[zorropardo]

Probar que : $$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{ log (1+ \frac{1}{n})}=0.$$   Sin usar que la funcion logaritmo es continua.

Hice lo siguiente: $$log(1+\frac{1}{n})= log (\frac{1+n}{n})= log(n+1)-log (n)$$

y de aqui como puedo seguir 

[Juan Pablo Sancho]

Usando que la sucesión \( a_n = (1+\dfrac{1}{n})^n  \) es estrictamente creciente a  \( e \) tenemos:
\( 0 = \log(1) < \log(1+\dfrac{1}{n}) = \dfrac{n}{n} \cdot \log(1+\dfrac{1}{n}) = \dfrac{1}{n} \cdot \log((1+\dfrac{1}{n})^n) < \dfrac{1}{n} \cdot \log(e) = \dfrac{1}{n} \) por ser la función \( \log(x) \) estrictamente creciente.

Probar que : $$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{ log (1+ \frac{1}{n})}=0.$$   Sin usar que la funcion logaritmo es continua.

Hice lo siguiente: $$log(1+\frac{1}{n})= log (\frac{1+n}{n})= log(n+1)-log (n)$$

y de aqui como puedo seguir 

Con lo que propones si no es continua (saldría inmediatamente) no es derivable, espera otra respuesta.

[ani_pascual]

Hola:

Probar que : $$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{ log (1+ \frac{1}{n})}=0.$$   Sin usar que la funcion logaritmo es continua.
...

¿Puedes aplicar infinitésimos equivalentes?
\( \lim\limits_{n\to \infty}\log\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{1}{n}=0 \)
Saludos

[Masacroso]

En la línea de lo que propone ani_pascual, quizá dispongas del resultado \( 1+x\leqslant e^x \), de donde se sigue (debido a que la función logaritmo es creciente) que \( \ln (1+x)\leqslant x \). De ahí obtienes entonces que \( \lim_{n\to \infty }\ln (1+\tfrac1{n})\leqslant 0 \). Finalmente, para concluir, te faltaría demostrar que \( \ln (1+\tfrac1{n})\geqslant 0 \) para todo \( n \), para lo cual es suficiente saber que \( \ln 1=0 \) y que (como ya hemos usado en un paso anterior) la función logaritmo es creciente.

[zorropardo]

Hola, puse sin usar continuidad , pues eso se trata en los proximos capitulos del libro (no se estudio infinitesimos en el libro). Por otro lado, tambien piden probar:

$$s_{k}= \sum_{n=1}^{k} b_{n} \rightarrow{ +\infty }.$$ 

Segun las indicaciones, vemos que es una suma telescopica y quedaria: $$s_{k}=log(k+1)< k$$ luego tomando el limite , obtenemos:

$$s_{k} \rightarrow{ +\infty} $$ esta bien 

[AveFenix]

Hola, no entiendo bien tu mensaje  . ¿No debería ser \( b_n = \log\left(1 + \frac{1}{n}\right) \)? Veo que pusiste \( \log(1 + k) \), pero creo que te referías a que \( s_k \), la suma parcial reducida enésima de la serie , debería quedar como:

\[
s_k = \sum_{k=1}^n \log\left(1 + \frac{1}{k}\right).
\]

Si usas la propiedad telescópica, la suma parcial puede simplificarse directamente, lo que permite ver que \( s_k \to +\infty \), demostrando así que la serie diverge. También podrías usar el criterio de comparación por paso al límite para llegar al mismo resultado.

O me marie xDD me acabo de levantar 

Saludos

[ani_pascual]

Hola:

...

$$s_{k} \rightarrow{ +\infty} $$ esta bien 

Si \( S_k=\log(k+1) \), para concluir que \( S_k\longrightarrow \infty \) creo que no es necesario usar que \( \log (k+1)<k \)
Saludos

[zorropardo]

Hola, porque no es necesario. 

[Juan Pablo Sancho]

Per eso no implicaría en un principio que fuera \( +\infty \) tienes por ejenplo \( f(k) = 1 \) y para todo \( k \in \mathbb{N} \) tenemos \( f(k) \leq k \) pero \(  f(k) \) no tiende a infinito.
Simplemente tienes que \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \log(n) = +\infty \) si quieres una prueba sencilla, toma \( A>0 \) y como \( \log \) es estrictamente creciente podemos usar que existe \( n > e^{A+1} \) luego:
\( \log(n) > A \).

[zorropardo]

Muy agradecido.