[malboro]

Definimos la  categoría de los grafos dirigidos DiGraph de la siguiente manera:

Objetos: Los objetos de esta categoría son los grafos dirigidos. Un grafo dirigido
\( G \) se define como un par ordenado \( G=(V,A) \) donde \( V \) es el conjunto de vértices y \( A \) el conjunto de aristas, que son pares ordenados de vértices \( (u,v) \) con \( u,v\in V \).

Morfismos: Los morfismos en esta categoría son las funciones entre los conjuntos de vértices que preservan la estructura del grafo dirigido. Formalmente, un morfismo de un grafo dirigido \( G=(V_G,A_G) \) a un grafo dirigido \( H=(V_H,A_H) \) es una función \( f:V_G\longrightarrow V_H \) tal que si \( (u,v)\in A_G \)
 entonces \( (f(u),f(v))\in A_H \).


La categoría de categorías denotada por Cat tiene por objetos a las categorías y a los morfismos funtores.

Lo que deseo es ver que hay una adjunción entre los funtores \( F \):DiGraph \( \longrightarrow \) Cat y \( G \):Cat\( \longrightarrow \) DiGraph. Espero una sugerencia de como definir dichos funtores y el isomorfismo natural.








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[geómetracat]

¿Estás seguro de que es esa la definición de grafo dirigido que debes usar aquí? Con esa definición solamente puede haber una arista dirigida entre dos vértices (con una dirección dada), mientras que para la adjunción que buscas me parece a mí que deberías trabajar con multigrados dirigidos (que pueden tener varias aristas entre dos vértices).

Suponiendo eso, el funtor \( G \) no es más que un funtor de olvido que simplemente olvida la composición en una categoría, mientras que el funtor \( F \) es el funtor "categoría libre" donde los objetos de la categoría son los vértices del grafo, los morfismos corresponden con caminos en el grafo, las identidades con el camino trivial y la composición con la composición de caminos en el grafo.

Una vez esto está claro, ver que hay una adjunción es bastante rutinario.

[malboro]

Hola Geómetracat, tienes razón, esa definición no funciona en este caso.

Muchas gracias