [\![ x \in y ]\!] \) como para \( [\![ x = y ]\!] \), y aquí la aplica para la igualdad.

Además, por definición \( \pi(y)(\pi(z)) = \tilde\pi(y)(\tilde\pi(z))=\pi(y(z)) \).

Teniendo esto en cuenta, debería haber escrito:

\( \sum\limits_{x\in {\rm dom}(y)}(\pi([\![ x \in y ]\!])\cdot \pi(y(z))), \)

pero Jech da a la vez un paso más, y ahora usa que \( \pi \) es un automorfismo de álgebras, por lo que conserva el producto y el sumatorio (el supremo), y por eso lo saca, con lo que obtiene \( \pi([\![x \in y ]\!]) \), aplicando de nuevo la definición de \( \![x \in y ]\!] \).

A ver si así ya está todo claro.

Una duda más que tengo es que luego Jech dice que todo automorfismo de \( \mathbb{P} \) se extiende a un automorfismo de \( \mathbb{B} \) donde esta álgebra de Boole para mi es:

\( \mathbb{B} := \{X\subseteq \mathbb{P} : X^{\perp\perp} = X\} \) donde \( X^\perp := \{p\in \mathbb{P} : (\forall q\in X)\ q\bot p\} \)

Esto no lo veo claro, no se como construir la extensión.

Para que tenga sentido hablar de una extensión, además tienes que considerar la inmersión \( e: \mathbb P\longrightarrow \mathbb B(\mathbb P) \), dada por \( e(p) = \{p\}^{\perp\perp} \) (así mismo la tienes definida en tus apuntes).

Se trata de encontrar un automorfismo \( \bar\pi: \mathbb B\longrightarrow \mathbb B \) tal que \( \bar\pi(e(p))=e(\pi(p)) \). Define \( \bar\pi(X)= \pi[X] \). En principio, esta definición vale para todo \( X\subset \mathbb P \), y el hecho de que \( \pi \) sea un automorfismo se traduce en que \( \bar\pi(X^\perp) = \bar\pi(X)^\perp \), de donde a su vez \( \bar\pi \) transforma elementos de \( \mathbb B \) en elementos de \( \mathbb B \), es un automorfismo de álgebras completas y conmuta con \( e \) como se requiere. Trata de completar los detalles y, si te atascas, dilo.

Ahora tomamos un modelo numerable \( M\models \mathsf{ZFC} \) (si a lo largo de la prueba utilizo V=L lo agregaré pero supongamos que no se precisa). Ahora realizamos una extensión genérica para agregar más reales, tomamos como conjunto de forcing \( \mathbb{P} = (\text{Fin}(\omega^2, 2),\supset) \) y un filtro \( M \)-genérico \( G\subseteq \mathbb{P} \), ahora en \( M[G] \) podemos definir:

\( g := \bigcup G : \omega^2 \to 2 \)

(se verifica fácilmente que \( g \) es una función total) Ahora podemos considerar los "nuevos reales":

\( a_i := \{n \in \omega : g(i,n) = 1\}\in \mathfrak{P}(\omega)^{M[G]} \) para cada \( i\in \omega \)

junto con el conjunto:

\( A := \{a_i : i \in \omega\} \)

Definimos \( \dot{a}_i \in V^{\mathbb{B}} \) (o sea, en \( (V^\mathbb{B})^M =: M^\mathbb{B} \)) como:

\( \begin{cases}
\text{dom}(\dot{a}_i) &: = \{ \check{n} : n\in \omega \} \\
\dot{a}_i(\check{n}) &: = \{p \in \mathbb{P} : p(i,n) = 1\}^{\perp \perp}
\end{cases} \)

Y \( \dot{A} \in M^\mathbb{B} \) como:

\( \begin{cases}
\text{dom}(\dot{A}) &: = \{ \dot{a}_i : i \in \omega \} \\
\dot{A}(\dot{a}_i) &: = 1_\mathbb{B}
\end{cases} \)

Es fácil comprobar que \( (\dot{a}_i)^G = a_i \) y que \( (\dot{A})^G = A \)).

Ahora probaremos que \( M[G] \models (\forall i,j\in \omega)(i\neq j \Rightarrow a_i\neq a_j) \) y esto lo hacemos como dice Carlos:

Consideremos el conjunto \( D_{i,j} : = \{p \in \mathbb{P} : (\exists n \in \omega)\ p(i,n) \neq p(j,n) \} \), dado \( q\in \mathbb{P} \) como su dominio es finito debe existir \( n\in \omega \) tal que \( (i,n),(j,n)\not\in \text{dom}(q) \) luego podemos considerar \( p := q \cup \{((i,n),0),(j,n),1)\} \) luego \( p\leq q \) y \( p\in D_{i,j} \) por lo tanto \( D_{i,j} \) es denso y además \( D_{i,j}\in M \) pues esta definido por una fórmula \( \Delta_0 \).

Está definido por una fórmula \( \Delta_0 \) con parámetros \( \mathbb P,\omega \), que están en \( M \), y por eso vale.

Ahora como G es M-genérico podemos tomar \( p\in D_{i,j}\cap M \) por lo cual existe \( n\in \omega \) tal que \( g(i,n)\neq g(j,n) \) y por lo tanto \( a_i\neq a_j \).

Ahora algo que no me quedo claro es como a partir de esto deducir que \( (\forall p\in \mathbb{P})\ p\Vdash \dot{a}_i \neq \dot{a}_j \) ya que me dijiste aquí:

Pero es que no es algo más fuerte. Es equivalente, al menos si supones que el modelo \( M \) es numerable.

que era equivalente si suponemos M numerable. ¿Es utilizando el lema de Rasiowa-Sikorski?

No. Estoy usando esto:

Si \( M \) es un modelo transitivo numerable de ZFC [...], fijado un conjunto preordenado \( \mathbb P\in M \) y \( \mathbb P \)-nombres \( \sigma_1,\ldots, \sigma_n\in M^{\mathbb P} \), la afirmación \( (p\Vdash \phi(\sigma_1,\ldots, \sigma_n))^M \) equivale a que, para todo filtro \( G \) \( \mathbb P \)-genérico sobre \( M \) tal que \( p\in G \), se cumple \( \phi^{M[G]}(\sigma_1^G,\ldots, \sigma_n^G) \).

Has probado que para todo filtro \( G \) \( \mathbb P \)-genérico sobre \( M \), se cumple \( (\dot a_i^G\neq \dot a_j^G)^{M[G]} \), luego, dada una condición \( p\in \mathbb P \), has probado que
 \( (\dot a_i^G\neq \dot a_j^G)^{M[G]} \) se cumple para todo \( G \) tal que \( p\in G \), luego has probado que \( (p\Vdash (\dot a_i\neq \dot a_j))^M \).

Si quieres quitar esa \( M \) (aunque no hace falta para nada, pues para la prueba basta con saber que eso es cierto en \( M \)) puedes aplicar el teorema de reflexión. Dada la fórmula \( p\Vdash (\dot a_i\neq \dot a_j) \) (con parámetros \( p, i, j \), todo lo demás está definido a partir de ellos) existe un modelo transitivo numerable \( M \) de cualquier conjunto finito prefijado de axiomas de ZFC de modo que la fórmula es absoluta para \( M \). Como hemos probado que se cumple en cualquier modelo numerable \( M \), se cumple en \( V \), sin relativizar a nada.

PD: ¿Por qué se les dice filtros genéricos? ¿Tiene algún significado la palabra genérico o es simplemente algo histórico?

No, es un nombre muy adecuado. No sé si Cohen tendría in mente el concepto de "punto genérico" propio de la geometría algebraica, porque la idea es similar. Pero es un poco largo de explicar. Como no es esencial, cuando tenga un poco más de tiempo le dedico un mensaje a eso.

[Carlos Ivorra]

Respondo aquí a la pregunta de por qué se llaman genéricos los filtros genéricos.

El concepto de filtro genérico precisa una idea que en principio es vaga, algo así como la topología precisa el concepto de "puntos de alrededor de un punto", que es escurridiza hasta que se formaliza como "los puntos de un entorno de un punto".

En realidad, los filtros genéricos se llaman genéricos porque permiten construir objetos genéricos (en el sentido vago de la palabra). Pensemos en el ejemplo más simple, el del conjunto \( \mathbb P \) de las funciones parciales finitas de \( \omega \) en \( 2 \). Si \( M \) es un modelo transitivo (mejor numerable) de ZFC y \( G \) es un filtro \( \mathbb P \)-genérico sobre \( M \), a partir de él podemos construir la función \( f_G = \bigcup G: \omega\longrightarrow 2 \), y es lo que podemos llamar una "función genérica". ¿En qué sentido?

Pues en el sentido "vago" (e incluso contradictorio) de que es una función muy, muy general, que no tiene ninguna particularidad.

Por ejemplo, ¿qué dirías que es más general, una función \( f: \omega\longrightarrow 2 \) que va tomando valores variados, \( 0, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1 \ldots \) o una que finalmente toma siempre el valor \( 0 \)?

Cualquiera diría que una función que finalmente vale \( 0 \) es un tipo "muy particular" de función, que no es representativa de lo que es una función arbitraria (o general) de \( \omega \) en \( 2 \). Sería la función característica de un conjunto finito (o cofinito si vale finalmente 1), mientras que un subconjunto "típico" o "general" de \( \omega \) no cabe esperar que sea finito o cofinito.

Igualmente, una función periódica, digamos \( 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, \ldots \) no es "general", sino que la periodicidad es una propiedad que puede tener una función, pero que no podemos esperar que la cumpla "una función cualquiera". Lo "general" es que una función no sea periódica.

Pues la noción de "función genérica", como función construida a partir de un filtro genérico, da rigor a esta idea vaga de "generalidad". Es una función "totalmente general".

¿Cómo formalizamos esta noción de "generalidad" sin caer en contradicciones? ¿Cómo precisamos que "ser periódica no es general, sino que "lo general" es no ser periódica?

La idea es que podemos ver cada condición \( p\in \mathbb P \) como una aproximación posible a una función genérica, de modo que, fijado un filtro \( G \), alguien que viva en \( M \) no puede saber si \( p = \{(0, 0), {\color{red}(}3, 1)\} \) está o no está en \( G \), porque no puede ver \( G \), pero sí que puede razonar (admitiendo que existe un modelo \( M[G] \) trascendente para él) que si \( p\in G \) entonces \( f_G(0)=0 \) y \( f_G(3)=1 \).

Cada elemento de \( \mathbb P \) proporciona información parcial sobre la función genérica y, de hecho, sobre todo el modelo \( M[G] \), en cuanto que el hecho de que una afirmación sobre \( M[G] \) sea verdadera o falsa se puede reducir al problema de si una cierta condición \( p \) la fuerza o no. Alguien que viva en \( M \) no puede saber si en \( M[G] \) se cumple o no una afirmación \( \phi \), pero sabe calcular condiciones \( p, q\in \mathbb P \) de modo que \( p \) fuerza \( \phi \) y \( q \) fuerza \( \lnot\phi \). Toda afirmación sobre \( M[G] \) se reduce al problema de si una determinada condición es verdadera o falsa (en el sentido de que está o no en \( G \)).

Pues bien, como una primera aproximación, podemos decir que una función genérica es general en el sentido de que cumple todas las propiedades que pueden ser probadas por una condición, pero no pueden ser refutadas mediante otra.

Imagina que alguien que vive en M pudiera consultar un oráculo que, de vez en cuando, le revelara que tal o cual condición es verdadera. En tal caso, si te preguntaran si la función genérica cumple tal o cual propiedad, antes de responder sólo tendrías que pensar como cualquier adivino saca-dinero: Plantéate:

1) ¿Una revelación podría confirmar que la respuesta es sí?
2) Si respondo que sí, ¿una revelación podría demostrar que me he equivocado?

Si la respuesta a la primera afirmación es sí y la respuesta a la segunda es no, entonces puedes asegurar que la función genérica cumple la propiedad en cuestión, que nadie podrá demostrar que te equivocas, y eso basta para que puedas estar seguro de que aciertas.

Por ejemplo, imagina que te preguntan: ¿La función genérica cumple \( f_G(30)=1 \)?

Tu respuesta tiene que ser que no lo sabes, porque si dices que sí y se revelara que la condición \( \{(30, 0)\} \) es verdadera, quedaría en evidencia que te has equivocado. Igualmente, tampoco puedes saber si la función genérica cumple \( f_G(30)=0 \).

Ahora bien, si te preguntan: ¿La función genérica toma el valor 1 en un número mayor que 1000?

Ahí puedes responder tranquilamente que sí, porque, ciertamente, una condición como \( \{(2000, 1)\} \) confirmaría que has acertado y, sobre todo, ninguna condición puede demostrar que has mentido.

Si haces una profecía de forma que una revelación puede confirmarla, pero ninguna puede refutarla, entonces puedes estar seguro de que tu profecía es cierta. Eso es la genericidad.

Igualmente puedes concluir que una función genérica no puede ser periódica, porque, para cualquier \( n \), puedes construir una condición \( p \) definida sobre \( n+1 \) tal que \( p(0)\neq p(n) \), que, de revelarse cierta, probaría que la función genérica no tiene periodo \( n \) y, además, ninguna condición puede probar que te equivocas si afirmas que la función genérica no tiene periodo \( n \).

Así, como puedes asegurar que la función genérica no puede tener periodo \( n \) para ningún \( n \), puedes concluir que una función genérica nunca será periódica.

Otro ejemplo: si te preguntan: ¿es posible que los primeros valores de una función genérica sean una codificación en binario (prefijada) de La Divina Comedia? Tienes que decir que no lo sabes, porque una condición podría refutarlo, pero si te preguntan: ¿La función genérica contiene una codificación en binario de La Divina Comedia en alguno de sus segmentos? La respuesta es que sí, porque una condición podría confirmarlo y ninguna condición puede refutar que en un segmento por encima de su dominio no esté escrita La Divina Comedia.

En general, en una función genérica están codificadas en binario, una después de otra, todas las obras de la literatura universal (y las que todavía no se han escrito). En otras palabras, una función genérica contiene todos los patrones finitos de ceros y unos posibles, uno detrás de otro.

Formalizar esta idea nos lleva al concepto de conjunto denso: Fijada una posible propiedad de la función genérica que sea confirmable por una revelación, consideramos el conjunto no vacío \( D \) de las condiciones que probarían que la función genérica tiene esa propiedad, en caso de que fueran reveladas. Si ninguna condición puede refutar que la función genérica cumple la propiedad, eso se traduce en que cualquier condición \( p \) es compatible con una condición de \( D \), lo que significa que puede extenderse a una condición que extienda a una de \( D \), pero si una condición de \( D \) prueba que la función genérica cumple una propiedad, una extensión, que tiene más información, cumplirá lo mismo, luego tenemos que la extensión está en \( D \) y así \( D \) es un conjunto denso, que debe cortar a \( G \) y esto hace que una condición \( p\in D\cap G \) sea verdadera y prueba que la función genérica cumple la propiedad en cuestión.

Por eso, un filtro genérico se define como un filtro que corte a todos los conjuntos densos en \( P \). Esto formaliza la idea de que la función genérica cumple todo lo que no se puede refutar que cumpla. Pero falta una precisión sin la cual resultaría contradictoria.

Si te preguntan: Dada esta función \( h: \omega\longrightarrow 2 \), ¿puede ser que \( h \) sea la función genérica?

Según lo dicho, la respuesta tiene que ser que no, porque si, por ejemplo, \( h(0)=0 \), la condición \( \{(0, 1)\} \) confirmaría la respuesta negativa, y ninguna condición (finita) puede refutar dicha respuesta negativa.

Pero con eso estamos diciendo que una función genérica es diferente de toda función particular dada. Me recuerda a un meme de un matemático que decía: Este teorema es tan general, tan general que no se puede aplicar a ningún caso particular.

Eso implicaría que una función genérica tendría que ser distinta de ella misma, pero por eso la definición de filtro genérico exige únicamente que \( G \) corte a los subconjuntos densos en \( \mathbb P \) que están en \( M \). El conjunto denso que probaría que \( f_G\neq f_G \) sería el conjunto de las condiciones que difieren de \( f_G \) en algún punto de su dominio, que no está en \( M \), por lo que no se le puede aplicar la definición de filtro genérico.

Así pues, un filtro genérico es un filtro que define objetos genéricos, en el sentido de que cumplen todo lo que se puede confirmar que cumplen y no se puede refutar que cumplen mediante condiciones. Eso cuadra con la idea vaga de que una función genérica no tiene que seguir ningún patrón que la haga "particular" o "especial".

[manooooh]

Hola

La idea es que podemos ver cada condición \( p\in \mathbb P \) como una aproximación posible a una función genérica, de modo que, fijado un filtro \( G \), alguien que viva en \( M \) no puede saber si \( p = \{(0, 0), {3, 1)}\} \) está o no está en \( G \), porque no puede ver \( G \), pero sí que puede razonar (admitiendo que existe un modelo \( M[G] \) trascendente para él) que si \( p\in G \) entonces \( f_G(0)=0 \) y \( f_G(3)=1 \).

Hay alguna errata en la definición de \( p \).

Feliz Año

[Carlos Ivorra]

Hay alguna errata en la definición de \( p \).

Faltaba un paréntesis. Gracias.