[zorropardo]

Sea $$s: \mathbb{N} \rightarrow{ \mathbb{N}}$$ funcion sucesor, que cumple:

P1) $$s: \mathbb{N} \rightarrow{ \mathbb{N}}$$ es inyectiva.

P2)  $$\mathbb{N}-s(\mathbb{N})  \neq \emptyset$$

Probar que : Si $$X \subseteq{\mathbb{N}}$$ tal que $$1 \in X$$ y $$s(n) \in X, \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow{X=\mathbb{N}}$$
es equivalente a : Para todo $$A \subseteq{\mathbb{N}}, A \neq \emptyset$$ se tiene que: $$A-s(A) \neq \emptyset.$$

Hice lo siguiente:

Supongamos que : $$ A-s(A) = \emptyset \Rightarrow{ A \cap{ (s(A))^{c}}= \emptyset} \Rightarrow{ A \subseteq{ ((s(A))^{c})^{c}=s(A)}}$$

Esto quiere decir que si $$1 \in A \Rightarrow{ 1 \in s(A)} \Rightarrow{ \exists{ n_{0} \in A} \quad / \quad   1=s(n_{0}) }, \quad $$ lo cual es absurdo , pues $$1$$ no es  sucesor de ningun numero natural.

Esta bien probado? 


$$\textcolor{red}{\mbox{ Corregido:  Donde esta escrito P2), debe ser escrito:  }   \mathbb{N}-s(\mathbb{N}) =\{ 1 \}  } $$

[Guli-Guli]

Probar que : Si $$X \subseteq{\mathbb{N}}$$ tal que $$1 \in X$$ y $$s(n) \in X, \forall n \in \textcolor{red}{X}\Rightarrow{X=\mathbb{N}}$$
es equivalente a : Para todo $$A \subseteq{\mathbb{N}}, A \neq \emptyset$$ se tiene que: $$A-s(A) \neq \emptyset.$$

Cuidado en cómo escribes el principio de inducción. Lo correcto sería lo que pongo ahí en rojo.

¿Está bien probado?

No, porque el conjunto \( A \) no tiene por qué contener el \( 1 \).

Una forma de probarlo sería aprovecharte de que \( A \subseteq s(A) \) para probar que \( A^c = \mathbb{N} \) por el principio de inducción, ya que eso implica necesariamente que \( A = \emptyset \). Con eso obtienes una inclusión y sólo te queda la otra.

[zorropardo]

Hola,   puede ser asi:

Seja $$n \in A \Rightarrow{n  \in s(A)} \Rightarrow{ \exists{ m \in A}} \quad / \quad  s(m)=n ,$$ lo que es abrsurdo ,pues $$s(n) \neq n ; \forall n \in \mathbb{N} $$
 
Por otro lado, no veo como mostrar $$A^{c}=\mathbb{N}$$ 

[Guli-Guli]

Seja $$n \in A \Rightarrow{n  \in s(A)} \Rightarrow{ \exists{ m \in A}} \quad / \quad  s(m)=n ,$$ lo que es abrsurdo ,pues $$s(n) \neq n ; \forall n \in \mathbb{N} $$

Pero el hecho de que \( s(m) = n \) para algún \( m \in \mathbb{N} \) no implica que \( m = n \).

Por otro lado, no veo como mostrar $$A^{c}=\mathbb{N}$$ 

Por inducción usando que \( A \subseteq s(A) \) (que tú mismo lo habías probado antes). Te lo pongo en spoiler:

Demostración

Se tiene que \( 1 \in A^c \), porque en caso contrario \( 1 \in A \subseteq s(A) \) lo cual es imposible dado que \( 1 \) no es sucesor de ningún número natural.

Ahora si \( n \in A^c \), necesariamente \( s(n) \in A^c \), pues sino \( s(n) \in A \subseteq s(A) \), lo que significa que \( n \in A \) contradiciendo, así, que \( n \in A^c \).

En resumen: lo que tenemos es que el conjunto \( A^c \subseteq \mathbb{N} \) cumple que \( 1 \in A^c \) y que, si \( n \in A^c \), también lo pertenece su sucesor. Por tanto, obtenemos por indución que \( A^c = \mathbb{N} \).

[cerrar]

[zorropardo]

Hola, gracias por la respuesta. Por otro ladopara mostrar la reciproca , estaba pensando asi:

Considere:  $$A=X-\mathbb{N} \neq \emptyset$$ con $$A \subseteq{ \mathbb{N} },$$ por hipotesis, tenemos $$A-s(A) \neq  \emptyset$$ esto es
que existe $$x \in A-s(A) \Rightarrow{  x \in A ; x \neq  s(m) } ; \forall m \in A.  $$ Y de aqui no se como concluir 

[Guli-Guli]

Vale, ahora supongamos que todo conjunto no vacío \( A \subseteq \mathbb{N} \) cumple que \( A - s(A) \neq \emptyset \), y lo que queremos probar es el principio de inducción: si \( X \subseteq \mathbb{N} \) cumple que

\( 1 \in X \)        y        \( n \in X \implies s(n) \in X \),

entonces \( X = \mathbb{N} \). Te lo pongo en spoiler otra vez:

Demostración

Tomas un conjunto \( X \subseteq \mathbb{N} \) tal que

\( 1 \in X \)        y        \( n \in X \implies s(n) \in X \).

Si fuera \( X \neq \mathbb{N} \), definimos \( A := \mathbb{N} - X \) y deducimos que \( A - s(A) \) tiene, por lo menos, un elemento \( a \). Esto implica que existe un \( a \in A \) tal que \( a \not\in s(A) \). Como \( 1 \in X \), entonces \( a \neq 1 \), lo cual implica que \( a = s(n) \) para algún \( n \in \mathbb{N} \). Sabemos que \( s(n) = a \not\in s(A) \), luego \( n \in X \) y también que \( a = s(n) \in X \), lo cual es imposible porque habíamos tomado \( a \in A = \mathbb{N} - X \).

Por tanto, necesariamente \( X = \mathbb{N} \).

[cerrar]

[Luis Fuentes]

Hola

 Tal como está enunciado el problema hay un par de cosas que no veo claras.

 La primera es un detalle sobre la prueba de la primera parte:

Se tiene que \( 1 \in A^c \), porque en caso contrario \( 1 \in A \subseteq s(A) \) lo cual es imposible dado que \( 1 \) no es sucesor de ningún número natural.

Ahora si \( n \in A^c \), necesariamente \( s(n) \in A^c \), pues sino \( s(n) \in A \subseteq s(A) \), lo que significa que \( n \in A \) contradiciendo, así, que \( n \in A^c \).

En resumen: lo que tenemos es que el conjunto \( A^c \subseteq \mathbb{N} \) cumple que \( 1 \in A^c \) y que, si \( n \in A^c \), también lo pertenece su sucesor. Por tanto, obtenemos por indución que \( A^c = \mathbb{N} \).

En principio aquí dice que \( s \) es una función inyectiva y cumpliendo que \( \Bbb N-s(\Bbb N)\neq \emptyset \). Pero eso no significa que necesariamente \( 1 \) no sea "sucesor". De hecho no tiene porque ser así. Cualquier biyección de \( \Bbb N\to \Bbb N-\{k\} \) con \( k>1 \) es una función que cumple las condiciones del enunciado y existe \( n \) tal que \( s(n)=1 \).

Lo que si es cierto es que si la función cumple:

(*) Si $$X \subseteq{\mathbb{N}}$$ tal que $$1 \in X$$ y $$s(n) \in X, \forall n \in \mathbb{X} \Rightarrow{X=\mathbb{N}}$$ 

Entonces \( 1 \) no puede estar en la imagen de \( x \). En otro caso podríamos tomar \( X=s(\Bbb N)\neq \Bbb N \) (por la segunda condición de \( s \)) que cumpliría \( 1\in X \) y no se verificaría (*)

Con este matiz esta primera parte está bien probada.

Pero la segunda parte tal como está me parece falsa. Por ejemplo si tomamos \( s(n)=2n \) es una función que cumple las dos hipótesis del enunciado. Además para todo \( A \) no vacío, \( min(A)\in A-s(A) \), luego se cumple:

(**) Para todo $$A \subseteq{\mathbb{N}}, A \neq \emptyset$$ se tiene que: $$A-s(A) \neq \emptyset.$$

Pero sin embargo  si tomamos \( X=1\cup s(\Bbb N) \), se cumple que \( 1\in X \), \( s(n)\in X \) para todo \( n\in \Bbb N \), pero \( X\neq \Bbb N \). Es decir, falla (*).

Saludos.

[zorropardo]

Hola, donde escribes: "lo cual implica que:" $$a=s(n)$$ para algun $$n \in \mathbb{N}$$ (de donde obtuviste esa informacion )

[Guli-Guli]

Pero la segunda parte tal como está me parece falsa.

Para que mi prueba siguiera siendo válida, habría que imponer que \( \mathbb{N} - s(\mathbb{N}) = \{ 1 \} \), o al menos lo usé implícitamente.

Lo que si es cierto es que si la función cumple:

(*) Si $$X \subseteq{\mathbb{N}}$$ tal que $$1 \in X$$ y $$s(n) \in X, \forall n \in \mathbb{X} \Rightarrow{X=\mathbb{N}}$$ 

Entonces \( 1 \) no puede estar en la imagen de \( \textcolor{red}{s} \). En otro caso podríamos tomar \( X=s(\Bbb N)\neq \Bbb N \) (por la segunda condición de \( s \)) que cumpliría \( 1\in X \) y no se verificaría (*)

Ahí también uso implícitamente que \( \mathbb{N} - s(\mathbb{N}) = \{ 1 \} \), con la diferencia de que aquí sí que no me hace falta.

Hola, donde escribes: "lo cual implica que:" $$a=s(n)$$ para algun $$n \in \mathbb{N}$$ (de donde obtuviste esa informacion )

Aquí es donde uso que \( \mathbb{N} - s(\mathbb{N}) = \{ 1 \} \). Como bien dice Luis Fuentes, si no usas esa hipótesis, la implicación contraria sería falsa.

[zorropardo]

En la parte : $$a=s(n)   \not\in s(A)$$ (correcto, entendi),  pero porque  escribes: luego  $$n \in X$$

y tambien $$a=s(n) \in X.$$ 

PD: Ya corrregi el enunciado,  copie mal la segunda condicion.