[clopez]

Buenas noches. Me pueden ayudar con el siguiente problema: Sea \( X\subseteq{\mathbb{R^m}} \), decimos que \( f:X\longrightarrow{\mathbb{R^n}} \) es localmente Lipschitziana en \( X \) si y sólo si para todo \( x\in{X} \), existe un \( r>0 \) tal que \( f \) es Lipschitziana en \( B_r(x)\cap{X} \).

• Pruebe que la función \( f:]0,1]\longrightarrow{\mathbb{R}} \), dada por \( f(x)=\sqrt[]{x} \), es localmente Lipschitziana.
• Pruebe que la función \( f:[0,1]\longrightarrow{\mathbb{R}} \), dada por \( f(x)=\sqrt[]{x} \), no es localmente Lipschitziana

[Guli-Guli]

Bueno, es la tercera vez que te respondo consecutivamente. 

Pruebe que la función \( f:\;]0,1]\longrightarrow{\mathbb{R}} \), dada por \( f(x)=\sqrt[]{x} \), es localmente lipschitziana.

Fijemos de antemano un punto \( x \in\;]0,1] \) cualquiera. Observa que

\( y - x = (\sqrt{y} + \sqrt{x})(\sqrt{y} - \sqrt{x}) \)

para todo \( y \in\;]0,1] \). Por tanto,

\( \left |{\sqrt{y} - \sqrt{x}}\right | = \displaystyle\frac{\left |{y - x}\right |}{\sqrt{y} + \sqrt{x}} < \frac{\left |{y - x}\right |}{\sqrt{x}} \)

para todo \( y \in\;]0,1] \).

La clave aquí sería aprovecharnos de que \( x > 0 \), por lo cual podemos tomar una bola abierta \( ]x - r, x + r[ \) de tal manera que nos permita acotar la función \( z \in\;]0,1] \mapsto 1/\sqrt{z} \) y obtengamos, así, la constante de Lipschitz en dicho entorno. Podemos tomar, por ejemplo, el radio \( r = 3x/4 \).

Como el punto \( x \) fijado era arbitrario, concluimos que la función \( f \) es localmente lipschitziana.

Pruebe que la función \( f:[0,1]\longrightarrow{\mathbb{R}} \), dada por \( f(x)=\sqrt[]{x} \), no es localmente lipschitziana.

Ahora fíjate que esta función no es lipschitziana en el punto \( 0 \) independientemente de cualquier abierto \( [0, r[ \) de \( [0, 1] \) que tomemos como entorno de dicho punto. Esto se debe a que simplemente \( \sqrt{x} > x \) para todo \( x \in\;]0, 1[ \).

[clopez]

Bueno, es la tercera vez que te respondo consecutivamente. 

Pruebe que la función \( f:\;]0,1]\longrightarrow{\mathbb{R}} \), dada por \( f(x)=\sqrt[]{x} \), es localmente lipschitziana.

Fijemos de antemano un punto \( x \in\;]0,1] \) cualquiera. Observa que \( y - x = (\sqrt{y} + \sqrt{x})(\sqrt{y} - \sqrt{x}) \) para todo \( y \in\;]0,1] \). Por tanto,

\( \left |{\sqrt{y} - \sqrt{x}}\right | = \displaystyle\frac{\left |{y - x}\right |}{\sqrt{y} + \sqrt{x}} < \frac{\left |{y - x}\right |}{\sqrt{x}} \)

para todo \( y \in\;]0,1] \).

La clave aquí sería aprovecharnos de que \( x > 0 \), por lo cual podemos tomar una bola abierta \( ]x - r, x + r[ \) de tal manera que nos permita acotar la función \( y \in\;]0,1] \mapsto 1/\sqrt{y} \) y obtengamos, así, la constante de Lipschitz en dicho entorno. Podemos tomar, por ejemplo, el radio \( r = \frac{3}{4}x \).

Como el punto \( x \) fijado era arbitrario, concluimos que la función \( f \) es localmente lipschitziana.

Pruebe que la función \( f:[0,1]\longrightarrow{\mathbb{R}} \), dada por \( f(x)=\sqrt[]{x} \), no es localmente lipschitziana.

Ahora fíjate que esta función no es lipschitziana en el punto \( 0 \) independientemente de cualquier abierto \( [0, r[ \) de \( [0, 1] \) que tomemos como entorno de dicho punto. Esto se debe a que simplemente \( \sqrt{x} > x \) para todo \( x \in\;]0, 1[ \).

Muchas gracias.