Todo lo que dices es correcto, pero un par de matizaciones. La primera, sobre esto:
Por otro lado se sabe que toda variedad diferenciable es metrizable, es decir, admite métricas riemannianas cuyas bolas corresponden con los abiertos de la estructura diferenciable.
Toda variedad diferenciable admite métricas riemannianas, que es una noción diferenciable en el sentido de que una métrica riemanniana en una cierta estructura diferenciable puede no serlo con otra (de hecho, nunca lo es si las estructuras no son difeomorfas). Por otro lado, si la variedad es conexa (que podemos suponer sin mucho problema), toda métrica riemanniana induce una distancia tomando como distancia entre dos puntos el ínfimo de las longitudes de las curvas que los unen. Por tanto, toda métrica riemanniana induce una estructura de espacio métrico en la variedad, que induce la misma topología que tenía la variedad. Aquí un matiz: dices que las bolas corresponden con los abiertos de la estructura diferenciable, pero aquí la estructura diferenciable no pinta nada. La topología de la variedad (los abiertos) no dependen de la estructura diferenciable, son siempre los mismos.
Sobre esto:
También sabemos que dada una isometría entre variedades diferenciables ésta es suave.
Hay dos sentidos de isometría. El primero es el riemanniano, un difeomorfismo que lleva una métrica riemanniana en la otra. Y el segundo sentido es el de isometría de espacios métricos: una biyección que preserva distancias. El teorema de Myers-Steenrod afirma que estos dos conceptos en realidad son el mismo: toda isometría en sentido métrico es una isometría entre métricas riemannianas, y por tanto diferenciables. Entiendo que a esto es a lo que te referías cuando dices que toda isometría es suave. Que toda isometría en sentido riemanniano es isometría métrica es trivial.
Entonces si tomamos uno de estos conjuntos y lo equipamos con distintas estructuras diferenciables que nos proporcionan variedades diferenciables no difeomorfas, significa esto que no existen métricas en las variedades tales que existe una isometría entre ellas. Es decir, ¿Se puede hablar de métricas compatibles con una de las estructuras diferenciables pero no con la otra?
Exacto. Si tienes una métrica riemanniana para una estructura diferenciable, y otra métrica riemanniana para una estructura diferenciable no difeomorfa con la primera, entonces no hay ninguna isometría entre esas métricas. Esto es porque una tal isometría sería en particular un difeomorfismo. Por lo tanto, cada métrica riemanniana es una métrica riemanniana exclusivamente para una de las estructuras diferenciables salvo difeomorfismo de la variedad.
