Hola
En la página (3) aparecen estas tres fórmulas:
\( (*) \left\{
\begin{array}{l}
{q \kappa^{\prime}=\Delta x - R \xi +\frac{(R- P)(\xi +\Delta \xi)}{\cos \varepsilon}}\\
{q \lambda^{\prime}=\Delta y - R \eta +\frac{(R- P)(\eta +\Delta \eta)}{\cos \varepsilon}}\\
{q \mu^{\prime}=\Delta z - R \zeta +\frac{(R- P)(\zeta +\Delta \zeta)}{\cos \varepsilon}}\\
\end{array}\right. \)
Ahora con la notación que te indiqué en el
otro hilo al que haces referencia:
Tienes una recta que pasa por el punto \( A=(x,y,z) \) y tal que los cosenos de los ángulos que forma con los ejes son respectivamente \( \xi,\eta,\zeta \) y por tanto su vector director unitario es \( u=(\xi,\eta,\zeta) \).
Y otra recta que pasa por el punto \( B=(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z) \) y tal que los cosenos de los ángulos que forma con los ejes son respectivamente \( \xi+\Delta xi,\eta+\Delta \eta,\zeta+\Delta \zeta \) y por tanto su vector director unitario es \( v=(\xi+\Delta \xi,\eta+\Delta \eta,\zeta+\Delta \zeta) \).
Tienes que:
\( P= \xi \Delta x + \eta \Delta y + \zeta \Delta z=(B-A)\cdot u \)
y dado que \( q \) es la longitud del vector \( w \) que minimiza la distancia entre las dos rectas (uniendo un punto de cada uno de ellas) y \( (\kappa',\lambda',\mu') \) los cosenos directores tal vector entonces \( (q\kappa',q\lambda',q\mu')=w \) es el vector \( w \).
Tal vector une un punto de la primera recta \( A+Ru \) con uno de la segunda \( B+Sv \) y por tanto:
\( w=(B+Sv)-(A+Ru)=(B-A)-Ru+Sv \) (**)
Por otra formas las fórmulas (*) con esta notación equivalen a:
\( w=(B-A)-Ru+\dfrac{R- (B-A)\cdot u}{\cos \varepsilon}v \)
Así que lo que hay que probar es que \( S=\dfrac{R- (B-A)\cdot u}{\cos \varepsilon} \). (***)
Pero si en \( w \) multiplicamos escalarmente por \( u \) y dado que \( w\cdot u=0 \) (por ser perpendiculares):
\( 0=(B-A)u-Ru\cdot u+Sv\cdot u \)
donde:
\( u\cdot u=\|u\|^2=1 \)
\( v\cdot u=\|u\|\|v\|cos(\varepsilon)=1\cdot 1\cdot cos(\varepsilon) \)
y despejando \( S \) queda justamente (***).
Lo único que no me queda claro es la interpretación de \( R \):
la abcisa de el punto donde este segmento interseca a la primera linea recta \( R \)
Eso no lo veo.
Saludos.
