[zorropardo]

1) Probar: $$f(\emptyset)=\emptyset$$

Siempre se cumple: $$ \emptyset \subseteq{ f(\emptyset)}.$$ Falta ver: $$f(\emptyset) \subseteq{ \emptyset}$$

Sea $$y \in  f(\emptyset)\rightarrow{ \exists{ x \in \emptyset}  } \quad / \quad y=f(x)$$

Y de aqui como concluyo que $$y \in  \emptyset.$$ 

2) $$\mathcal{P}(\emptyset)=\{ \emptyset \}$$

Por definicion: $$\mathcal{P}(\emptyset)= \{  A: A \subseteq{ \emptyset}   \} \rightarrow{  A= \emptyset}$$
Por tanto  $$\mathcal{P}(\emptyset)=\{ \emptyset \}$$ esta bien?

[ani_pascual]

Hola:

1) Probar: $$f(\emptyset)=\emptyset$$

Siempre se cumple: $$ \emptyset \subseteq{ f(\emptyset)}.$$ Falta ver: $$f(\emptyset) \subseteq{ \emptyset}$$

Sea $$y \in  f(\emptyset)\rightarrow{ \exists{ x \in \emptyset}  } \quad / \quad y=f(x)$$

Y de aqui como concluyo que $$y \in  \emptyset.$$ 

Puedes razonar así...

Si fuera \( f(\emptyset)\not\subseteq\emptyset \) debe existir \( y\in f(\emptyset) \) tal que \( y\notin \emptyset \), pero esto es imposible ya que existiría \( x\in\emptyset  \) con \( y=f(x) \), lo cual es absurdo. En definitiva, \( f(\emptyset)\subseteq \emptyset \) y, por tanto, \( f(\emptyset)=\emptyset \)

2) $$\mathcal{P}(\emptyset)=\{ \emptyset \}$$

Por definicion: $$\mathcal{P}(\emptyset)= \{  A: A \subseteq{ \emptyset}   \} \rightarrow{  A= \emptyset}$$
Por tanto  $$\mathcal{P}(\emptyset)=\{ \emptyset \}$$ esta bien?

Lo veo bien
Saludos

[Fernando Revilla]

Probar: $$f(\emptyset)=\emptyset$$

Con verbosidad : por definición de imagen directa de un conjunto por medio de una aplicación, \( f(\emptyset) \) está formado por los transformados de todos los elementos de \( \emptyset \) i.e. no existe transformado alguno, por tanto \( f(\emptyset)=\emptyset \).

[zorropardo]

Muy agradecido por las respuestas.