[Bastidas]

Hola, ya hace un año que descubrí un concepto del cual no he encontrado a ningún autor. Lo he buscado de diferentes formas y, al parecer, soy la primera persona en descubrirlo. Como el asunto del tema lo dice, se llama "sumatoria con derivadas", y es una sumatoria donde el índice de summación es equivalente a la derivada del término de la sumatoria. Por ejemplo:
\[ \displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}{f^{(n)}} \]
Esto se podría decir que es la forma general de cualquier sumatoria con derivada, donde \[ i \] es la derivada de \[ f \]. Ahora, estas SCDs (Series Con Derivadas) destacan más que nada por sus propiedades. Si hacemos  a una SCD, alternante:
\[ \displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}{(-1)^{i}f^{(i)}} \]
y la sumamos a otra SCD, pero de la derivada de \[ f \]:
\[ \displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}{(-1)^{i}f^{(i)}}+\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}{(-1)^{i}f'^{(i)}} \]
obtenemos como resultado a \[ f \]. En otras palabras, la suma de una SCD alternante con la derivada del término de la sumatoria es igual al término de la sumatoria. En un ejemplo, si \[ f = 4x² \], la SCD alternante sería \( 4x²-8x+8 \) y luego la de la derivada de f  \[ 8x-8 \],  es notorio que al sumar ambas, el resultado será \[ f = 4x² \]
Esto ocurre con cualquier función, a excepción de \[ e^x \] que al ser su derivada \[ e^x \] es igual a cero. Esto ocurre de forma similar con una SCD normal, pero al restarla.

De momento, estas son las únicas cosas interesantes que recuerdo sobre esto, en si casi todo lo descubrí en la practica, usando las series con derivadas para tratar de resolver ecuaciones diferenciales no muy complejas, asi que es posible que algunas cosas se me hayan olvidado, pero solo soy un estudiante de secundaria, así que con mis conocimientos no sé qué tan útiles sean ni cómo pueden ser usadas en la práctica más allá de resolver o simplificar algunas ecuaciones diferenciales ordinarias.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, ya hace un año que descubrí un concepto del cual no he encontrado a ningún autor. Lo he buscado de diferentes formas y, al parecer, soy la primera persona en descubrirlo. Como el asunto del tema lo dice, se llama "sumatoria con derivadas", y es una sumatoria donde el índice de summación es equivalente a la derivada del término de la sumatoria. Por ejemplo:
\[ \displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}{f^{(n)}} \]
Esto se podría decir que es la forma general de cualquier sumatoria con derivada, donde \[ i \] es la derivada de \[ f \]. Ahora, estas SCDs (Series Con Derivadas) destacan más que nada por sus propiedades. Si hacemos  a una SCD, alternante:
\[ \displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}{(-1)^{i}f^{(i)}} \]
y la sumamos a otra SCD, pero de la derivada de \[ f \]:
\[ \displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}{(-1)^{i}f^{(i)}}+\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}{(-1)^{i}f'^{(i)}} \]
obtenemos como resultado a \[ f \]. En otras palabras, la suma de una SCD alternante con la derivada del término de la sumatoria es igual al término de la sumatoria. En un ejemplo, si \[ f = 4x² \], la SCD alternante sería \( 4x²-8x+8 \) y luego la de la derivada de f  \[ 8x-8 \],  es notorio que al sumar ambas, el resultado será \[ f = 4x² \]
Esto ocurre con cualquier función, a excepción de \[ e^x \] que al ser su derivada \[ e^x \] es igual a cero. Esto ocurre de forma similar con una SCD normal, pero al restarla.

En realidad eso ocurre cuando las series son finitas, es decir, llega un momento que las derivadas son nulas. Eso sucede exactamente para las funciones polinómicas.

El motivo es obvio. Si las derivadas a partir de la enésima son nulas. Estás sumando:

\( f\color{blue}-f'\color{black}+\color{green}f''\color{black}-\ldots+\color{red}(-1)^{n-1}f^{(n-1)}\color{black} \)

con

\( \color{blue}f'\color{black}\color{green}-f''\color{black}+f'''-\ldots\color{red}-(-1)^{n-1}f^{(n-1)}\color{black} \)

y se cancelan todos los términos menos el primero.

Si las sucesivas derivadas no se anulan nunca la cosa es más delicada, ya que no está tan claro como gestionar los infinitos términos o que significado dar a la serie. Como función podría no converger.

Por ejemplo no está claro como interpretar incluso para \( f(x)=e^{x} \) la serie de derivadas alternando el signo que sería:

\( e^x-e^x+e^x-e^x+e^x-e^x+\ldots \)

No es tan obvio afirmar que eso es cero. Si uno piensa en series de números, cuando sumamos infinitos números:

\( 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\ldots \)

en realidad para dar significado a eso acudimos al concepto de límite e intepretamos esa suma infinita como el límite de la sucesión que se obtiene al ir sumando sólo un número finito de términos:

\( 1 \) (si solo sumamos el primero)
\( 1+1/2=3/2 \) (sumando los dos primeros)
\( 1+1/2+1/4=7/4 \) (sumando los tres primeros)
\( 1+1/2+1/4+1/8=15/8 \) (sumando los cuatro primeros)
...
y así se llega a una sucesión \( 1,3/2,7/4,15/8,\ldots \) cuyo límite es \( 2 \).

Pero que pasa por ejemplo si consideramos la suma infinita:

\( 1-1+1-1+1-1+1-1=\ldots \)

Con esa interpretación tendríamos:

\( 1 \) (si solo sumamos el primero)
\( 1-1=0 \) (sumando los dos primeros)
\( 1-1+1=1 \) (sumando los tres primeros)
\( 1-1+1-1=0 \) (sumando los cuatro primeros)
...

Vamos obteniendo la sucesión alternada \( 0,1,0,1,0,\ldots \) que no podemos afirmar ni que converge a \( 0 \) ni a \( 1 \). De hecho no converge.

Esto es análgogo a:

\( e^x-e^x+e^x-e^x+e^x-e^x+\ldots \)

Lo que he contado no es la única forma de interpretar estas sumas infinitas, pero en cualquier caso lo que quiero resaltar es que su interpretación no es obvia y dependiendo del caso delicada y sutil.

Saludos.

[Bastidas]

Hola

Hola, ya hace un año que descubrí un concepto del cual no he encontrado a ningún autor. Lo he buscado de diferentes formas y, al parecer, soy la primera persona en descubrirlo. Como el asunto del tema lo dice, se llama "sumatoria con derivadas", y es una sumatoria donde el índice de summación es equivalente a la derivada del término de la sumatoria. Por ejemplo:
\[ \displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}{f^{(n)}} \]
Esto se podría decir que es la forma general de cualquier sumatoria con derivada, donde \[ i \] es la derivada de \[ f \]. Ahora, estas SCDs (Series Con Derivadas) destacan más que nada por sus propiedades. Si hacemos  a una SCD, alternante:
\[ \displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}{(-1)^{i}f^{(i)}} \]
y la sumamos a otra SCD, pero de la derivada de \[ f \]:
\[ \displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}{(-1)^{i}f^{(i)}}+\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty}{(-1)^{i}f'^{(i)}} \]
obtenemos como resultado a \[ f \]. En otras palabras, la suma de una SCD alternante con la derivada del término de la sumatoria es igual al término de la sumatoria. En un ejemplo, si \[ f = 4x² \], la SCD alternante sería \( 4x²-8x+8 \) y luego la de la derivada de f  \[ 8x-8 \],  es notorio que al sumar ambas, el resultado será \[ f = 4x² \]
Esto ocurre con cualquier función, a excepción de \[ e^x \] que al ser su derivada \[ e^x \] es igual a cero. Esto ocurre de forma similar con una SCD normal, pero al restarla.

En realidad eso ocurre cuando las series son finitas, es decir, llega un momento que las derivadas son nulas. Eso sucede exactamente para las funciones polinómicas.

El motivo es obvio. Si las derivadas a partir de la enésima son nulas. Estás sumando:

\( f\color{blue}-f'\color{black}+\color{green}f''\color{black}-\ldots+\color{red}(-1)^{n-1}f^{(n-1)}\color{black} \)

con

\( \color{blue}f'\color{black}\color{green}-f''\color{black}+f'''-\ldots\color{red}-(-1)^{n-1}f^{(n-1)}\color{black} \)

y se cancelan todos los términos menos el primero.

Si las sucesivas derivadas no se anulan nunca la cosa es más delicada, ya que no está tan claro como gestionar los infinitos términos o que significado dar a la serie. Como función podría no converger.

Por ejemplo no está claro como interpretar incluso para \( f(x)=e^{x} \) la serie de derivadas alternando el signo que sería:

\( e^x-e^x+e^x-e^x+e^x-e^x+\ldots \)

No es tan obvio afirmar que eso es cero. Si uno piensa en series de números, cuando sumamos infinitos números:

\( 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\ldots \)

en realidad para dar significado a eso acudimos al concepto de límite e intepretamos esa suma infinita como el límite de la sucesión que se obtiene al ir sumando sólo un número finito de términos:

\( 1 \) (si solo sumamos el primero)
\( 1+1/2=3/2 \) (sumando los dos primeros)
\( 1+1/2+1/4=7/4 \) (sumando los tres primeros)
\( 1+1/2+1/4+1/8=15/8 \) (sumando los cuatro primeros)
...
y así se llega a una sucesión \( 1,3/2,7/4,15/8,\ldots \) cuyo límite es \( 2 \).

Pero que pasa por ejemplo si consideramos la suma infinita:

\( 1-1+1-1+1-1+1-1=\ldots \)

Con esa interpretación tendríamos:

\( 1 \) (si solo sumamos el primero)
\( 1-1=0 \) (sumando los dos primeros)
\( 1-1+1=1 \) (sumando los tres primeros)
\( 1-1+1-1=0 \) (sumando los cuatro primeros)
...

Vamos obteniendo la sucesión alternada \( 0,1,0,1,0,\ldots \) que no podemos afirmar ni que converge a \( 0 \) ni a \( 1 \). De hecho no converge.

Esto es análgogo a:

\( e^x-e^x+e^x-e^x+e^x-e^x+\ldots \)

Lo que he contado no es la única forma de interpretar estas sumas infinitas, pero en cualquier caso lo que quiero resaltar es que su interpretación no es obvia y dependiendo del caso delicada y sutil.

Saludos.

Tienes razón, fue un error mío. En efecto, en el caso de que \[ f(x) = e^x \], la función no se anula. Me confundí con otro caso similar de sumatorias. Sin embargo, esto no siempre ocurre cuando las series son finitas; depende más de la derivada que de la convergencia. Si aplicamos este mismo razonamiento en el caso de que \[ f(x) \] sea un logaritmo, un polinomio con exponente negativo, una función trigonométrica, entre otros, excepto \[ e^x \], el método sigue funcionando.

Esto sucede porque, en una de las sumatorias, la derivada de \[ f \] es positiva, mientras que en la otra es negativa. Al tratarse de una serie alternante, las derivadas siguientes tendrán signos contrarios, de manera que todos los términos cuya derivada sea inferior a una \[ n \]-ésima se anulan, quedando solo el primer término.

Otra forma de explicarlo es que, en una de las sumatorias, los términos impares de las derivadas son negativos y los pares positivos, por ejemplo: \[ f - f' + f'' - f''' + f^{(4)} - \dots \], mientras que en la otra ocurre lo opuesto: los impares son positivos y los pares negativos. Así, los términos semejantes se cancelan entre sí.

Dejando de lado el funcionamiento de estas sumatorias, me gustaría pedirte consejo y que me sugieras si se ha hablado antes de este tema en el foro o si conoces algún lugar donde haya más información sobre este tipo de sumatorias con derivadas. Me parece un tema muy interesante, y me gustaría explorar cómo funcionan en otros casos o tipos de sumatorias.

[Luis Fuentes]

Hola

Tienes razón, fue un error mío. En efecto, en el caso de que \[ f(x) = e^x \], la función no se anula.

Ojo, porque yo no he dicho ni que se anule ni que no se anule. Más bien que es difícil dar una interpretación concreta a esa serie funcional:

\( e^x-e^x+e^x-e^x+\ldots \)

y establecer de manera coherente una aritmética correcta para manipular y sumar series de ese tipo.  Y luego está la cuestión de si lo que uno defina al respecto es útil ( (*) hay formas triviales de definir una aritmética asociando a cada función la sucesión \( (f,-f',+f'',-f''',\ldots) \) y operando componente a componente)

Sin embargo, esto no siempre ocurre cuando las series son finitas

;

No se muy bien que quieres decir con esto. Esas series son finitas si la derivada es constante igual a cero a partir de una cierta derivada enésima. En ese caso no hay duda de que la suma de serie de derivadas de signo alterno de la función con la misma serie de su derivada es nula. Eso es trivial.

Esto sucede porque, en una de las sumatorias, la derivada de \[ f \] es positiva, mientras que en la otra es negativa. Al tratarse de una serie alternante, las derivadas siguientes tendrán signos contrarios, de manera que todos los términos cuya derivada sea inferior a una \[ n \]-ésima se anulan, quedando solo el primer término.

Si, eso es lo que te comentaba antes.

Otra forma de explicarlo es que, en una de las sumatorias, los términos impares de las derivadas son negativos y los pares positivos, por ejemplo: \[ f - f' + f'' - f''' + f^{(4)} - \dots \], mientras que en la otra ocurre lo opuesto: los impares son positivos y los pares negativos. Así, los términos semejantes se cancelan entre sí.

Si, si. Eso es hacer la aritmética de series que te comentaba en  (*) . Otra cosa es que tenga algún interés.

Dejando de lado el funcionamiento de estas sumatorias, me gustaría pedirte consejo y que me sugieras si se ha hablado antes de este tema en el foro o si conoces algún lugar donde haya más información sobre este tipo de sumatorias con derivadas. Me parece un tema muy interesante, y me gustaría explorar cómo funcionan en otros casos o tipos de sumatorias.

No sabría decirte. Supongo que conoces las series de Taylor, pero ahí se usan las sucesivas derivadas evaluadas en un punto fijo.
Por otra parte aquí proponen algo parecido:

https://math.stackexchange.com/questions/1601059/is-a-series-of-successive-derivatives-known-useful

Puedes leer las respuestas que le dan.

Mi consejo si quieres seguir explorando esa idea es que trates de concretar una manipulación concreta de esas series y exhibir alguna aplicación o propiedad menos trivial.

Saludos.