[clopez]

Buenos días. Me pueden ayudar con este problema: Sea \( f:\mathbb{R^m}\rightarrow{\mathbb{R^n}} \). Pruebe que \( f \) es continua en \( \mathbb{R^m} \) si y solo si \( f^{-1}[\textrm{int}(B)]\subseteq{\textrm{int}(f^{-1}[B])},\forall{B\subseteq{\mathbb{R^n}}} \). Mediante un ejemplo, pruebe que el contenido puede ser estricto.
Pensé en lo siguiente: Sea \( x\in{f^{-1}[\textrm{int}(B)]}\Rightarrow{f(x)\in{\textrm{int}(B)}} \). Luego, \( \exists{r>0} \), tal que \( B_r(f(x))\subseteq{B} \). Como \( B_r(f(x)) \) es un conjunto abierto, entonces \( f^{-1}(B_r(f(x))) \) es un conjunto abierto en \( \mathbb{R^m} \) y \( \textrm{int}(f^{-1}(B_r(f(x))))=f^{-1}(B_r(f(x))) \). Hasta aquí me quedé. ¿Alguna sugerencia?

[ani_pascual]

Hola:

Buenos días. Me pueden ayudar con este problema: Sea \( f:\mathbb{R^m}\rightarrow{\mathbb{R^n}} \). Pruebe que \( f \) es continua en \( \mathbb{R^m} \) si y solo si \( f^{-1}[\textrm{int}(B)]\subseteq{\textrm{int}(f^{-1}[B])},\forall{B\subseteq{\mathbb{R^n}}} \). Mediante un ejemplo, pruebe que el contenido puede ser estricto.
Pensé en lo siguiente: Sea \( x\in{f^{-1}[\textrm{int}(B)]}\Rightarrow{f(x)\in{\textrm{int}(B)}} \). Luego, \( \exists{r>0} \), tal que \( B_r(f(x))\subseteq{B} \). Como \( B_r(f(x)) \) es un conjunto abierto, entonces \( f^{-1}(B_r(f(x))) \) es un conjunto abierto en \( \mathbb{R^m} \) y \( \textrm{int}(f^{-1}(B_r(f(x))))=f^{-1}(B_r(f(x))) \). Hasta aquí me quedé. ¿Alguna sugerencia?

Ten en cuenta que \( x\in f^{-1}(B_r(f(x)))\subseteq f^{-1}(B) \), luego \( x\in \textrm{int}(\textcolor{red}{f^{-1}}(B)) \) y así tienes demostrada la primera implicación.
Errata corregida  
Saludos

[ani_pascual]

Hola:
Para la otra implicación...
Sea \( B\subset \mathbb{R^n} \) un abierto arbitrario. Veamos que \( f^{-1}(B)\subset \mathbb{R^m} \) es abierto. Consideremos \( x\in f^{-1}(B) \) cualquiera; entonces \( f(x)\in B=\textrm{Int}(B) \), luego \( x\in f^{-1}(\textrm{Int}(B))\subseteq \textrm{Int}(f^{-1}(B))\subseteq f^{-1}(B) \), por lo que \(  x \) es un punto interior a \( f^{-1}(B) \) y así es \( f^{-1}(B) \) abierto en \( \mathbb{R}^m \) y es \( f \) continua.
Saludos

[ani_pascual]

Hola:
Respecto al ejemplo de inclusión estricta, creo que puedes tomar una función constante \( f(x)=c \)
con \( B=\{c\}\subset\mathbb{R}^n. \) Así, \( f^{-1}(\textrm{Int}(B))=f^{-1}(\emptyset)=\emptyset\subsetneq \mathbb{R}^m= \textrm{Int}(f^{-1}(B)) \)
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Buenos días. Me pueden ayudar con este problema: Sea \( f:\mathbb{R^m}\rightarrow{\mathbb{R^n}} \). Pruebe que \( f \) es continua en \( \mathbb{R^m} \) si y solo si \( f^{-1}[\textrm{int}(B)]\subseteq{\textrm{int}(f^{-1}[B])},\forall{B\subseteq{\mathbb{R^n}}} \). Mediante un ejemplo, pruebe que el contenido puede ser estricto.
Pensé en lo siguiente: Sea \( x\in{f^{-1}[\textrm{int}(B)]}\Rightarrow{f(x)\in{\textrm{int}(B)}} \). Luego, \( \exists{r>0} \), tal que \( B_r(f(x))\subseteq{B} \). Como \( B_r(f(x)) \) es un conjunto abierto, entonces \( f^{-1}(B_r(f(x))) \) es un conjunto abierto en \( \mathbb{R^m} \) y \( \textrm{int}(f^{-1}(B_r(f(x))))=f^{-1}(B_r(f(x))) \). Hasta aquí me quedé. ¿Alguna sugerencia?

Para la primera parte usando que por definición/caracterización el interior de un conjunto es el mayor abierto contenido en él, tienes:

\( int(B)\subset B\quad \Rightarrow{}\quad f^{-1}(int(B))\subset f^{-1}(B) \)

Por ser \( f \) continua e \( int(B) \) abierto, \( f^{-1}(int(B)) \) es un abierto contenido en \( f^{-1}(B) \) y entonces por ser \( int(f^{-1}(B)) \) el mayor abierto contenido en \( f^{-1}(B) \), \( f^{-1}(int(B))\subset int(f^{-1}(B)) \).

Saludos.

CORREGIDO

[clopez]

Hola:
Para la otra implicación...
Sea \( B\subset \mathbb{R^n} \) un abierto arbitrario. Veamos que \( f^{-1}(B)\subset \mathbb{R^m} \) es abierto. Consideremos \( x\in f^{-1}(B) \) cualquiera; entonces \( f(x)\in B=\textrm{Int}(B) \), luego \( x\in f^{-1}(\textrm{Int}(B))\subseteq \textrm{Int}(f^{-1}(B))\subseteq f^{-1}(B) \), por lo que \(  x \) es un punto interior a \( f^{-1}(B) \) y así es \( f^{-1}(B) \) abierto en \( \mathbb{R}^m \) y es \( f \) continua.
Saludos

Gracias a todos por sus valiosos aportes. Solo me queda una duda: el problema pide probar el resultado \( \forall{B}\in{\mathbb{\mathbb{R}^n}} \). ¿Faltaría probar el caso de \( B \) cerrado, trabajando con \( \mathbb{R^n}-B \)?

[Luis Fuentes]

Hola

Hola:
Para la otra implicación...
Sea \( B\subset \mathbb{R^n} \) un abierto arbitrario. Veamos que \( f^{-1}(B)\subset \mathbb{R^m} \) es abierto. Consideremos \( x\in f^{-1}(B) \) cualquiera; entonces \( f(x)\in B=\textrm{Int}(B) \), luego \( x\in f^{-1}(\textrm{Int}(B))\subseteq \textrm{Int}(f^{-1}(B))\subseteq f^{-1}(B) \), por lo que \(  x \) es un punto interior a \( f^{-1}(B) \) y así es \( f^{-1}(B) \) abierto en \( \mathbb{R}^m \) y es \( f \) continua.
Saludos

Gracias a todos por sus valiosos aportes. Solo me queda una duda: el problema pide probar el resultado \( \forall{B}\in{\mathbb{\mathbb{R}^n}} \). ¿Faltaría probar el caso de \( B \) cerrado, trabajando con \( \mathbb{R^n}-B \)?

Pero ya has probado la propiedad para cualquier \( B \). Es decir primero pruebas que:

1) Si \( f \) es continua entonces para cualquier \( B\subset \Bbb R^n \) se cumple \( f^{-1}(int(B))\subset int(f^{-1}(B)) \)

Después en el recíproco quieres probar que:

2) Si para cualquier \( B\subset \Bbb R^n \) se cumple \( f^{-1}(int(B))\subset int(f^{-1}(B)) \) entonces \( f \) es continua.

Para ver que una función \( f \) es continua tienes que ver que \( f^{-1}(C) \) es abierto para cualquier \( C \) abierto. Y eso es lo que prueba ani_pascual en lo que has citado. Lo que pasa es que el le llama \( B=C \) y eso quizá te lía.

Esta segunda parte puede probarse así también.

Dado \( C \) abierto, se tiene que entonces \( int(C)=C \) y por hipótesis:

\( f^{-1}(C)=f^{-1}(int(C))\subset int(f^{-1}(C))\subset f^{-1}(C) \)

Por tanto las inclusiones son igualdades y \( f^{-1}(C)=int(f^{-1}(C)) \) y así \( f^{-1}(C) \) es abierto.

Saludos.

[clopez]

Si, está muy claro ahora. Tengo este otro problema: Sea \( f:\mathbb{R^m}\rightarrow{\mathbb{R^n}} \). Pruebe que \( f \) es continua en \( \mathbb{R^m} \) si y solo si \( f[A]=\overline{f[A]} \), para todo \( A\subseteq{\mathbb{R^m}} \). Mediante un ejemplo, pruebe que el contenido puede ser estricto.
Sea \( f[A]\in{\mathbb{R^n}} \) cerrado, entonces \( \mathbb{R^n}-f[A] \) es abierto. Como \( f \) es continua en \( \mathbb{R^m} \), entonces \( f^{-1}[\mathbb{R^n}-f[A]] \) es abierto en \( \mathbb{R^m} \). Lo anterior implica que \( f[A] \) es cerrado en \( \mathbb{R^m} \) y se cumple: \( f[A]=\overline{f[A]} \). ¿Voy bien?

Saludos a todos y muchas gracias por su valiosa ayuda.

[Luis Fuentes]

Hola

SSea \( f:\mathbb{R^m}\rightarrow{\mathbb{R^n}} \). Pruebe que \( f \) es continua en \( \mathbb{R^m} \) si y solo si \( f[A]=\overline{f[A]} \), para todo \( A\subseteq{\mathbb{R^m}} \). Mediante un ejemplo, pruebe que el contenido puede ser estricto.

Ojo, porque el enunciado está mal. Debe de ser:

"... si y sólo si \( f(\overline{A})\subset \overline{f(A)} \)..."

Sea \( f[A]\in{\mathbb{R^n}} \) cerrado, entonces \( \mathbb{R^n}-f[A] \) es abierto. Como \( f \) es continua en \( \mathbb{R^m} \), entonces \( f^{-1}[\mathbb{R^n}-f[A]] \) es abierto en \( \mathbb{R^m} \). Lo anterior implica que \( f[A] \) es cerrado en \( \mathbb{R^m} \) y se cumple: \( f[A]=\overline{f[A]} \). ¿Voy bien?

No entiendo lo que haces. Si como punto de partida ya supones que \( f(A) \) es cerrado...¡entonces claro que coincide con su clausura directamente!. Pero eso no es lo que quieres probar.

Supón que \( f \) es continua y veamos que \( f(\overline{A})\subset \overline{f(A)} \).

Nota que lo que quieres probar equivale a: \( \overline{A}\subset f^{-1}(\overline{f(A)}) \).

Ahora si \( f \) es continua entonces la imagen recíproca de un cerrado es cerrada y así \( f^{-1}(\overline{f(A)}) \) es cerrado. Además:

\( A\subset f^{-1}(f(A))\subset f^{-1}(\overline{f(A)}) \)

y por tanto:

\( \overline{A}\subset \overline{f^{-1}(\overline{f(A)})}=f^{-1}(\overline{f(A)}) \)

Intenta el recíproco.

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

...
Tengo este otro problema: Sea \( f:\mathbb{R^m}\rightarrow{\mathbb{R^n}} \). Pruebe que \( f \) es continua en \( \mathbb{R^m} \) si y solo si \( f[\textcolor{red}{\overline{A}]\subseteq }\overline{f[A]} \), para todo \( A\subseteq{\mathbb{R^m}} \). Mediante un ejemplo, pruebe que el contenido puede ser estricto.
...

Tras la corrección del enunciado hecha por Luis Fuentes , te propongo otra forma de ver que si \( f \) es continua entonces \( f(\overline{A})\subseteq \overline{f(A)} \), aplicando los conceptos.
Sea \( y\in f(\overline{A}), \) entonces existe \( x\in \overline{A} \) tal que \( y=f(x) \). Dado ahora un entorno abierto arbitrario \( G \) de \( y \), por la continuidad de \( f \), existe un entorno abierto \( U \) de \( x \) tal que \( f(U)\subseteq G \). Por hipótesis, es \( U\cap A\neq \emptyset \), luego existe \( z\in U\cap A\Longrightarrow f(z)\in G\cap f(A)\Longleftrightarrow \\G\cap f(A)\neq \emptyset \Longrightarrow y \in \overline{f(A)} \)
Recíprocamente, dado \( C \) un cerrado de \( \mathbb{R}^n \), se tiene \( f(f^{-1}(C))\subseteq C\Longrightarrow \overline{f(f^{-1}(C))}\subseteq \overline{C}=C \). Por hipótesis, \( f(\overline{f^{-1}(C)})\subseteq \overline{f(f^{-1}(C))}\subseteq C\Longrightarrow \overline{f^{-1}(C)}\subseteq f^{-1}(C) \) y como la otra inclusión es siempre cierta se deduce que \( \overline{f^{-1}(C)}= f^{-1}(C) \) y así \( f^{-1}(C) \) es cerrado en \( \mathbb{R}^m \). En definitiva, \(  f \) es continua.
Respecto al ejemplo:
Si es \( m=n=1 \) y tomas la función continua \( f(x)=\arctan x \), se tiene \( f(\overline{\mathbb{R}})=f(\mathbb{R})=\left]\dfrac{-\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[\subsetneq \left[\dfrac{-\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]=\overline{f(\mathbb{R})} \)
Saludos