[clopez]

Buenas tardes. Me pueden ayudar con este ejercicio: Sean \( A,B\subseteq{\mathbb{R^n}} \) tal que \( \textrm{int}(A)=\textrm{int}(B)=\emptyset \). Si \( A \) es cerrado, ¿se cumple que \( \textrm{int}(A\cup{B})=\emptyset \)?

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas tardes. Me pueden ayudar con este ejercicio: Sean \( A,B\subseteq{\mathbb{R^n}} \) tal que \( \textrm{int}(A)=\textrm{int}(B)=\emptyset \). Si \( A \) es cerrado, ¿se cumple que \( \textrm{int}(A\cup{B})=\emptyset \)?

Si. Recuerda que el interior de un conjunto es el mayor abierto contenido en él.  Sea \( U=int(A\cup B)\subset A\cup B \) abierto.

Ahora si \( A \) es cerrado, su complementario \( A^c \) es abierto.

Entonces \( U\cap A^c \) es abierto por ser intersección de abiertos y además \( U\cap A^c\color{red}\subset \color{black}(A\cup B)\cap A^c=B\cap A^c\subset B \). Como \( int(B)=\emptyset \), \( U\cap A^c=\emptyset \). Por tanto \( U\subset A \) y como \( int(A)=\emptyset \), \( U=\emptyset \).

Saludos.

CORREGIDO (gracias ani_pascual)

[ani_pascual]

Hola:

...
Sea \( U=int(A\cup B)\subset A\cup B \) abierto.

Ahora si \( A \) es cerrado, su complementario \( A^c \) es abierto.

Entonces \( U\cap A^c \) es abierto por ser intersección de abiertos y además \( U\cap A^c\textcolor{red}{\supset} (A\cup B)\cap A^c=B\cap A^c\subset B \). Como \( int(B)=\emptyset \), \( U\cap A^c=\emptyset \). Por tanto \( U\subset A \) y como \( int(A)=\emptyset \), \( U=\emptyset \)

Me parece que hay una errata. ¿No debería ser \( U\cap A^c\subset  (A\cup B)\cap A^c=B\cap A^c\subset B?
 \)
Saludos

[clopez]

Muchas gracias por la ayuda