[Beautyofmaths]

Hola buenas, estoy tratando de probar que si un conjunto \( A  \) es medible Lebesgue, entonces su trasladado \( s+A \) también lo es a partir de la definición de que un conjunto es medible Lebesgue si \(  \forall \epsilon >0,\exists A_\epsilon \) tal que la medida exterior de la diferencia simétrica \( A\triangle{}A_\epsilon \) es menor que \(  \epsilon \).

Estoy tratando de encontrar relaciones conjuntistas tales como que \( (s+A)\triangle{}(s+A_\epsilon) =s+(A\triangle{}A_\epsilon)  \) usando que \(  A\triangle{}B=(A \cup B) \cap (A\cap B)^c \) donde \( c  \) indica el complementario] pero no pruebo la doble inclusión y estoy atascado. Gracias de antemano.
Aclaración: La medida exterior de Lebesgue de un conjunto A la defino como, dado un cubrimiento de A que cumpla \( A \subset \cup_{i=1} ^\infty A_i \), el ínfimo para esos cubrimientos de \( \sum_{i=1} ^\infty m(A_i)  \) con \(  m \) medida del semianillo en el que estemos trabajando.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola buenas, estoy tratando de probar que si un conjunto \( A  \) es medible Lebesgue, entonces su trasladado \( s+A \) también lo es a partir de la definición de que un conjunto es medible Lebesgue si \(  \forall \epsilon >0,\exists A_\epsilon \) tal que la medida exterior de la diferencia simétrica \( A\triangle{}A_\epsilon \) es menor que \(  \epsilon \).

Estoy tratando de encontrar relaciones conjuntistas tales como que \( (s+A)\triangle{}(s+A_\epsilon) =s+(A\triangle{}A_\epsilon)  \) usando que \(  A\triangle{}B=(A \cup B) \cap (A\cap B)^c \) donde \( c  \) indica el complementario pero no pruebo la doble inclusión y estoy atascado. Gracias de antemano

Todo esto debe de salir muy inmediato. Basta que pruebes que la traslación "se porta bien" con uniones y complementarios. Tanto la intersección como la diferencia simétrica se pueden escribir en términos de unión y complementario:

\( A\cup B=(A^c\cap B^c)^c \)
\( A\triangle B=(A\cup B)\cap (A\cap B)^c \)

Tienes que probar que \( (s+A)\cup (s+B)=s+(A\cup B) \)

Spoiler

Pero trivialmente como \( A,B\subset A\cup B \), \( s+A\subset s+A\cup B \) y \( s+B\subset s+A\cup B \) por tanto \( (s+A)\cup (s+B)\subset s+(A\cup B) \)

Recíprocamente \( x\in s+(A\cup B) \) quiere decir que x-s\in (A\cup B) y por tanto o bien \( x-s\in A \), es decir, \( x\in s+A \) ó bien \( x-s\in B \), es decir, \( x\in s+B \). Por tanto \( x\in (s+A)\cup (s+B) \).

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Y después que \( s+A^c=(s+A)^c \).

Spoiler

Pero si \( x\in s+A^c \) equivale a \( x-s\in A^c \) que equivale a \( x-s\not\in A \) que equivale a \( x\not\in s+A \).

[cerrar]

Saludos.