Hola
Tienes toda la razón, ¿y si consideráramos \( f(x) = \|x\|^2 \), siendo la norma la euclidiana? Entonces sí que se cumpliría, ¿verdad? Aun así, me cuesta un poco formalizarlo usando el resultado comentado.
Si consideras ese caso particular puedes escribir explícitamente la sucesión. Tienes que \( \nabla f(x)=2x \) y
\( x_{m+1}=x_m-2x_m=-x_{m} \)
con lo cual \( f(x_m)=\|x_m\|^2 \) sería en este caso contante.
Podría decir que
\[
\begin{aligned}
&\text{Dado que } f(y) \geq f(x) + \langle \nabla f(x), y - x \rangle, \implies \\
&f(x_{m+1}) \geq f(x_{m}) + \langle \nabla f(x_{m}), x_{m+1} - x_{m} \rangle.
\end{aligned}
\]
Sustituyendo \( x_{m+1} = x_m - \nabla f(x_m) \), se tiene:
\[
\begin{aligned}
&f(x_{m+1}) \geq f(x_{m}) + \langle \nabla f(x_{m}), -\nabla f(x_{m}) \rangle.
\end{aligned}
\]
Es decir:
\[
f(x_{m+1}) \geq f(x_{m}) - \|\nabla f(x_{m})\|^2.
\]
Si suponemos que \( f(x_{m}) \geq f(x_{m+1}) \) y sustituimos en la desigualdad anterior, llegamos a que esto se cumple si y solo si
\[
0 \geq -\|\nabla f(x_{m})\|^2,
\]
lo cual es cierto.
¿Quedaría así bien demostrado?
No acabo de entender lo que pretendes. Quedamos en que el resultado NO es cierto en general y ahí parece que de nuevo pretendas demostrarlo.
\( f(x_{m+1}) \geq f(x_{m}) - \|\nabla f(x_{m})\|^2. \)
De ahí no se deduce que \( f(x_{m+1})\leq f(x_m) \) (tu razonas algo así como que \( P\Rightarrow Q \) y como\( Q \) es cierto entonces \( P \) es cierto, pero eso es una falacia lógica).
Fíjate que esa desigualdad dice que \( f(x_{m+1}) \) es más grande que \( f(x_m) \) menos algo; difícilmente podrás deducir de ahí que necesariamente \( f(x_{m+1}) \) es más pequeño que \( f(x_m) \).
Si tomas la sucesión que yo te dije:
\( x_{m+1} = x_m - \color{red}\delta_m\color{red}\nabla f(x_m) \)
Entonces puedes aplicar \( f(y) \geq f(x) + \langle \nabla f(x), y - x \rangle \) pero intercambiando los papeles de \( x_m \) e \( x_{m+1} \) es decir:
\( f(x_m)\geq f(x_{m+1})+\langle \nabla f(x_{m+1}), x_m - x_{m+1} \rangle=f(x_{m+1})+\delta_m<\nabla f(x_{m+1}),\nabla f(x_{m})> \) (*)
Ahora como \( <f(x_m),f(x_m)>=\|f(x_m)\|^2>0 \), por continuidad si \( x_{m+1} \) está suficientemente cerca de \( x_m \), se conserva el signo, es decir \( <\nabla f(x_{m+1}),\nabla f(x_{m})>>0 \) y por tanto en (*) queda:
\( f(x_m)>f(x_{m+1}) \)
Ese "suficientemente cerca" se consigue tomando un \( \delta_m \) suficientemente pequeño.
Saludos.
