[mathaus]

Hola,

Estaba resolviendo el siguiente problema:

Sea \( U\subseteq{\mathbb{R}} \) un conjunto abierto. Sea \( f: U\longrightarrow{\mathbb{R}} \) una función en \( C^1(\mathbb{R}) \). Probar que si \( E\subset{U} \) tiene medida de Lebesgue cero, entonces \( f(E) \) también tiene medida nula.

Tenía en mente en considerar un cubrimiento \( I_n \) de \( E \) tal que:

\( E\subseteq{\cup{I_n}} \) y \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{|I_n|}<\epsilon  \)

para todo \( \epsilon  > 0 \). Luego utilizar el teorema del valor medio para hacer tipo un condición de Lipschitz, donde la \( "M" \) de la condición de Lipschitz, sería en este caso \( |f'(c_n)| \) con \( c_n\in{I_n} \), la cual sería acotada por ser \( f \in{C^1(\mathbb{R})} \).

Pero no sé si realmente esa idea que tengo podría llegar a servir o es siquiera correcta.

Cualquier respuesta la agradezco de antemano.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Estaba resolviendo el siguiente problema:

Sea \( U\subseteq{\mathbb{R}} \) un conjunto abierto. Sea \( f: U\longrightarrow{\mathbb{R}} \) una función en \( C^1(\mathbb{R}) \). Probar que si \( E\subset{U} \) tiene medida de Lebesgue cero, entonces \( f(E) \) también tiene medida nula.

Tenía en mente en considerar un cubrimiento \( I_n \) de \( E \) tal que:

\( E\subseteq{\cup{I_n}} \) y \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{|I_n|}<\epsilon  \)

para todo \( \epsilon  > 0 \). Luego utilizar el teorema del valor medio para hacer tipo un condición de Lipschitz, donde la \( "M" \) de la condición de Lipschitz, sería en este caso \( |f'(c_n)| \) con \( c_n\in{I_n} \), la cual sería acotada por ser \( f \in{C^1(\mathbb{R})} \).

Pero no sé si realmente esa idea que tengo podría llegar a servir o es siquiera correcta.

La idea es buena con algún matriz. La derivada \( |f'(x)| \)  no tiene porque estar acotada en todo \( \Bbb R \), pero si en un compacto por ser continua.

Entonces puedes suponer primero que \( E \) está acotado y por tanto contenido en un compacto. Eso permite acotar la derivada continua. Entonces tal y como has razonado, existe una constante \( M \) tal que para cualquier intervalo de un recubrimiento de \( E \) (dentro de ese compacto), se cumple que \( |f(I_n)|\leq M|f(I_n)| \) y de ahí deducir \( \mu(f(E))\leq \epsilon M \) y por tanto \( \mu(f(E))=0 \).

Luego utiliza que un \( E \) de medida cero no necesariamente acotado se puede escribir como unión numerable de conjuntos de medida cero acotados.

Saludos.