Hola, a ver si esto te ayuda
Si \( c^n=a^n+b^n \) .
Se dará siempre para \( n>2 \), que \( c=a+b-d \) , para un \( d \) entero positivo y que \( c^2=a^2+b^2-e \) , para un \( e \) entero positivo.
Conocemos el caso del UTF2 que tiene infinitas soluciones. Vamos a comparar los casos de exponente superiores á 2 con él.
Contra un exponente de \( n \) más grande, mayores serán \( d \) -y- \( e \) . En particular, si es mayor \( e \) , más pequeño será \( c^2 \) respecto de unos \( a^2+b^2 \) que vamos a considerar de un tamaño similar a las soluciones del UTF2 que recorren todo \( \mathbb{N} \). Tendremos pues que:
\( \boxed{c\downarrow\,=a+b-d\uparrow} \)
Como \( d=a+b-c \) , la factorización siguiente es así: \( (c-a)(c-b)=ab-cd \) .
La magnitud de la parte derecha de la ecuación vamos a decir que se mantiene equilibrada conforme \( n \) se hace más grande porque \( ab-c(\downarrow)\cdot d(\uparrow) \) . Luego la parte izquierda de la ecuación se debe mantener igual. Pero no es así.
\( (c-a)(c-b) \) representan n-potencias enteras cada vez más grandes (pensemos que \( n \) divide á \( c \)) -y- la ecuación entonces queda comprometida conforme \( n \) se hace mayor si \( a,b,c \) son enteros. Ahora bien, no es así si no son enteros; porque las n-potencias de números irracionales pueden ser tan pequeñas como se quieran y ajustarse con exactitud a cualquier valor de \( ab-cd \) .
En fin. No sé si esto está más o menos bien y/ó os puede servir a alguno.
Un cordial saludo,
Vaya, Fernando, muy interesante!!! No lo sabía. Gracias
Pues... esta tarde he estado pensando con otra idea diferente; te he intentado hacer caso y al trastear con el tema me parece que he podido esquivar esa divisibilidad pantanosa que no parece conducir a ningún lado, como muy bien me apuntaste.
Empiezo igual que antes hasta justo cuando sea plantea que, por divisibilidad, habría 4 casos a analizar. Por tanto dejo esos 4 casos fuera y cambio el argumento. En el spoiler recuerdo estos primeros pasos:
Spoiler
1º PARTE
- Si \( a^3 + b^3 = c^3 \), donde \( a, b, c \) son números coprimos.
Entonces es cierto que \( c = a + g \), donde \( a, g, c \) son números coprimos.
Luego:
\[
a^3 + b^3 = (a + g)^3 = a^3 + 3a^2g + 3ag^2 + g^3
\]
\[
b^3 - g^3 = 3ag(a + g)
\]
\[
b^3 = g^3 + 3agc
\]
\[
b^3 = g(g^2 + 3ac) \]
Puesto que hemos asumido que $$a,c,g$$ son coprimos entre sí, y observando que $$g$$ no puede ser múltiplo de $$3$$, porque entonces $$a,b,c$$ dejarían de ser coprimos entre sí para ser también múltiplos de $$3$$, entonces podemos considerar que existe un número natural $$y$$ tal que:
$$y^3 = g^2 + 3ac $$
De modo que:
\[
b^3 = gy^3
\]
Pero, ya que es evidente que $$ g $$ ha de ser coprimo con $$ y^3 $$, entonces:
\[
g = m^3
\]
De modo que:
\[
b^3 = (my)^3
\]
2º PARTE
- Si \( a^3 + b^3 = c^3 \), donde \( a, b, c \) son números coprimos.
-Por la 1º PARTE, tenemos que \( c = a + m^3 \), donde \( c, a, m^3 \) son números coprimos.
-Por la 1º PARTE, tenemos que \( b^3 = (y \cdot m)^3 \).
Entonces desarrollamos:
\[
a^3 + b^3 = (a + m^3)^3 = a^3 + 3a^2m^3 + 3am^6 + m^9
\]
\[
b^3 - m^9 = 3am^3(a + m^3)
\]
\[
m^3(y - m^6) = m^3\left[3a(a + m^3)\right], \text{ siendo } a, c, m^3 \text{ números coprimos.}
\]
Por lo tanto:
\[
y^3 - m^6 = (y - m^2)\left[(y - m^2)^2 + 3ym^3\right] = 3a(a + m^3)
\]
Con ello obtenía las siguientes identidades:
· $$c=a+m^3$$
· $$b=ym$$
· $$y^3-m^6=(y-m^2)[(y-m^2]^2+3ym^2]=3a(a+m^3)$$
Lo que he observado es que lo que hemos hecho con $$b$$, también lo podemos hacer con $$a$$ para demostrar que la suposición de que $$a^3+b^3=c^3$$ implica, no sólo que $$c=a+m^3$$, sino que $$c=b+x^3$$ mientras $$a=xq$$, siendo $$x,q$$ dos naturales coprimos entre sí.
La demostración es idéntica a la de la 1º PARTE del spoiler anterior:
Spoiler
- Si \( a^3 + b^3 = c^3 \), donde \( a, b, c \) son números coprimos.
Entonces es cierto que \( c = b + j \), siendo $$j$$ un natural coprimo con c,b.
Entonces:
\[
a^3 + b^3 = (b + j)^3 = b^3 + 3b^2j + 3bj^2 + j^3
\]
\[
a^3 = j^3+3bjc
\]
\[
a^3 = j(j^2 + 3bc) \]
Como hemos asumido que $$b,c,j$$ son coprimosentre sí, y observando que $$j$$ no puede ser múltiplo de $$3$$, porque entonces $$a,b,c$$ dejarían de ser coprimos entre sí para ser múltiplos de $$3$$, entonces podemos considerar que existe un número natural $$y$$ tal que:
\[x^3 = j^2 + 3bc \]
De modo que:
\[
a^3 = jx^3
\]
Pero, ya que es evidente que $$j$$ ha de ser coprimo con $$ x^3 $$, entonces:
\[
j = q^3
\]
De modo que:
\[
a^3 = (xq)^3
\]
Ello, (si es correcto, claro) nos proporciona una restricción bastante fuerte:
$$c=a+m^3=b+x^3$$, y que por las identidades encontradas podemos escribir como:
$$xq+m^3=ym+x^3$$
Lo reorganizamos un poco:
$$xq-x^3=ym-m^3$$
Y lo dejamos así:
$$x(q-x^2)=m(y-m^2)$$
Vale, dado que $$a,b$$ son coprimos entre sí, entonces $$x,m$$ también han de ser corpimos entre sí, pues $$a=xq$$ y $$b=ym$$.
Entonces, ante la identidad $$x(q-x^2)=m(y-m^2)$$ salta a la vista que $$x\neq m$$, con lo cual, solo puede darse el siguiente sistema como solución:
$$x=y-m^2$$ (o bien:$$y=x+m$$)
$$m=q-x^2$$ ( o bien: $$x^2=q-m$$)
Entonces, recuperamos la identidad desarrollada en la 2º PARTE de ayer: $$y^3-m^3=(y-m^2)[(y-m^2)^2+3ym^2]=3ac$$
Y empezamos a sustituir sus variables por las identidades se acaban de encontrar. Y obtenemos:
$$y^3-m^3=x[x^2+3m^2(x+m)]=3xq(xq+m^3)$$
Y lo reorganizamos de tal manera que:
$$x^2+3m^2(x+m)=3q(xq+m^3)$$
$$x^2+3xm^2+3m^4=3xq^2+3qm^3$$
$$x^2=3xq^2-3xm^2+3qm^3-3m^4$$
$$x^2=3x(q^2-m^2)+3m^3(q-m)$$
Y dado que $$q^2-m^2=(q-m)(q+m)$$, y que $$q-m=x^2$$, entonces terminamos esta reorganizacion con:
$$x^2=3x^3(q+m)+3m^3x^2$$
Y resulta evidente que esta igualdad es falsa, con lo cual $$a^3+b^3\neq c^3$$.
Un saludo
