[mathaus]

Tengo problemas con demostrar el siguiente enunciado:

Sea \( U \subset{\mathbb{R}} \) satisfaciendo \( m(U)>0 \). probar que para cada \( \alpha \in{(0, 1)} \) existe un intervalo abierto \( I \) tal que

\( \alpha m(I)\leq{m(U\cap{I})}\leq{m(I)} \)

Cualquier respuesta o sugerencia lo agradezco de antemano.

Saludos.

[Masacroso]

Tengo problemas con demostrar el siguiente enunciado:

Sea \( U \subset{\mathbb{R}} \) satisfaciendo \( m(U)>0 \). probar que para cada \( \alpha \in{(0, 1)} \) existe un intervalo abierto \( I \) tal que

\( \alpha m(I)\leq{m(U\cap{I})}\leq{m(I)} \)

Cualquier respuesta o sugerencia lo agradezco de antemano.

Saludos.

Prueba a demostrar que la función dada por \( t\mapsto m(U\cap (a,t)) \) es continua, para cualquier \( a \) fijo que tomemos (entiendo que aquí \( m \) es la medida de Lebesgue).

Corrección: perdón, no había leído bien el problema. La idea anterior no creo que sirva para demostrar lo que te piden.

[Luis Fuentes]

Hola

Sea \( U \subset{\mathbb{R}} \) satisfaciendo \( m(U)>0 \). probar que para cada \( \alpha \in{(0, 1)} \) existe un intervalo abierto \( I \) tal que

\( \alpha m(I)\leq{m(U\cap{I})}\leq{m(I)} \)

Por definición de medida exterior para todo \( \epsilon>0 \) existe un recubrimiento de \( U \) por intervalos abiertos \( \{I_n\} \) tal que:

\( \color{red}m\color{black}(U)\leq \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}m(I_n)<\color{red}m\color{black}(U)+\epsilon \) (*)

Ahora razonamos por reducción al absurdo. Supongamos \( \alpha\in (0,1) \) tal que para todo intervalo abierto \( I \),

\( \alpha m(I)>m(U\cap I) \)

Entonces en (*)

\( \color{red}m\color{black}(U)+\epsilon>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}m(I_n)>\dfrac{1}{\alpha}\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}m(U\cap I_n)\geq \dfrac{1}{\alpha}m(U) \)

Como esto se cumple para todo \( \epsilon>0 \),

\( \color{red}m\color{black}(U)\geq \dfrac{1}{\alpha}m(U)\quad \Rightarrow{}\quad \alpha\geq 1 \)

lo cual contradice \( \alpha\in (0,1) \).

Saludos.

CORREGIDO

[mathaus]

Hola

Por definición de medida exterior para todo \( \epsilon>0 \) existe un recubrimiento de \( U \) por intervalos abiertos \( \{I_n\} \) tal que:

\( \mu(U)\leq \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}m(I_n)<\mu(U)+\epsilon \) (*)

Ahora razonamos por reducción al absurdo. Supongamos \( \alpha\in (0,1) \) tal que para todo intervalo abierto \( I \),

\( \alpha m(I)>m(U\cap I) \)

Entonces en (*)

\( \mu(U)+\epsilon>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}m(I_n)>\dfrac{1}{\alpha}\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}m(U\cap I_n)\geq \dfrac{1}{\alpha}m(U) \)

Como esto se cumple para todo \( \epsilon>0 \),

\( \mu(U)\geq \dfrac{1}{\alpha}m(U)\quad \Rightarrow{}\quad \alpha\geq 1 \)

lo cual contradice \( \alpha\in (0,1) \).

Saludos.

Hola,

Estoy un poco confundido con la notación, ¿Qué es exactamente \( \mu (U) \)?¿Es la medida exterior de \( U \)?

Como aclaración, en mi caso estoy considerando que \( m \) es la medida de Lebesgue.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Estoy un poco confundido con la notación, ¿Qué es exactamente \( \mu (U) \)?¿Es la medida exterior de \( U \)?

Como aclaración, en mi caso estoy considerando que \( m \) es la medida de Lebesgue.

Fue un despiste porque estoy acostumbrado a usar \( \mu \) para la medida de Lebesgue. Es todo lo mismo (tanto si escribí \( m \) cómo \( \mu \)): la medida de Lebesgue, que coincide con la medida exterior cuando el conjunto es medible.

Lo he corregido poniendo \( m \) en todas las  expresiones.

Si sigues teniendo dudas precisa exactamente en qué paso.

Saludos.