[ignacio.gomez]

Hola, quería ver si me daban algún tips para este problema,

Supongamos que $$F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ y $$G: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ son dos funciones crecientes y continuas por la derecha. Consideremos las medidas de Lebesgue-Stieltjes asociadad $$\mu_F$$ y $$\mu_G$$. Pruebe que para todo $$x>0$$ se tiene que,

$$  F(x)G(x) - F(0)G(0)  = \int 1_{(0,x]}(y)   F(y) d\mu_G + \int 1_{(0,x]}(y) G(y^-) d\mu_F $$

Indicación: Considere $$x_0=0, ... , x_i =\dfrac{i}{n}x, ..., x_n=x$$ y demuestre que,

$$    \sum_{i=1}^n  F(x_i)G(x_i)   - F(x_{i-1})G(x_{i-1}) = \sum_{i=1}^n  F(x_i) (G(x_i) - G(x_{i-1})) + \sum_{i=1}^n G(x_{i-1})(F(x_i) - F(x_{i-1}))$$

Y escriba cada suma en el lado derecho como una integral.

Mi duda es como puedo justificar formalmente la existencia del limite de $$G(y^-)$$, se me ocurre con que $$G$$ es creciente pero no se que teorema, además me gustaría saber donde se utiliza que necesariamente $$x>0$$.

Muchas gracias de antemano!

[Luis Fuentes]

Hola

Mi duda es como puedo justificar formalmente la existencia del limite de $$G(y^-)$$, se me ocurre con que $$G$$ es creciente pero no se que teorema,

Por ser creciente el conjunto \( \{G(z)|z<y\} \) es acotado superiormente (de hecho \( G(y) \) es una cota superior) y por tanto tiene supremo \( s=sup\{G(z)|z<y\} \). Es inmediato ver (usando que es creciente) que:

\( \displaystyle\lim_{z\to y^-}{}G(z)=s \)

Spoiler

Dado \( \espsilon>0 \) por definición de supremo existe \( \delta>0 \) tal que \( s-\epsilon<G(y-\epsilon)\leq s \). Por ser creciente para todo z\in (y-\epsilon,y), \( s\geq G(z)>G(y-\epsilon)>s-\epsilon \).

[cerrar]

además me gustaría saber donde se utiliza que necesariamente $$x>0$$.

En otro caso \( I_{(0,x]} \) es vacío.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Muchas gracias, me podrias ayudar como convertir el lado derecho de la indicacion en un integral? Se me ocurre utilizar un teorema de convergencia, pero como los G no necesariamente son positivos, no sabria como ocuparlo.

Ten en cuenta que:

\( F(x_i)(G(x_i)-G(x_{i-1})=F(x_i)\mu_G((x_{i-1},x_i])=\displaystyle\int 1_{(x_{i-1},x_i]}F(x_i)d\mu_G \)

\( G(x_{i-1})(F(x_i)-F(x_{i-1})=G(x_{i-1})\mu_F((x_{i-1},x_i])=\displaystyle\int 1_{(x_{i-1},x_i]}G(x_{i-1})d\mu_F \)

Saludos.

[ignacio.gomez]

Tengo una consulta con esto último, como puedo asegurar esa última igualdad, si no se si las funciones \( F(x_i) \) y \( G(x_{i-1}) \) son positivas.

Saludos!

[Luis Fuentes]

Hola

Tengo una consulta con esto último, como puedo asegurar esa última igualdad, si no se si las funciones \( F(x_i) \) y \( G(x_{i-1}) \) son positivas.

Pero las desigualdades son independientes del signo de la función.

Simplemente:

\( \displaystyle\int cte\cdot 1_{(a,b]}d\mu_F=cte\cdot \displaystyle\int  1_{(a,b]}d\mu_F=cte\cdot \mu_F((a,b])=cte(F(b)-F(a)) \)

independientemente de si la constante es positiva o negativa.

Saludos.