Hola
Me podrian ayudar con el siguiente problema, el cual consiste en lo siguiente
Sea \( \{ f_n: X\subset{\mathbb{R}\longrightarrow{\mathbb{R}}}\}_{n\in{\mathbb{N}}} \) una sucesion de funciones medibles. Probar que el conjunto:
\( E=\{x\in{X:\{f_n(x)\} \quad es \quad una \quad sucesión \quad de \quad Cauchy\}} \)
es medible.
Veamos si funciona esta idea.
Sea
\( E_k=\{x\in X|\exists n_k,\text{ cumpliendo }|f_n(x)-f_m(x)|<1/k,\,\text{ si }n,m\geq n_k\} \)
Comprueba que
\( E=\displaystyle\bigcap_{k\in \Bbb N}E_k \)
Como la intersección de medibles es medible basta ver que cada \( E_k \) es medible.
Ahora:
\( E_k=\displaystyle\bigcup E_{k,p} \) con \( E_{k,p}=\{x\in X||f_n(x)-f_m(x)|<1/k,\,\text{ si }n,m\geq p\} \)
En la misma línea basta ver que los \( E_{k,p} \) son medibles. Pero:
\( E_{k,p}=\displaystyle\bigcap_{\color{red}n,m\geq p\color{black}}\{x\in X||f_n(x)-f_m(x)|<1/k\} \)
Pero:
\( \{x\in X||f_n(x)-f_m(x)|<1/k\}=(f_n-f_m)^{-1}(-1/k,1/k) \)
medible porque la imagen recíproca de una abierto por una función medible es medible y la diferencia de medibles es medible.
Revisa, completa y pregunta las dudas si es el caso.
Saludos.
CORREGIDO
