[Berner]

Hola debo  hacer una prueba de independencia con el juego poker y unos datos que daré a continuación esto esta bien hecho:

 Juego de azar - Póker

El objetivo de esta prueba es determinar si los números generados son independientes. Esto se hace observando las combinaciones de dígitos de los números generados y clasificándolos en categorías similares a las manos del póker.

Paso 1: Hipótesis

- Hipótesis nula \(H_0\): Los números generados son independientes.
- Hipótesis alternativa \(H_1\): Los números generados no son independientes.

Paso 2: Datos

Los números generados en el Ejemplo 8 son los siguientes:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
0.03991 & 0.10461 & 0.93716 & 0.16894 & 0.98957 \\
0.25593 & 0.34565 & 0.02345 & 0.67347 & 0.10987 \\
0.71890 & 0.61234 & 0.86322 & 0.94134 & 0.99782 \\
0.82345 & 0.12837 & 0.03589 & 0.82474 & 0.93827 \\
0.72484 & 0.48999 & 0.50502 & 0.39528 & 0.83672 \\
\hline
\end{array}
\]

Paso 3: Convertir los números en dígitos

Para cada número, tomamos los primeros cinco dígitos después del punto decimal:

1. 0.03991 → [0, 3, 9, 9, 1]
2. 0.10461 → [1, 0, 4, 6, 1]
3. 0.93716 → [9, 3, 7, 1, 6]
4. 0.16894 → [1, 6, 8, 9, 4]
5. 0.98957 → [9, 8, 9, 5, 7]

Continuando con el resto de los números:

6. 0.25593 → [2, 5, 5, 9, 3]
7. 0.34565 → [3, 4, 5, 6, 5]
8. 0.02345 → [0, 2, 3, 4, 5]
9. 0.67347 → [6, 7, 3, 4, 7]
10. 0.10987 → [1, 0, 9, 8, 7]

11. 0.71890 → [7, 1, 8, 9, 0]
12. 0.61234 → [6, 1, 2, 3, 4]
13. 0.86322 → [8, 6, 3, 2, 2]
14. 0.94134 → [9, 4, 1, 3, 4]
15. 0.99782 → [9, 9, 7, 8, 2]

16. 0.82345 → [8, 2, 3, 4, 5]
17. 0.12837 → [1, 2, 8, 3, 7]
18. 0.03589 → [0, 3, 5, 8, 9]
19. 0.82474 → [8, 2, 4, 7, 4]
20. 0.93827 → [9, 3, 8, 2, 7]

21. 0.72484 → [7, 2, 4, 8, 4]
22. 0.48999 → [4, 8, 9, 9, 9]
23. 0.50502 → [5, 0, 5, 0, 2]
24. 0.39528 → [3, 9, 5, 2, 8]
25. 0.83672 → [8, 3, 6, 7, 2]

Paso 4: Clasificar las combinaciones según las categorías de póker

Ahora, clasificamos los números en las siguientes categorías de póker:

1. Todos diferentes:Los cinco dígitos son todos diferentes.
2. Un par: Cuatro dígitos diferentes y un par.
3. Dos pares:Dos pares de dígitos iguales y un dígito diferente.
4. Tercia: Tres dígitos iguales y dos diferentes.
5. Full house:Tres dígitos iguales y un par de dígitos iguales.
6. Póker:Cuatro dígitos iguales y uno diferente.
7. Quintilla:Todos los dígitos son iguales.
 Clasificación de los números:

1. [0, 3, 9, 9, 1] → Un par
2. [1, 0, 4, 6, 1] → Un par
3. [9, 3, 7, 1, 6] → Todos diferentes
4. [1, 6, 8, 9, 4] → Todos diferentes
5. [9, 8, 9, 5, 7] → Un par
6. [2, 5, 5, 9, 3] → Un par
7. [3, 4, 5, 6, 5] → Un par
8. [0, 2, 3, 4, 5] → Todos diferentes
9. [6, 7, 3, 4, 7] → Un par
10. [1, 0, 9, 8, 7] → Todos diferentes

11. [7, 1, 8, 9, 0] → Todos diferentes
12. [6, 1, 2, 3, 4] → Todos diferentes
13. [8, 6, 3, 2, 2] → Un par
14. [9, 4, 1, 3, 4] → Un par
15. [9, 9, 7, 8, 2] → Un par
16. [8, 2, 3, 4, 5] → Todos diferentes
17. [1, 2, 8, 3, 7] → Todos diferentes
18. [0, 3, 5, 8, 9] → Todos diferentes
19. [8, 2, 4, 7, 4] → Un par
20. [9, 3, 8, 2, 7] → Todos diferentes

21. [7, 2, 4, 8, 4] → Un par
22. [4, 8, 9, 9, 9] → Tercia
23. [5, 0, 5, 0, 2] → Dos pares
24. [3, 9, 5, 2, 8] → Todos diferentes
25. [8, 3, 6, 7, 2] → Todos diferentes

Paso 5: Contar las frecuencias observadas

Las frecuencias observadas de cada categoría son:

- Todos diferentes:12
- Un par:10
- Dos pares:1
- Tercia:1
- Full house: 0
- Póker:0
- Quintilla: 0

Paso 6: Frecuencias esperadas

Las probabilidades para cada categoría bajo la hipótesis de independencia son:

- Todos diferentes: 0.3024
- Un par:0.5040
- Dos pares:0.1080
- Tercia:0.0720
- Full house:0.0090
- Póker:0.0045
- Quintilla: 0.0001

Multiplicamos estas probabilidades por el tamaño de la muestra (\(n = 25\)) para obtener las frecuencias esperadas:

- Todos diferentes: \(0.3024 \times 25 = 7.56\)
- Un par:\(0.5040 \times 25 = 12.6\)
- Dos pares: \(0.1080 \times 25 = 2.7\)
- Tercia: \(0.0720 \times 25 = 1.8\)
- Full house: \(0.0090 \times 25 = 0.225\)
- Póker:\(0.0045 \times 25 = 0.1125\)
- Quintilla:\(0.0001 \times 25 = 0.0025\)

 Paso 7: Prueba de Chi-cuadrado

La fórmula para calcular el estadístico de Chi-cuadrado es:

\[
\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}
\]

Donde:
- \(O_i\) son las frecuencias observadas.
- \(E_i\) son las frecuencias esperadas.

Ahora calculamos \( \chi^2 \) usando las frecuencias observadas y esperadas de cada categoría.

| Categoría        | Frecuencia Observada (\(O_i\)) | Frecuencia Esperada (\(E_i\)) | \((O_i - E_i)^2 / E_i\)|
|------------------------|------------------------------------|-----------------------------------|------------------------------|
| Todos diferentes        | 12                                 | 7.56                              | \(\frac{(12 - 7.56)^2}{7.56} = 2.63\) |
| Un par                  | 10                                 | 12.6                              | \(\frac{(10 - 12.6)^2}{12.6} = 0.54\) |
| Dos pares               | 1                                  | 2.7                               | \(\frac{(1 - 2.7)^2}{2.7} = 1.07\) |
| Tercia                  | 1                                  | 1.8                               | \(\frac{(1 - 1.8)^2}{1.8} = 0.36\) |
| Full house              | 0                                  | 0.225                             | \(\frac{(0 - 0.225)^2}{0.225} = 0.225\) |
| Póker                   | 0                                  | 0.1125                            | \(\frac{(0 - 0.1125)^2}{0.1125} = 0.1125\) |
| Quintilla               | 0                                  | 0.0025                            | \(\frac{(0 - 0.0025)^2}{0.0025} = 0.0025\) |

Paso 8: Sumar los valores

Ahora sumamos los valores calculados:

\[
\chi^2 = 2.63 + 0.54 + 1.07 + 0.36 + 0.225 + 0.1125 + 0.0025 = 4.937
\]

Paso 9: Grados de libertad

Los grados de libertad (\(df\)) se calculan como el número de categorías menos 1. En este caso, tenemos 7 categorías:

\[
df = 7 - 1 = 6
\]

Paso 10 Valor crítico de Chi-cuadrado

Para un nivel de confianza del 95% y \(df = 6\), el valor crítico de \( \chi^2 \) se puede obtener de la tabla de distribución Chi-cuadrado. El valor crítico correspondiente a un nivel de significancia del 5% es 12.592.

 Conclusión

Comparamos el valor calculado de \( \chi^2 \) con el valor crítico:

\[
\chi^2 = 4.937 \quad \text{y} \quad \chi^2_{\text{crítico}} = 12.592
\]

Dado que \( \chi^2 = 4.937 \) es menor que \( \chi^2_{\text{crítico}} = 12.592 \), no podemos rechazar la hipótesis nula. Es decir, no hay suficiente evidencia para concluir que los números generados no son independientes.

Conclusión final:

Con base en la prueba de independencia con el juego de azar de póker, los números generados en el son independientes dentro del nivel de confianza del 95%.

[Berner]

Hola alguien podria decirme si esta bien

[Richard R Richard]

Sobre el análisis estadístico final creo que no puedo aportar nada, solo decirte que las frecuencias esperadas en el poker las tienes que calcular en base a que las cartas puede tomar 13 valores posibles y en este caso son 10, tal diferencia genera una distorsión... de dónde has sacado los valores esperados, del juego de poker real o de uno calculado en base 10, si es esto último entonces tu lógica es correcta.


Imagina que pasaría si la base fuera 5 , es decir un mazo de 20 cartas,(casi como en la generala que tienes 6 valores posibles por dado), en ese caso la probabilidad de obtener carta alta se hace nula, si la base es 4  ya no hay posibilidad de escalera y de mínima tienes un par, así que trazar una relación entre los valores esperados para un juego de poker de base 13 y uno en base 10, son diferentes.   




Saludos

[Berner]

Gracias por el aporte colega

[Richard R Richard]

No se si te ha servido mi respuesta, pero a modo ampliar opinión...
 veo diferencias apreciables entre la escala de los resultados posibles por combinación entre el poker y el que presentas.
Básicamente
La quintilla no existe solo hay cuatro palos posibles con el mismo número.
Te falta escalera que son todos diferentes pero su valor de menor a mayor difieren en 1 unidad, y si es del mismo palo se la llama de color y gana la de máximo valor llamada escalera real, es menos probable que el poker por eso es mejor mano y le gana.
El As o 1 se usa tanto como valor 14 como 1 para las escaleras(0 u 11 en tu caso)
No tienes la combinación color, en que todos los números  son del mismo palo.


Es decir lo que presentas es un juego tipo generala (con dados) pero con 10 caras posibles equiparables sin color ni escalera.


Tienes $$10^5$$ números posibles, la combinación todos diferentes $$10\times9\times8\times7\times6=32640$$ formas de lograrse es decir 32.64% en 25 números de muestra el valor esperado de ocurrencia es 7.56 coincidiendo el que presentas, así  que supongo no está mal el resto ,sirve para el juego que presentas que reitero es análogo al poker pero no igual.


Entiendo que quieres validar los datos aleatorios en base a la ocurrencia de repeticiones que surge en un juego como el poker. Pero creo que es mejor analizar  que la esperanza de repetición cifra a cifra de cada cifra sea 1 cada 10 lanzamientos . Es decir que el cero aparezca 2.5 veces en promedio en 25 lanzamientos tanto en en la primera cifra ,lo mismo para la segunda, ...y así con cada número del 0 al 9. Ese análisis te dirá cuanto se aleja de ser aleatoria la muestra.
Ahora eso te lleva a un sumatorio de 50 elementos y no a uno de 7, para analizar con chi cuadrado, por lo que es más sencillo pero menos fiable para analizar la aleatoriedad de la muestra.