[aurus]

Buen día, ¿podrían ayudarme con este ejercicio?

Sea \( (f_k) \subseteq \mathcal{F}(\mathbb{R}; \mathbb{R}) \), definida por 
\[
f_k(x) = (-1)^{k+1} \frac{1}{x^2 + k}.
\] 

¿Es la serie \( \sum_{j=1}^\infty f_j(x) \) uniformemente convergente en \( \mathbb{R} \)?

Intenté usar el M-test de Weierstrass, pero obtengo que la norma de \( f_k(x) \) está acotada por \( \frac{1}{k} \). No tengo muy claro que otro criterio podría usar para intentar probar la convergencia uniforme.

[ani_pascual]

Hola:

...
Sea \( (f_k) \subseteq \mathcal{F}(\mathbb{R}; \mathbb{R}) \), definida por 
\[
f_k(x) = (-1)^{k+1} \frac{1}{x^2 + k}.
\] 

¿Es la serie \( \sum_{j=1}^\infty f_j(x) \) uniformemente convergente en \( \mathbb{R} \)?

Intenté usar el M-test de Weierstrass, pero obtengo que la norma de \( f_k(x) \) está acotada por \( \frac{1}{k} \). No tengo muy claro que otro criterio podría usar para intentar probar la convergencia uniforme.

Igual me equivoco, pero diría que la sucesión de funciones  \( \{f_k\} \)  converge puntualmente a \( f \) siendo \( f(x)=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{1}{x^2 + k}. \) (se ve que es convergente con el criterio de Leibniz).
Por otra parte, dado \( \varepsilon >0, \) existe \( n_0\in\mathbb{N} \) tal que \( \forall\,n.m\geq n_0  \) se cumple \( \forall\,x\in \mathbb{R},\,\,|f_n(x)-f_m(x)|=\left|\dfrac{(-1)^{n+1}}{x^2+n}-\dfrac{(-1)^{m+1}}{x^2+m}\right|\leq \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{m}<\varepsilon \) luego la sucesión es uniformemente de Cauchy, de donde la convergencia no solo es puntual sino uniforme.
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Igual me equivoco, pero diría que la sucesión de funciones  \( \{f_k\} \)  converge puntualmente a \( f \) siendo \( f(x)=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{1}{x^2 + k}. \) (se ve que es convergente con el criterio de Leibniz).

Bien.

Por otra parte, dado \( \varepsilon >0, \) existe \( n_0\in\mathbb{N} \) tal que \( \forall\,n.m\geq n_0  \) se cumple \( \forall\,x\in \mathbb{R},\,\,|f_n(x)-f_m(x)|=\left|\dfrac{(-1)^{n+1}}{x^2+n}-\dfrac{(-1)^{m+1}}{x^2+m}\right|\leq \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{m}<\varepsilon \) luego la sucesión es uniformemente de Cauchy, de donde la convergencia no solo es puntual sino uniforme.

Ojo, porque así se prueba la convergencia uniforme de la sucesión pero no necesariamente de la serie (la suma).

Se puede razonar como aquí:

https://math.stackexchange.com/questions/2659353/uniform-convergence-of-alternating-series

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

...
Ojo, porque así se prueba la convergencia uniforme de la sucesión pero no necesariamente de la serie (la suma).
...

Si el espacio fuera  el de las funciones reales acotadas  con la norma del supremo, que es completo, ¿sería correcto el razonamiento? Al ser \( \{f_k\} \) de Cauchy, ésta tiene límite, digamos, \( g, \) es decir, \( \{f_k\}\stackrel{u}{\longrightarrow }g \). Pero como la sucesión converge puntualmente a \( f \) se tendría que \( g=f \). ¿Es correcto?
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Si el espacio fuera  el de las funciones reales acotadas  con la norma del supremo, que es completo, ¿sería correcto el razonamiento? Al ser \( \{f_k\} \) de Cauchy, ésta tiene límite, digamos, \( g, \) es decir, \( \{f_k\}\stackrel{u}{\longrightarrow }g \). Pero como la sucesión converge puntualmente a \( f \) se tendría que \( g=f \). ¿Es correcto?

Pero no me refiero a eso.

Una cosa es estudiar la convergencia de la sucesión \( \{f_k(x)\} \) y otra la de la serie \( \{F_n(x)\} \), con \( F_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n{}f_k(x) \).

Tu estás comprobando la propiedad uniforme de Cauchy de la sucesión y eso te da la convergencia uniforme de la sucesión; pero cosa distinta es la convergencia uniforme de la serie, para lo cual deberías de comprobar la propiedad uniforme de Cauchy de la serie.

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

...
Una cosa es estudiar la convergencia de la sucesión \( \{f_k(x)\} \) y otra la de la serie \( \{F_n(x)\} \), con \( F_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n{}f_k(x) \).
...

Entiendo, entiendo...
Entonces... esto que me dices que está bien tampoco está bien ¿no?

Igual me equivoco, pero diría que la sucesión de funciones  \( \{f_k\} \)  converge puntualmente a \( f \) siendo \( f(x)=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{1}{x^2 + k}. \) (se ve que es convergente con el criterio de Leibniz).

Bien.

Ya que la sucesión de funciones  que converge puntualmente a \( f \) no es \( \{f_n\} \) sino \( \{F_n\} \) donde es \( F_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^nf_k \)
¿Es así? ¿O solo te referías a que está bien la conclusión de que para cada \( x\in\mathbb{R} \) la serie \( \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty}f_k(x) \) es convergente?
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Ya que la sucesión de funciones  que converge puntualmente a \( f \) no es \( \{f_n\} \) sino \( \{F_n\} \) donde es \( F_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^nf_k \)
¿Es así? ¿O solo te referías a que está bien la conclusión de que para cada \( x\in\mathbb{R} \) la serie \( \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty}f_k(x) \) es convergente?

Si. Eso lo consideré una errata, es decir, se sobreentiende a que te refieres a que la serie (al sucesión de sumas parciales \( F_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^nf_k \)) converge puntualmente a \( \displaystyle\sum\limits_{k=1}^{\infty}f_k(x) \), ya que de hecho hablas del criterio de Leibnitz cuya aplicación es correcta para justificar la convergencia puntual de la serie.

Saludos.

[aurus]

Muchas gracias a ambos, sus comentarios me ayudaron mucho!