[ani_pascual]

Hola:

Ahí la "variable" es \( (X, \tau) \). Si \( (X, \tau) \) es un espacio topológico que no es \( T_1 \), entonces la conclusión es falsa (pero el antecedente también).

Entiendo que en ese teorema se está tomando como verdadera la proposición \( (X,\tau) \) es \( T_2 \) y por ello se puede probar que \( (X,\tau)  \) es \( T_1 \), con lo cual la implicación es verdadera (es un teorema). Es claro que si se toma un \( (X,\tau) \) que no sea \( T_1 \) entonces la premisa \( (X,\tau) \) es \( T_2 \) es falsa y la conclusión  \( (X,\tau) \) es \( T_1 \) también es falsa, pero la implicación es verdadera.

Eso ya es una cuestión lingüística, pero la gente los llama teoremas igualmente. Conjetura creo que es un mal nombre para eso. Una proposición de la forma \( RH \to p \) sería una conjetura si no se supiera si \( RH \) implica \( p \) o no. Pero si eso está demostrado la implicación ya no es una conjetura, es otra cosa (un teorema, pero si no te gusta pues llámalo de otra forma).

Pero es que una implicación \( p\longrightarrow q \) no es sino una disyunción \( \neg p\vee q \), así que si la veracidad de \( q \) depende de veracidad de \( p \), a mí me parece que si \( p \) es una conjetura también lo es la implicación \( p\longrightarrow q \). Es decir, si se llega a saber que \( p \) es falsa entonces la implicación se convierte en una proposición verdadera, pero sin interés, luego no sería un teorema, y si se llega a saber que \( p \) es verdadera entonces también lo sería \( q \) y estaríamos ante una implicación verdadera que es un teorema. Es solo mi opinión.
Saludos

[geómetracat]

Entiendo que en ese teorema se está tomando como verdadera la proposición \( (X,\tau) \) es \( T_2 \) y por ello se puede probar que \( (X,\tau)  \) es \( T_1 \), con lo cual la implicación es verdadera (es un teorema). Es claro que si se toma un \( (X,\tau) \) que no sea \( T_1 \) entonces la premisa \( (X,\tau) \) es \( T_2 \) es falsa y la conclusión  \( (X,\tau) \) es \( T_1 \) también es falsa, pero la implicación es verdadera.

Pues eso es lo que estaba diciendo.

Pero es que una implicación \( p\longrightarrow q \) no es sino una disyunción \( \neg p\vee q \), así que si la veracidad de \( q \) depende de veracidad de \( p \), a mí me parece que si \( p \) es una conjetura también lo es la implicación \( p\longrightarrow q \). Es decir, si se llega a saber que \( p \) es falsa entonces la implicación se convierte en una proposición verdadera, pero sin interés, luego no sería un teorema, y si se llega a saber que \( p \) es verdadera entonces también lo sería \( q \) y estaríamos ante una implicación verdadera que es un teorema. Es solo mi opinión.

Entonces, ¿también opinas que cuando demuestras una disyunción \( p \vee q \) eso no merece ser llamado teorema a no ser que \( p \) (o \( q \)) sea falso? Porque podemos hacer lo mismo al revés: toda disyunción \( p \vee q \) es equivalente a una implicación \( \neg p \to q \) (y también a \( \neg q \to p \)).

Al margen de eso, con lo de la conjetura quiero decir a que hay dos situaciones que son radicalmente distintas. Una es no saber si puedes demostrar \( p \), pero sí tener demostrado \( p \to q \). Otra muy distinta es no saber demostrar \( p \to q \). En el primer caso, en cuanto alguien demuestre \( p \) automáticamente tienes una demostración de \( q \). En el segundo caso, te quedas igual.

También tienes el caso más extremo de implicaciones que dependen de afirmaciones independientes de ZFC, como las de la forma \( HC \to p \) o \( \neg HC \to p \) (donde HC es la hipótesis del continuo). ¿También dirías de esto que son conjeturas, a pesar de que se sabe que nunca se podrá demostrar ni refutar HC?

[ani_pascual]

Hola:

Entonces, ¿también opinas que cuando demuestras una disyunción \( p \vee q \) eso no merece ser llamado teorema a no ser que \( p \) (o \( q \)) sea falso?

En efecto, eso es lo que opino, en un teorema que sea una implicación siempre se toma la negación del antecedente como falsa (el antecedente como verdadero) y la disyunción es verdadera porque es verdadera la conclusión.

Porque podemos hacer lo mismo al revés: toda disyunción \( p \vee q \) es equivalente a una implicación \( \neg p \to q \) (y también a \( \neg q \to p \)).

¡Claro que toda disyunción lleva aparejada una implicación! pero no toda disyunción es un teorema.
Por ejemplo, dando por hecho que asumimos el axioma del conjunto vacío, la disyunción \( (\emptyset \in{\cal P}\emptyset )\vee ({\cal P}\emptyset =\{\emptyset\}) \) equivale a la implicación \( \emptyset \notin {\cal P}\emptyset \longrightarrow {\cal P}\emptyset=\{\emptyset\} \) y la implicación es verdadera (pues la tesis lo es) pero a mi juicio no es un teorema porque el antecedente es falso.

Al margen de eso, con lo de la conjetura quiero decir a que hay dos situaciones que son radicalmente distintas. Una es no saber si puedes demostrar \( p \), pero sí tener demostrado \( p \to q \).

Creo que cuando dices  tener demostrado \( p\longrightarrow q \) te refieres a que tomando \( p \) como verdadera puedes demostrar la veracidad de \( q \). Diría que si no hay certeza sobre la veracidad de \( p \) solo puedes tener demostrado \( p\longrightarrow q \) si tienes demostrado \( q \), en cuyo caso, si finalmente resulta \( p \) verdadera, la implicación sería un teorema y si resulta ser \( p \) falsa,  sería una implicación verdadera a secas.

Otra muy distinta es no saber demostrar \( p \to q \).

Ceo que con esto te refieres a no saber demostrar la veracidad de \( q \) suponiendo que \( p \) es verdadera, y eso sería simplemente una conjetura, pues es una disyunción de la que se ignora su veracidad o falsedad.

En el primer caso, en cuanto alguien demuestre \( p \) automáticamente tienes una demostración de \( q \).

luego la conjetura deja de serlo y se tiene un teorema.

En el segundo caso, te quedas igual.

Así es, seguimos teniendo una conjetura.

También tienes el caso más extremo de implicaciones que dependen de afirmaciones independientes de ZFC, como las de la forma \( HC \to p \) o \( \neg HC \to p \) (donde HC es la hipótesis del continuo). ¿También dirías de esto que son conjeturas, a pesar de que se sabe que nunca se podrá demostrar ni refutar HC?

En estos casos diría que son teoremas de Teorías antagónicas 
Saludos

[Masacroso]

Vale, no todos los teoremas (desde un punto de vista formal) se enuncian como \( A\implies B \) o \( A\iff B \), aunque luego, para demostrar un teorema \( A \), uno tiene algo como \( \Gamma \vdash A \), donde \( \Gamma  \) (el conjunto de premisas) puede ser vacío si uno sólo utiliza axiomas dentro de la teoría formal que sea.

Si \( \Gamma \neq \emptyset  \) entonces existe una premisa \( B \) tal que \( \Gamma =\Delta \cup \{B\} \), entonces un metateorema nos dice que \( \Gamma \vdash A \) si y solo si \( \Delta \vdash (B \implies A) \), es decir, que demostrar el teorema \( A \) a partir de \( \Gamma  \) es equivalente a demostrar el teorema \( B\implies A \) a partir de \( \Delta  \). Supongo que ése es uno de los motivos por los cuales la forma \( B\implies A \) para enunciar teoremas sea tan generalizada.

[Carlos Ivorra]

Por cierto, ¿tú qué opinas? Si asumimos el axioma del conjunto vacío, ¿llamarías teorema a la implicación verdadera siguiente:
\(
\emptyset\notin {\cal P}\emptyset\longrightarrow {\cal P}\emptyset=\{\emptyset\}\\ \) o lo dejarías en implicación verdadera ?

Es decir, si se llega a saber que \( p \) es falsa entonces la implicación se convierte en una proposición verdadera, pero sin interés, luego no sería un teorema, y si se llega a saber que \( p \) es verdadera entonces también lo sería \( q \) y estaríamos ante una implicación verdadera que es un teorema. Es solo mi opinión.

Si pretendes que los teoremas sean las afirmaciones "verdaderas" "interesantes", conviertes el concepto de "teorema" en algo subjetivo, porque lo que puede ser interesante para uno, no tiene por qué serlo para otro.

Una teoría axiomática consiste en unos axiomas y unas reglas que determinan inequívocamente cuándo una afirmación es consecuencia lógica de dichos axiomas  y, en ese contexto, cualquier cosa demostrable a partir de los axiomas (incluyendo los propios axiomas) es un teorema.

La implicación que indicas es demostrable a partir de los axiomas básicos de la teoría de conjuntos (incluyendo el del conjunto vacío), por lo que, por definición, es un teorema de la teoría de conjuntos.

Más aún, si consideras

\( \emptyset\neq \emptyset\rightarrow \mathcal P\emptyset=\{\emptyset\} \)

eso también es un teorema de la teoría de conjuntos, pero, más aún, es un teorema lógico, porque puede demostrarse sin usar ninguno de los axiomas de la teoría de conjuntos.

[ani_pascual]

Hola:

Si pretendes que los teoremas sean las afirmaciones "verdaderas" "interesantes", conviertes el concepto de "teorema" en algo subjetivo, porque lo que puede ser interesante para uno, no tiene por qué serlo para otro.

La idea no es que los teoremas que son una implicación sean solo las implicaciones "verdaderas" "interesantes", sino las implicaciones verdaderas que parten de premisas verdaderas. No se trata de convertir el concepto de "teorema" en algo subjetivo sino de no llamar teorema a una implicación que parte de una premisa falsa.
Si toda implicación verdadera es candidata a ser teorema, entonces la implicación
\( 2=3\longrightarrow 3 \mbox{ es par} \) es también un teorema, ya que aunque de lo que se parte es falso, la disyunción \( (2\neq 3 )\vee (3 \mbox{ es par}) \) es verdadera. No lo llamaría teorema
¿Llamarías teorema a la implicación verdadera:

\( R\in V\longrightarrow R=\emptyset \)?

Saludos

[Carlos Ivorra]

¿Llamarías teorema a la implicación verdadera:

\( R\in V\longrightarrow R=\emptyset \)?

Eso es demostrable a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos, luego es un teorema de la teoría de conjuntos. Si se puede demostrar, es un teorema, si no se puede demostrar, no es un teorema.