Hola, estimado Rincón
En la gráfica roja en \( x=2 \) tenemos un máximo local y absoluto.
En la gráfica azul en \( x=2 \) un máximo local pero no absoluto.
Intenta entender tu mismo porqué y olvídate del formalismo por ahora, explícalo con tus palabras.
Sí.
Lo local afecta sólo a lo que ocurre cerca del punto del que estamos hablando; lo absoluto (o gloval) afecta a toda la gráfica.
Sólo se me ocurre que en el dibujo en rojo y en el dibujo azul:
1- Ambos máximos están cerca de las gráficas.
2- Ambos máximos están definidos a trozos:
f(x)=\begin{cases}{6-(x-2)^2}&\text{si}& x<2\\\qquad{7} & \text{si}& x=2\\6-(x-2)^2 & \text{si}&x>2\end{cases}
f(x)=\begin{cases}{(x-2)^2+6}&\text{si}& x<2\\\qquad{7} & \text{si}& x=2\\(x-2)^2+6 & \text{si}& x>2\end{cases}
3- Los dos son máximos locales. Sin expresarlo algebraicamente, el motivo es que no es un salto "grande" respecto de su contexto. No es absoluto: uno de ambos, porque su gráfica tiene puntos "debajo", y el otro sería absoluto porque no tiene puntos por "arriba".
Dudas: la explicación intuitiva que acabo de dar, ¿es correcta?; cuál sería la explicación "formal"?
A mi entender, un extremo relativo (máximo o mínimo) de una función es sinónimo de un extremo local (máximo o mínimo). Quiere decir que en la "proximidad" o "vecindad" del punto, el valor que toma la función en él es mayor (máximo local) o menor (mínimo local) que el valor que toma la función en los demás puntos de un entorno. En la recta real se suelen usar los intervalos como entornos, aunque no todo entorno es un intervalo. Por ejemplo, el entorno de \( 2, \)
\( E(2,\sqrt{2})=\{x\in\mathbb{R}\,|\,|x-2|<\sqrt{2}\}=]2-\sqrt{2},2+\sqrt{2}[ \) sí es un intervalo.
He estado siguiendo un tutorial de la UNED ("Lección 1-Espacios topológicos | Topología | UNED-YouTube"), y con eso y algo de Wikipedia, ahí va:
"Un
intervalo (...) es un subconjunto conexo de la recta real, es decir, un subconjunto \( I\subset{\mathbb{R}} \) que satisface que, para cualesquiera \( u,\,w\,\in{I} \) y \( v\in{\mathbb{R}} \), si \( u\leq{v\leq{w}} \), entonces \( v\in{I} \)."
Conjunto conexo
Un conjunto conexo es un subconjunto \( C\subseteq{X} \) de un espacio topológico \( (X,\tau) \)
El concepto "entorno" en Topología está estrechamente relacionado con el concepto "abierto". Un entorno de un punto es CUALQUIER conjunto que contenga a un abierto al que pertenece el punto. Puedes buscar entornos que no son intervalos en la recta real con la topología usual, sin necesidad de ir al plano euclídeo. En el ejemplo anterior, vimos que \( E(2,\sqrt{2})=]2-\sqrt{2},2+\sqrt{2}[ \) es un entorno de \( 2 \) que es un intervalo, y si quieres buscar un entorno de \( 2 \) que no es un intervalo, te vale cualquier subconjunto de la recta real que contenga al intervalo anterior, ya que éste es un abierto al que pertenece el \( 2 \), por ejemplo,\( U=E(2,\sqrt{2})\cup \{7\} \)
También he echado mano de un libro de texto de la UNED: "Matemáticas, Volumen 2, Acceso a la Universidad":
"Existe pues una identificación del conjunto de los números reales con la recta real, por ello desde este momento no los diferenciaremos.
Definición. Distancia entre dos números: Dados dos números reales \( a \) y \( b \), se llama distancia entre ellos a la longitud del segmento cuyos extremos son los puntos \( a \) y \( b \):
distancia \( (a,b)=|b-a| \)
Subconjuntos de \( \mathbb{R} \)Intervalo abierto. \( (a,b)=\{x\in{\mathbb{R}}\,|\,a<x<b\} \)
Entorno centrado de un punto \( a \). Dado un número real \( \delta>0 \), se llama
entorno abierto centrado en \( a \) y de radio \( \delta \) al intervalo \( (a-\delta,a+\delta) \)."
(...)si quieres buscar un entorno de \( 2 \) que no es un intervalo, te vale cualquier subconjunto de la recta real que contenga al intervalo anterior, ya que éste es un abierto al que pertenece el \( 2 \), por ejemplo,\( U=E(2,\sqrt{2})\cup \{7\} \)
Dudas: ¿Por qué es un entorno? por qué no es un intervalo?
Intento: es un entorno porque es una unión de conjuntos; pero no sé cómo incorporar \( \{7\} \) al entorno \( E(2,\sqrt{2}) \). \( E(2,\sqrt{2})\subset{U} \)
Es la imagen que le pongo...
¡Un saludo!
