[mathsandphysics]

Buenos días,

La duda que tengo es más bien teórica sobre cómo resolver estos ejercicios.

Supongamos que tenemos una función $$f$$ continua en $$\mathbb{R}$$ y derivable en $$\mathbb{R}\setminus \{ x_0\}$$, y me piden estudiar la derivabilidad en $$x_0$$. Lo que siempre me enseñaron es a calcular las derivadas laterales en $$x_0$$ para ver si coincidían, es decir, $$f'_\pm (x_0) = \lim_{ h \to 0^\pm} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$. Esa parte la entiendo.

La duda es: Si la función es derivable salvo en $$x_0$$, yo podría calcular explícitamente la función derivada $$f': \mathbb{R}\setminus \{ x_0\} \to \mathbb{R}$$. En ese caso, para estudiar la posible derivabilidad en $$x_0$$, ¿no bastaría con calcular $$\lim_{ x \to x_0^\pm} f'(x)$$?. O dicho de otro modo, ¿la derivabilidad de $$f$$ en $$x_0$$ no coincidiría con la continuidad de extender $$f'$$ a dicho punto? Siempre me han dicho que no, pero no se me ocurre ningún contraejemplo.

¡Muchas gracias!

[Luis Fuentes]

Hola

Supongamos que tenemos una función $$f$$ continua en $$\mathbb{R}$$ y derivable en $$\mathbb{R}\setminus \{ x_0\}$$, y me piden estudiar la derivabilidad en $$x_0$$. Lo que siempre me enseñaron es a calcular las derivadas laterales en $$x_0$$ para ver si coincidían, es decir, $$f'_\pm (x_0) = \lim_{ h \to 0^\pm} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$. Esa parte la entiendo.

La duda es: Si la función es derivable salvo en $$x_0$$, yo podría calcular explícitamente la función derivada $$f': \mathbb{R}\setminus \{ x_0\} \to \mathbb{R}$$. En ese caso, para estudiar la posible derivabilidad en $$x_0$$, ¿no bastaría con calcular $$\lim_{ x \to x_0^\pm} f'(x)$$?. O dicho de otro modo, ¿la derivabilidad de $$f$$ en $$x_0$$ no coincidiría con la continuidad de extender $$f'$$ a dicho punto?

Puede ocurrir que la función sea derivable en \( x_0 \) pero no exista el límite $$\lim_{ x \to x_0^\pm} f'(x)$$. El ejemplo típico es la función:

\( f(x)=\begin{cases}{0}&\text{si}& x=0\\x^2\cdot sin(1/x) & \text{si}& x\neq 0\end{cases} \)

Para puntos \( x\neq 0 \) cumple que:

\( f'(x)=2x sin(1/x)-cos(1/x) \)

y por tanto no existe el límite \( \displaystyle\lim_{ x \to 0} f'(x) \).

Sin embargo la función si es derivable en \( 0 \) porque:

\( \displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{f(0+x)-f(0)}{x-0}=\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{x^2\cdot sin(1/x)-0}{x}=\displaystyle\lim_{x \to 0}x\cdot sin(1/x)=0 \).

Saludos.

[mathsandphysics]

Ese es el ejemplo que buscaba, ¡muchas gracias!

[Luis Fuentes]

Hola

 Como añadido lo que si es cierto es que si:

- \( f \) es continua en un entorno \( (a,b) \) de \( x_0 \) y derivable en \( (a,b)-\{x_0\} \).

- Existe \( \displaystyle\lim_{x \to x_0}{}f'(x)=L \).

Entonces la función es derivable en \( x_0 \) y \( f'(x_0)=L \).

Saludos.