[elcharrocantor]

Hola amigos.

[Luis Fuentes]

Hola amigos. ¿Alguna manera de demostrar utilizando cálculo de una sola variable que de entre TODOS los triángulos con perímetro P dado, el de mayor área es el equilátero?

Hago especial hincapié en que es para todos (sin restricción en su forma) y solamente con el uso de cálculo en una variable puesto que utilizando varias se vuelve especialmente sencillo este ejercicio.

Este problema es un clásico. Ha salido varias veces en el foro:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=123021.0

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=69413.0

En el primer enlace apunto tres formas de resolverlo. La primera es con cálculo en varias varaibes, pero las otras dos son:

En realidad puedes terminar más rápidamente si utilizas la desigualdad aritmétrico geométrica. Para números positivos:

\( \sqrt[3]{abc}\leq \dfrac{a+b+c}{3} \)

y la igualdad sólo se alcanza si \( a=b=c. \)

En tu caso basta que lo apliques para \( a=s-x,\quad b=s-y,\quad c=s-z \).

Donde \( s \) es el semiperímetro y el área (al cuadrado) a maximizar es por Herón \( s(s-x)(s-y)(s-z) \).

También podrías razonar que fijado un lado \( AB \), la suma de la distancias del vértice \( C \) opuesto a los dos del lado es constante y por tanto ese vértice yace sobre una elipse de focos \( AB \). Es inmediato que el triángulo de (estrictamente) mayor área se alcanza en ese caso cuando el tercer vértice coincide con el de la elipse (el que no está en el eje focal), es decir, cuando el triángulo tiene los dos lados \( AC=BC \) iguales. Por tanto necesariamente el triángulo de área máxima fijado el perímetro tiene que tener cada par de lados iguales: es equilátero.

Este último enfoque es en un sola variable, independientemente de que se razone geométricamente como digo ahí o analíticamente.

Se trata de probar que, fijado un lado (además del perímetro) entonces el triángulo de mayor área es el isósceles. Si llamamos \( 2p \) al prerímetro y \( a \) al lado fijo entonces los otros dos lados son \( x \) y \( 2p-a-x \) y por la fórmula de Herón la función a maximizar (área al cuadrado para evitar raíces) es:

\( f(x)=p(p-a)(p-x)(p-(2p-a-x))=p(p-a)(p-x)(x+a-p) \)

que es una simple función de grado dos. Es muy inmediato ver que el máximo se alcanza únicamente para \( x=(2p-a)/2 \) (y así el tercer lado mide lo mismo que el segundo), es decir, para el triángulo isósceles.

Una vez probado esto se concluye así. Si el triángulo óptimo no fuese equilátero tendría dos lados distintos. Pero entonces sabemos que fijando el tercer lado y tomando el isósceles sobre él tendríamos un triángulo de mayor área que él: contradicción. Por tanto el óptimo es isósceles.

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

...
Una vez probado esto se concluye así. Si el triángulo óptimo no fuese equilátero tendría dos lados distintos. Pero entonces sabemos que fijando el tercer lado y tomando el isósceles sobre él tendríamos un triángulo de mayor área que él: contradicción. Por tanto el óptimo es isósceles.
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Otra forma de concluir el razonamiento,  y por seguir usando  funciones de una variable,  puede ser derivando la expresión del área del triángulo isósceles.
\( A(a)=\dfrac{a\sqrt{s^2-as}}{2} \) donde \( s=\dfrac{P}{2} \) es el semiperímetro y \( a \) la base prefijada en el primer paso. Al hacer \( A'(a)=0\Longleftrightarrow \dfrac{2as^2-3a^2s}{4\sqrt{a^2s^2-a^3s}}=0 \) se obtiene \( a=\dfrac{2s}{3}=\dfrac{P}{3} \) y los lados iguales del triángulo isósceles también son \( s-\dfrac{a}{2}=s-\dfrac{2s}{6}=\dfrac{2s}{3}=\dfrac{P}{3} \), con lo que el triángulo es equilátero.
Saludos