[Richard R Richard]

Pero la cuestión es que si se cosidera que están “todos” a la vez en una serie alternada (sin que importe el orden ni nada a la hora de sumarlos) entonces se podría hacer esto

\( {\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{\displaystyle \frac{(1)^{n}}{2n+1}}-\sum_{n=0}^{\infty}{\displaystyle \frac{(1)^{n}}{2n+1}}=0} \)

Sin embargo, no se puede hacer eso, hay que considerar los términos por orden, uno detrás de otro y con su signo. Se puede entender “todos” por comprensión, no como infinito actual, que es lo que él dice. El infinito actual es inconsistente, es una contradicción de la propia definición, es decir que el infinito tiene fin.

Saludos

El sumatorio que pones repite sumándos por eso llegas a un resultado equivocado.

Tendrias que usar

\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\left[\dfrac{1}{4n+1}-\dfrac{1}{4n+3}\right]} \) *** Este es un punto de vista subjetivo y no del todo correcto , existen otras formas de ordenar la serie que pueden dar resultados diversos. Lo he escrito por improvisado es es solo uno de los posibles casos.
De donde

\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\left[\dfrac{1}{4n+1}\right]}-\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\left[\dfrac{1}{4n+3}\right]}=\dfrac{\pi}{4} \)

Entonces el resultado  se conservaría.


Pero creo que así los sumatorios divergen cada uno y es una resta infinito menos infinito y no sería estrictamente  cierto el resultado.

[feriva]

Hola, Richard.

El sumatorio que pones repite sumándos por eso llegas a un resultado equivocado.

No llego a ningún resultado, es un ejemplo de lo que pasa si se entiende “todo” n como algo terminado y donde no hay un orden de ningún tipo a la hora de entender la suma.

RDC decía en cierto párrafo

Si el único procedimiento para contar que permitimos es el contar los elementos iterativamente, es decir, uno por uno (o por partes finitas de elementos), entonces sólo podemos hablar de convergencias y límites. Y carece de sentido hablar de "sumar todos los infinitos elementos de una serie".

La cuestión está en entender ese "todos"; pero en cualquier caso hay que contar de uno en uno o de varios en varios

Podemos sumarlos de dos maneras, de uno en uno o de ésta:

Ahí lo que tenemos son distintos valores ordenados así \( a,b,c,... \), primero, segundo, tercero... los cuales se van multiplicando en ese orden por \( 1 \) (si el lugar de orden que ocupa el elemento en la sucesión es impar) o se van multiplicando por -1 (si el lugar es par) Esto es así porque empieza desde n=0, con lo que \( (-1)^{0}=1 \), y no consideramos el primer lugar como “lugar cero”, sino como lugar 1, por tanto, la serie empieza por un número positivo en lugar de orden impar.

A partir de eso, podemos sumar primero todos los que ocupan lugar impar; sumar después, en valor absoluto, todos los que ocupan lugar par; y, finalmente, restar esta última suma a la anterior.

Aún así, tenemos primero una suma y después otra, no es posible considerar “todo” al mismo tiempo.

Saludos.

[Richard R Richard]

De la misma manera que no puedes escribir todos los términos de una sucesión tampoco podrás sumarlos...
creo que si los elementos de una sucesión con convergen a cero cuando  el numero de elementos tiende a infinito no hay forma de que la sumatoria de sus elementos tienda a un numero finito ,  aún tendiendo a cero no es garantía de que converja el sumatorio a un número finito , como por ejemplo cualquier sucesión del tipo $$\dfrac{a}{bn+c}$$ cuyo único caso que convergen a cero es cuando $$a$$ es cero, no no se si a una sucesión de infinitos ceros puedes llamarlo sucesión.

\( {\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{\displaystyle \frac{(1)^{n}}{2n+1}}-\sum_{n=0}^{\infty}{\displaystyle \frac{(1)^{n}}{2n+1}}=\infty-\infty \neq 0} \)
esa es mi opinion

lo mismo que

\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\left[\dfrac{1}{4n+1}-\dfrac{1}{4n+3}\right]}=\dfrac{\pi}{4} \)

pero

\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\left[\dfrac{1}{4n+1}\right]}-\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\left[\dfrac{1}{4n+3}\right]}=\infty-\infty\neq\dfrac{\pi}{4} \)

Creo que así esta mejor explicada la observación que les hacía.

Tu te refieres a la secuencia de términos: $$M=\left\{{1,\displaystyle\frac{-1}{3},\displaystyle\frac{1}{5},\displaystyle\frac{-1}{7},...}\right\}$$,

Yo hablo de la secuencia de sumatorios de la secuencia $$M$$: $$S_M=\left\{{1,\displaystyle\frac{2}{3},\displaystyle\frac{13}{15},\displaystyle\frac{76}{105},...,\displaystyle\frac{\pi}{4}}\right\}$$.

Lo que tenemos es una aproximación, si lo contamos para $$n$$ elementos de $$S_M$$, hacia $$\displaystyle\frac{\pi}{4}$$. Es lo mismo que sucede con la escalera de Eudoxo

Apartir de $$M_R=x\in \Bbb Q\quad / x=\dfrac{2}{16n^2+16n+3}=\{2/3,2/35,2/99,2/195,2/323,2/483,2/675,2/899,2/1155,2/1443,...\}$$

$$\displaystyle{\sum\limits_{i=0}^{n} M_{R_i}\cong\dfrac{\pi}{4}}\quad \forall n \in\Bbb N$$

pero

$$\displaystyle{\sum\limits_{i=0}^{\infty} M_{R_i}=\dfrac{\pi}{4}}$$ pues hay paso al límite entendiendo la sucesión de infinitos términos

Ahora los n de RDC pares o impares (ojo que ahora n no tiene el mismo valor que el le dio)


si defino $$M_{IMPAR}=x\in \Bbb Q\quad / x=\dfrac{1}{4n+3}=\{1/3,1/7,1/11,1/15,1/19,1/23,1/27,1/31,1/35,1/39,...\}$$
y

si defino $$M_{PAR}=x\in \Bbb Q\quad / x=\dfrac{1}{4n+1}=\{1/1,1/5,1/9,1/13,1/17,1/21,1/25,1/29,1/33,1/37,...\}$$

entonces

$$\displaystyle{\sum\limits_{i=0}^{n} M_{IMPAR_i}=S_I}\quad \forall n \in\Bbb N$$

$$\displaystyle{\sum\limits_{i=0}^{n} M_{PAR_i}=S_P}\quad \forall n \in\Bbb N$$

luego $$S_P-S_I\cong \dfrac{\pi}{4}$$

Ahora


$$\displaystyle{\sum\limits_{i=0}^{\infty} M_{IMPAR}=\infty=S_I}$$ por paso al límite

$$\displaystyle{\sum\limits_{i=0}^{\infty} M_{PAR}=\infty=S_P}$$ por paso al límite

pero

$$S_P-S_I=\infty-\infty\neq \dfrac{\pi}{4}$$

Se aprecia la diferencia.


Agrego

puedes definir una sucesión



$$S_M=x\in \Bbb Q\quad / \displaystyle{x=\sum\limits_{i=0}^{n} M_{R_i}}=\{\dfrac{2}{3};\dfrac{76}{105},\dfrac{7734}{10395},\dfrac{1528920}{2027025},\dfrac{497895210}{654729075},\dfrac{241792844580}{316234143225},\dfrac{163842638377950}{213458046676875},...\}$$


que tenderá a que cada elemento de la sucesión se parezca mas a $$\pi/4$$, pero no habrá ninguno que sea exactamente $$\pi/4$$


Saludos

[feriva]

De la misma manera que no puedes escribir todos los términos de una sucesión tampoco podrás sumarlos...
creo que si los elementos de una sucesión con convergen a cero cuando  el numero de elementos tiende a infinito no hay forma de que la sumatoria de sus elementos tienda a un numero finito ,  aún tendiendo a cero no es garantía de que converja el sumatorio a un número finito.

Sí, es así, es condición necesaria pero no garantiza la convergencia, pueden pasar las dos cosas. No me acuerdo ya de los criterios de convergencia, pero sí me acuerdo de que, precisamente, uno de ellos era de Leibniz. Entonces, ¿tenía en la cabeza Leibniz que sumaba todos en el sentido que dice RDC? A eso es a lo que yo digo que no creo.

En cualquier caso, aquí la cuestión está en la interpretación del “todos”. Claro que nunca podremos sumar todos, pero podemos asumir por comprensión que están “todos” sumados con el concepto de límite porque, cuando converge, los números no dejan de acercarse a unos valores que ya no podemos distinguir, todos son el mismo a nuestros ojos. No obstante, no dejan nunca de acercarse más (aunque nosotros no intervengamos sumando “a mano”) es un proceso infinito, no se puede considerar “terminado” por el hecho de que nosotros ya no distingamos valores distintos.

Del mismo, modo, cuando diverge, tenemos que pensar que la cosa "no para", porque si parara, la suma de cantidades finitas sí sería convergente.

Saludos.

[RDC]

Hola feriva,

Hola, Richard.

El sumatorio que pones repite sumándos por eso llegas a un resultado equivocado.

No llego a ningún resultado, es un ejemplo de lo que pasa si se entiende “todo” n como algo terminado y donde no hay un orden de ningún tipo a la hora de entender la suma.

Planteas algo interesante, pero quizás debería tomarse de otro modo.

Si tenemos un sumatorio de infinitos términos:

a) lo podemos tratar mediante sumas parciales, que sólo nos indica si la suma converge hacia un valor o no.

n) Lo podemos tratar como la suma de todos los términos.

En este segundo caso, considerando la suma de todos los términos, no significa que sea algo terminado, sino que es algo completo: no le falta ningún elemento a sumar ni le sobre ningún elemento. Ahora bien, no hay una última suma. Por tanto, el orden de los sumandos debería de seguir siendo un factor importante.

RDC decía en cierto párrafo

Si el único procedimiento para contar que permitimos es el contar los elementos iterativamente, es decir, uno por uno (o por partes finitas de elementos), entonces sólo podemos hablar de convergencias y límites. Y carece de sentido hablar de "sumar todos los infinitos elementos de una serie".

La cuestión está en entender ese "todos"; pero en cualquier caso hay que contar de uno en uno o de varios en varios

Podemos sumarlos de dos maneras, de uno en uno o de ésta:

Ahí lo que tenemos son distintos valores ordenados así \( a,b,c,... \), primero, segundo, tercero... los cuales se van multiplicando en ese orden por \( 1 \) (si el lugar de orden que ocupa el elemento en la sucesión es impar) o se van multiplicando por -1 (si el lugar es par) Esto es así porque empieza desde n=0, con lo que \( (-1)^{0}=1 \), y no consideramos el primer lugar como “lugar cero”, sino como lugar 1, por tanto, la serie empieza por un número positivo en lugar de orden impar.

A partir de eso, podemos sumar primero todos los que ocupan lugar impar; sumar después, en valor absoluto, todos los que ocupan lugar par; y, finalmente, restar esta última suma a la anterior.

Aún así, tenemos primero una suma y después otra, no es posible considerar “todo” al mismo tiempo.

Saludos.

Estoy de acuerdo que cuando tenemos una secuencia de infinitos elementos hay que establecer qué significa  "sumar todos estos elementos". Y hagamos lo que hagamos, la nueva operación deberá conservar ciertas propiedades que ya tenemos cuando sumamos la secuencia "uno a uno", pero a la vez, debrá precisarnos más cosas.

Mi propuesta es la siguiente:

Si la suma o resta de una secuencia de infinitos elementos converge a un valor, entonces:

-Tenemos que el conjunto de todas las infinitas sumas parciales de la secuencia es $$S_M=\left\{{s_1,s_2,s_3,...}\right\}$$

Este conjunto tiene por ordinal $$w$$ y no tiene un último valor.

-Ahora bien, los elementos de este conjunto $$S_M$$ se pueden reordenar de forma que su ordinal sea $$w+1$$, colocando el valor límite de la suma como último elemento del conjunto $$S_{M_n}=\left\{{s_1,s_2,s_3,...,s_{limite}}\right\}$$
 
En otras palabras, mi propuesta es que mediante la reordenación de los elementos del conjunto $$S_M$$ podemos "pescar" el valor límite del conjunto, el cual resulta imposible de determinar como un elemento del conjunto $$S_M$$ original, dado que este conjunto carece de un último término.

Entonces, mediante es procedimeinto de reordenación de los elementos de un conjunto $$S_M$$ también podemos generar el conjunto $$S_{M_{limite+1}}=\left\{{s_1,s_2,s_3,...,s_{limite-1},s_{limite}}\right\}$$. Es decir, podemos "pescar" el valor límite de la secuencia y el valor anterior al valor límite.


Por ejemplo, tenemos la función $$f(n)=\displaystyle\frac{1}{n}$$. Entonces, llamamos $$A$$ al conjunto de todas las soluciones de $$f(n)$$. Por tanto:

$$A=\left\{{1,\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{1}{3},...}\right\}$$. Su ordinal es $$w$$.

Ahora podemos "pescar" el valor límite reordenando los elementos de A del siguiente modo:

$$A_{limite}=\left\{{1,\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{1}{3},...,0}\right\}$$. Y su ordinal es $$w+1$$

Y podemos volver a reordenar A para obtener el valor límite +1:

$$A_{limite+1}=\left\{{1,\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{1}{3},...,\alpha,0}\right\}$$, siendo $$\alpha$$ el valor anterior al valor límite y su ordinal $$w+2$$.

Entonces podemos generar el subconjunto $$C=\left\{{\alpha,0}\right\}: C\subset{A_{limite+1}}$$, que representa el intervalo $$[0,\alpha]$$, el cual ya no se puede dividir racionalmente. Y sin embargo contiene infinitos infinitesimales $$x|0<x<\alpha|x\not\in A_{limite+1}$$.

[Richard R Richard]

Creo que esto me servirá para repasar si entendí o no lo que me han estado explicando.

pongamos las cosas claras , o aclarenmelas...

Ordinal : es el numero que establece la posición de un elemento dentro de un conjunto.
Cardinal: es el numero resultado de contar todos los elementos de un conjunto.
Numeral: es el valor numérico incluido en un conjunto, con relación univoca a la posición indicada por su ordinal.
Ej: Dado $$A=\{5,6,4,9\}$$ Su cardinal es 4 , en el ordinal 2 tenemos al numeral 6.

Planteas algo interesante, pero quizás debería tomarse de otro modo.

Si tenemos un sumatorio de infinitos términos:

a) lo podemos tratar mediante sumas parciales, que sólo nos indica si la suma converge hacia un valor o no.

n) Lo podemos tratar como la suma de todos los términos.

No encuentro objeción , adelante.

En este segundo caso, considerando la suma de todos los términos, no significa que sea algo terminado, sino que es algo completo: no le falta ningún elemento a sumar ni le sobre ningún elemento. Ahora bien, no hay una última suma. Por tanto, el orden de los sumandos debería de seguir siendo un factor importante.

¿Por qué? La suma es conmutativa, el orden de los sumandos no altera el resultado de la suma. Si dices que están todos los términos, pues se entiende que estan "todos" , estén o no ordenados.
Fíjate que la función que representa cada sumando es una relación biyectiva entre un numero natural y un elemento de la serie, puedes decir que relaciona su ordinal con el numeral de la serie, ten en cuenta que si arrancas a sumar desde el cero , el primer sumando justamente tiene primer numero ordinal es decir 1 en tu caso $$n=w-1$$ pero es anecdótico puedes escribir la serie de diversas maneras.

He encontrado contraejemplos a lo que postee, así no es buena idea tenerlo  esto en cuenta...

Si la suma o resta de una secuencia de infinitos elementos converge a un valor, entonces:

-Tenemos que el conjunto de todas las infinitas sumas parciales de la secuencia es $$S_M=\left\{{s_1,s_2,s_3,...}\right\}$$

Este conjunto tiene por ordinal $$w$$ y no tiene un último valor.

ok

-Ahora bien, los elementos de este conjunto $$S_M$$ se pueden reordenar de forma que su ordinal sea $$w+1$$, colocando el valor límite de la suma como último elemento del conjunto $$S_{M_n}=\left\{{s_1,s_2,s_3,...,s_{limite}}\right\}$$

No, justamente si al conjunto le agregas un elemento al final, el orden de los anteriores no se altera, conservan el mismo w.
Si agregas un elemento que es el limite, pasan al menos 3 cosas,
1) El elemento que agregaste puede o no tener las mismas propiedades que los demás elementos que definieron la pertenencia al conjunto, cada elemento de la serie se corresponde con un valor racional, pero el que agregaste es irracional.
2) Entiendo que si nombras $$w$$ al ordinal del ultimo elemento del conjunto compuesto de la serie $$S_M$$ con la adición del limite como último elemento, ese ordinal debería coincidir con el cardinal del conjunto. Si el conjunto tiene infinitos elementos tanto cardinal como ordinal lo representas con $$\infty$$  puesto que $$\infty+1$$ sigue siendo $$\infty$$.
3) si cada elemento de la serie tenia una biyección con un numero natural, el limite no podrá estar en biyección con ningún natural ,los elementos de la serie los habrán usado todos, no puedes decir ya habrá más, para dárselo al elemento " limite"... así que ese elemento debes ordenarlo en alguna posición finita de la serie para que quede definido su ordinal. Ponerlo último es solo una decisión subjetiva pero contradictoria a la definición del conjunto, al menos para mi de ese modo no puedes definir el conjunto.
No estoy seguro de que todo lo escribí sea cierto

En otras palabras, mi propuesta es que mediante la reordenación de los elementos del conjunto $$S_M$$ podemos "pescar" el valor límite del conjunto, el cual resulta imposible de determinar como un elemento del conjunto $$S_M$$ original, dado que este conjunto carece de un último término.

Ni idea me hago de lo que nos quieres explicar, si no es algo de lo que dije previamente.

Entonces, mediante es procedimeinto de reordenación de los elementos de un conjunto $$S_M$$ también podemos generar el conjunto $$S_{M_{limite+1}}=\left\{{s_1,s_2,s_3,...,s_{limite-1},s_{limite}}\right\}$$. Es decir, podemos "pescar" el valor límite de la secuencia y el valor anterior al valor límite.

Ya veía desafortunado la expresión del conjunto anterior ,menos esta. ¿Por qué?
Por todo lo que me explicaron en mi hilo https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=127203.0
No hay ningún elemento anterior al elemento limite que puedas definir, cuando fijes $$n$$ y halles su valor de sumatoria, existirá un elemento  $$n+1$$ cuyo valor de sumatoria estará mas cerca del limite que el que has definido como anterior, luego no existe el previo o anterior al límite.

Por ejemplo, tenemos la función $$f(n)=\displaystyle\frac{1}{n}$$. Entonces, llamamos $$A$$ al conjunto de todas las soluciones de $$f(n)$$. Por tanto:

$$A=\left\{{1,\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{1}{3},...}\right\}$$. Su ordinal es $$w$$.

Creo has querido decir que

$$A=\left\{{1,\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{1}{3},...}\right\}$$.
 Su cardinal es $$\infty$$.  Sino, no le veo nada de lógica, es claro que en este caso cada elemento de $$A$$ esta relacionado biyectivamente con el numeral de su ordinal  $$A_i=1/w_i$$

Ahora podemos "pescar" el valor límite reordenando los elementos de A del siguiente modo:

$$A_{limite}=\left\{{1,\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{1}{3},...,0}\right\}$$. Y su ordinal es $$w+1$$

De nuevo los ordinales de los elementos de esta "serie" coinciden todos con la serie anterior, y no podrás asignar un ordinal finito al valor 0 que has agregado como límite de la serie.

Y podemos volver a reordenar A para obtener el valor límite +1:

$$A_{limite+1}=\left\{{1,\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{1}{3},...,\alpha,0}\right\}$$, siendo $$\alpha$$ el valor anterior al valor límite y su ordinal $$w+2$$.

Al contrario cualquier valor que pertenezca a la serie ya esta contado, los ordinales no crecen, lo que crecen son los cardinales cuando agregas elementos , no podemos ponernos a debatir si puede o no tener ordinal infinito menos 1 o mas 1, pero si eso te hace ruido , lo hacemos.

Entonces podemos generar el subconjunto $$C=\left\{{\alpha,0}\right\}: C\subset{A_{limite+1}}$$, que representa el intervalo $$[0,\alpha]$$, el cual ya no se puede dividir racionalmente. Y sin embargo contiene infinitos infinitesimales $$x|0<x<\alpha|x\not\in A_{limite+1}$$.

Yo entiendo lo que quieres decir porque estuve de ese lado, pero

Si buscas un elemento de la serie de ordinal $$w$$ finito , entre el valor numérico de ese elemento y el limite hay siempre infinitos elementos $$x$$ que cumplen dada la relación biyectiva $$n\leftrightarrows w$$ tales que $$1/n=1/w >1/x>0$$  No hay un ultimo, no puedes asignar un valor finito al ordinal correspondiente al limite.

Es decir $$\nexists \alpha \in \Bbb Q \ / \ 0<\alpha<1/n \ \forall n \in \Bbb N$$

Al menos eso creo haber entendido del entuerto. No tienes nunca el anterior al limite, siempre hay alguno  mas en medio.

Saludos

[RDC]

Creo que esto me servirá para repasar si entendí o no lo que me han estado explicando.

pongamos las cosas claras , o aclarenmelas...

Ordinal : es el numero que establece la posición de un elemento dentro de un conjunto.
Cardinal: es el numero resultado de contar todos los elementos de un conjunto.
Numeral: es el valor numérico incluido en un conjunto, con relación univoca a la posición indicada por su ordinal.
Ej: Dado $$A=\{5,6,4,9\}$$ Su cardinal es 4 , en el ordinal 2 tenemos al numeral 6.

EL ordinal no es exactamente así. El ordinal es un conjunto. Por ejemplo $$w$$ es el primer ordinal transfinito y expresa al conjunto de los naturales bien ordenado: $$w=\left\{{0,1,2,3,4,5,6,...}\right\}$$.

Piensa que en teoría de conjuntos se cuenta mediante biyecciones, no tomando los elementos uno a uno. Además, cabe destacar que el ordinal y el cardinal, para conjuntos finitos, van como de la mano: si dos conjunto finitos tienen el mismo cardinal, entonces tendrán el mismo ordinal de seguro. Pero en conjuntos transfinitos no, pues conjuntos que tienen el mismo cardinal pueden ser de ordinales diferentes.

¿Por qué? La suma es conmutativa, el orden de los sumandos no altera el resultado de la suma. Si dices que están todos los términos, pues se entiende que estan "todos" , estén o no ordenados.
Fíjate que la función que representa cada sumando es una relación biyectiva entre un numero natural y un elemento de la serie, puedes decir que relaciona su ordinal con el numeral de la serie, ten en cuenta que si arrancas a sumar desde el cero , el primer sumando justamente tiene primer numero ordinal es decir 1 en tu caso $$n=w-1$$ pero es anecdótico puedes escribir la serie de diversas maneras.

No sé si era eso lo que querías decir, pero en principio no existe el ordinal $$w-1$$ (no he entendido muy bien qué querías decir en esta última frase)

Entonces, el elemento del conjunto que representa el primer sumando ocupa la primera posición, por ser el primer elemento del conjunto. Esto se puede interpretar como que su ordinal es 1. Aunque el concepto de ordinal de un conjunto es más amplio que eso.

No, justamente si al conjunto le agregas un elemento al final, el orden de los anteriores no se altera, conservan el mismo w.

Técnicamente no le agrego un valor final, sin más. Lo que hago es lo siguiente:

Tomo, por ejemplo, el conjunto de los naturales $$\Bbb N=\left\{{0,1,2,3,4,5,6,7,...}\right\}$$. Su ordinal es $$w$$ por pura definición. Y cualquier conjunto que sin modificar el orden de sus elementos se pueden biyectar con él, también tendrá por ordinal $$w$$.

Ahora podemos desordenar el conjunto de los naturales de esta forma:

$$N_6=\left\{{0,1,2,3,4,5,7,8,...,6}\right\}$$. "Pescamos" el número seis y lo colocamos más allá de todos los demás elementos del conjunto. En realidad, por el axioma de extensionalidad el conjunto $$N_6$$ y $$\Bbb N$$ son el mismo conjunto, porque tienen exactamente los mismos elementos. Sin embargo el conjunto $$N_6$$ tiene por ordinal $$w+1$$, indicando, con ello, que no está tan bien ordenado como $$\Bbb N$$.

Cabe destacar, por tanto, que del conjunto de los naturales podemos "pescar" cualquiera de sus elementos y colocarlo más allá de todos los demás elementos, generando así un conjunto $$N_n$$ cuyo ordinal será mayor que el de los naturales. Será $$w+1$$.

En este sentido podemos generar $$N_n=\left\{{0,1,2,3,4,5,...,n}\right\}$$ siendo $$n$$ el valor más grande posible del conjunto. Hemos "pescado" el valor más grande de todos los naturales y lo colocamos más allá de todos los demás valores. Lo que ocurre, pero, es que $$n$$ no es un valor definido, porque la secuencia de todos los naturales no se aproxima a ningún valor concreto máximo cuando la analizamos "uno a uno". 

Ahora tomemos el conjunto de todos los sumandos de la serie de Euler, cuyo ordinal es $$w$$. Esta secuencia sí se aproxima a un valor concreto $$\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$$ cuando tomamos los elementos "uno a uno"; o hacemos suma parciales. Por tanto, aquí al "pescar" este valor límite sí tendremos un valor concreto y bien definido, $$\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$$ , y lo colocamos más allá de todos los elementos del conjunto, formando un nuevo conjunto que contiene los mismo elementos que el anterior, pero cuyo ordinal es mayor por estar más desordenado; en concreto su ordinal será $$w+1$$.

Si agregas un elemento que es el limite, pasan al menos 3 cosas,

1) El elemento que agregaste puede o no tener las mismas propiedades que los demás elementos que definieron la pertenencia al conjunto, cada elemento de la serie se corresponde con un valor racional, pero el que agregaste es irracional.

Buen punto. Sin embargo, el conjunto que formo con los sumandos de la serie de Euler, por ejemplo, lo defino precisamente como el conjunto de todos los sumandos de la serie de Euler. Esta definición no me exige, realmente, que sus elementos sean exclusivamente racionales. ¿no te parece? Sólo exige que sean la suma de los términos de la serie.

2) Entiendo que si nombras $$w$$ al ordinal del ultimo elemento del conjunto compuesto de la serie $$S_M$$ con la adición del limite como último elemento, ese ordinal debería coincidir con el cardinal del conjunto. Si el conjunto tiene infinitos elementos tanto cardinal como ordinal lo representas con $$\infty$$  puesto que $$\infty+1$$ sigue siendo $$\infty$$.

Varias cosas:

a) Como ya he dicho en conjuntos transfinitos dos conjuntos con el mismo cardinal pueden tener ordinales diferentes, muy diferentes. Por ejemplo, el conjunto de los naturales tiene un ordinal menor que el conjunto de los racionales, sin embargo ambos tienen el mismo cardinal.

b) Técnicamente $$w$$ no es el ordinal del último elemento del conjunto. $$w$$ indica el orden que muestra el conjunto de todos los naturales, y cualquier conjunto que podamos biyectar con él sin cambiar su orden, también será de ordinal $$w$$. Nada más.

Por ejemplo, el subconjunto de los naturales $$C=\left\{{5,6,7,8,9,10,...}\right\}$$ también tiene por ordinal $$w$$ o el conjunto de todos los números primos, dado que todos ellos se pueden biyectar con los naturales sin necesidad de reordenar sus elementos. En cambio, para biyectar los naturales con los racionales hay que reordenar de forma muy concreta los racionales para hacerlo (el típico cuadro de Cantor).

Por tanto, dicho todo esto, hablar de infinitos tal cual no parece tener mucho sentido, ni de últimos elementos, y cosas así. Aquí se toma el conjunto de los naturales como conjunto de referencia de todos los transfinitos, y a partir de él se valora, tanto el orden como el tamaño de tales conjuntos.

3) si cada elemento de la serie tenia una biyección con un numero natural, el limite no podrá estar en biyección con ningún natural ,los elementos de la serie los habrán usado todos, no puedes decir ya habrá más, para dárselo al elemento " limite"... así que ese elemento debes ordenarlo en alguna posición finita de la serie para que quede definido su ordinal. Ponerlo último es solo una decisión subjetiva pero contradictoria a la definición del conjunto, al menos para mi de ese modo no puedes definir el conjunto.

No entiendo muy bien este punto, si lo pudieras ejemplificar o especificar.

En cualquier caso, que el conjunto de todos los sumandos de la serie de Euler se pueda biyectar con los naturales simplemente significa que podemos enumerar cada sumación: primera sumación (1), segunda sumación (3/2), tercera sumación (49/36),... Y enumerando "una a una" las sumaciones no hay forma de hallar el valor $$\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$$. Lo único que podemos decir es que las sumaciones se aproximan a dicho valor. Ahora bien, es un elemento del conjunto de todos los sumandos de la serie de Euler. Es el elemento límite.   

Ya veía desafortunado la expresión del conjunto anterior ,menos esta. ¿Por qué?

Des del momento que podemos reordenar los elementos de un conjunto transfinito para convertirlo en un conjunto con un ordinal mayor todo esto parece viable: podemos "pescar" cualquiera de sus elementos y colocarlo más allá de todos los demás elementos.

Por todo lo que me explicaron en mi hilo https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=127203.0
No hay ningún elemento anterior al elemento limite que puedas definir, cuando fijes $$n$$ y halles su valor de sumatoria, existirá un elemento  $$n+1$$ cuyo valor de sumatoria estará mas cerca del limite que el que has definido como anterior, luego no existe el previo o anterior al límite.

Eso es cierto, pero sólo si te dedicas a contar los elementos "uno a uno" o mediante sumas parciales. Si cambias la forma de contar, esto no tiene porqué ser exactamente así ya que se está interpretando el objeto de forma muy diferente.

Por ejemplo, tenemos la función $$f(n)=\displaystyle\frac{1}{n}$$. Entonces, llamamos $$A$$ al conjunto de todas las soluciones de $$f(n)$$. Por tanto:

$$A=\left\{{1,\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{1}{3},...}\right\}$$. Su ordinal es $$w$$.

Creo has querido decir que

$$A=\left\{{1,\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{1}{3},...}\right\}$$.
 Su cardinal es $$\infty$$.  Sino, no le veo nada de lógica, es claro que en este caso cada elemento de $$A$$ esta relacionado biyectivamente con el numeral de su ordinal  $$A_i=1/w_i$$

No, para nada.

En teoría de conjuntos no existen cardinales infinitos. Los conjuntos transfinitos tienen cardinales muy bien definidos en base al conjunto de los naturales. El conjunto A claramente se puede biyectar con $$\Bbb N$$, por tanto su cardinal es $$\aleph_0$$. Y como no es necesario reordenar los elementos de A para establecer esta biyección, entonces el ordinal de A es $$w$$, es decir, el mismo ordinal que el de $$\Bbb N$$.

Ahora podemos "pescar" el valor límite reordenando los elementos de A del siguiente modo:

$$A_{limite}=\left\{{1,\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{1}{3},...,0}\right\}$$. Y su ordinal es $$w+1$$

De nuevo los ordinales de los elementos de esta "serie" coinciden todos con la serie anterior, y no podrás asignar un ordinal finito al valor 0 que has agregado como límite de la serie.

Es cierto que, en la práctica, el ordinal permite indexar la posición que toma cada elemento de un conjunto. Pero de forma general, al menos tal y como lo define Von Neumann:

1) El ordinal es un conjunto (es el conjunto de todos los ordinales menores).
2) $$w$$ es el primer ordinal transfinito y es el conjunto de todos los naturales:  $$\Bbb N=w$$
3) Cualquier conjunto que se pueda biyectar con $$w$$ sin reordenar sus elementos tiene por ordinal $$w$$.

Entonces, A tiene por ordinal $$w$$, porque se puede biyectar sin reordenar, con $$\Bbb N$$. Pero si se intenta biyectar el conjunto $$A_{limite}$$ con $$\Bbb N$$ sin reordenar sus elementos entocnes el elemento cuyo valor es 0 queda desparejado. Por tanto, el ordinal del conjunto $$A_{limite}$$ es $$w+1$$, pues todos sus elementos se pueden biyectar con $$\Bbb N$$, menos uno (el 0).

Ahora bien, ¿el elemento 0 está en A?

Sabemos que de la secuencia de valores dada por la función $$f(n)=1/n$$, el 0 es el valor límite. ¿El valor límite forma parte de la secuencia y por tanto, del conjunto A?

Siempre se ha defendido que en tales casos el valor límite no se encuentra en la secuencia, porque la secuencia no tiene un último valor. Tomando nuestro ejemplo, es muy incomodo pensar que dado $$A=\left\{{1,\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{1}{3},...}\right\}$$, el 0 estuviera ahí, en el final de la secuencia, cuando no hay un elemento final. Por tanto, lo cómodo es pensar que el 0 es el primer elemento del conjunto inmediatamente posterior. Entonces se dice que el conjunto A no tiene máximo, pero tiene supremo.

Ahora bien, según parece la teoría de conjuntos permitiría considerar que el 0 sí pertenece al conjunto A, como "elemento límite" del conjunto. Y podemos "pescar" este elemento reordenado el conjunto $$A$$. Entonces, el conjunto $$A$$ y el conjunto $$A_{limite}$$ son el mismo conjunto, pues tienen los mismos elementos, lo que ocurre es que no están igual de ordenados.

Al contrario cualquier valor que pertenezca a la serie ya esta contado, los ordinales no crecen, lo que crecen son los cardinales cuando agregas elementos , no podemos ponernos a debatir si puede o no tener ordinal infinito menos 1 o mas 1, pero si eso te hace ruido , lo hacemos.

¿De donde sacas eso?

Yo entiendo lo que quieres decir porque estuve de ese lado, pero

Si buscas un elemento de la serie de ordinal $$w$$ finito , entre el valor numérico de ese elemento y el limite hay siempre infinitos elementos $$x$$ que cumplen dada la relación biyectiva $$n\leftrightarrows w$$ tales que $$1/n=1/w >1/x>0$$  No hay un ultimo, no puedes asignar un valor finito al ordinal correspondiente al limite.

Es decir $$\nexists \alpha \in \Bbb Q \ / \ 0<\alpha<1/n \ \forall n \in \Bbb N$$

Al menos eso creo haber entendido del entuerto. No tienes nunca el anterior al limite, siempre hay alguno  mas en medio.

Saludos

Insisto, esto que dices es cierto. Pero sólo es cierto si nos limitamos a contar los elementos de una secuencia (o un conjunto) "uno a uno" o por partes.


Un saludo

[feriva]

Hola, RDC.

Hola feriva,

Hola, Richard.

El sumatorio que pones repite sumándos por eso llegas a un resultado equivocado.

No llego a ningún resultado, es un ejemplo de lo que pasa si se entiende “todo” n como algo terminado y donde no hay un orden de ningún tipo a la hora de entender la suma.

Planteas algo interesante, pero quizás debería tomarse de otro modo.

Si tenemos un sumatorio de infinitos términos:

a) lo podemos tratar mediante sumas parciales, que sólo nos indica si la suma converge hacia un valor o no.

n) Lo podemos tratar como la suma de todos los términos.

En este segundo caso, considerando la suma de todos los términos, no significa que sea algo terminado, sino que es algo completo: no le falta ningún elemento a sumar ni le sobre ningún elemento. Ahora bien, no hay una última suma. Por tanto, el orden de los sumandos debería de seguir siendo un factor importante.

RDC decía en cierto párrafo

Si el único procedimiento para contar que permitimos es el contar los elementos iterativamente, es decir, uno por uno (o por partes finitas de elementos), entonces sólo podemos hablar de convergencias y límites. Y carece de sentido hablar de "sumar todos los infinitos elementos de una serie".

La cuestión está en entender ese "todos"; pero en cualquier caso hay que contar de uno en uno o de varios en varios

Podemos sumarlos de dos maneras, de uno en uno o de ésta:

Ahí lo que tenemos son distintos valores ordenados así \( a,b,c,... \), primero, segundo, tercero... los cuales se van multiplicando en ese orden por \( 1 \) (si el lugar de orden que ocupa el elemento en la sucesión es impar) o se van multiplicando por -1 (si el lugar es par) Esto es así porque empieza desde n=0, con lo que \( (-1)^{0}=1 \), y no consideramos el primer lugar como “lugar cero”, sino como lugar 1, por tanto, la serie empieza por un número positivo en lugar de orden impar.

A partir de eso, podemos sumar primero todos los que ocupan lugar impar; sumar después, en valor absoluto, todos los que ocupan lugar par; y, finalmente, restar esta última suma a la anterior.

Aún así, tenemos primero una suma y después otra, no es posible considerar “todo” al mismo tiempo.

Saludos.

Estoy de acuerdo que cuando tenemos una secuencia de infinitos elementos hay que establecer qué significa  "sumar todos estos elementos". Y hagamos lo que hagamos, la nueva operación deberá conservar ciertas propiedades que ya tenemos cuando sumamos la secuencia "uno a uno", pero a la vez, debrá precisarnos más cosas.

Antes de nada, tienes que tener en cuenta que eso que he dicho es teórico, se refiere a “si pudiéramos sumar”, en plan supertarea, es teórico-imposible, con eso no se podría hallar el valor de la serie.

Todos los sumandos positivos son éstos

\( 1,\dfrac{1}{5},\dfrac{1}{9},\dfrac{1}{13}... \)

que tomando “n” desde 1 para la sumatoria, en vez de desde cero, tendríamos

\( 1+{\displaystyle \sum_{n=1}^{n\rightarrow\infty}=\dfrac{1}{1+4n}} \)

Y la sumotaria de los sumandos negativos sería ésta

\( \dfrac{1}{3},\dfrac{1}{7},\dfrac{1}{11}... \)

o sea, empezando desde n=0 en este caso, desde n=1  la puedes escribir así.

\( {\displaystyle 1/3+\sum_{n=0}^{n\rightarrow\infty}=\dfrac{1}{3+4n}} \)

Pero esas series divergen, en la práctica no se puede hacer, porque nos quedamos como estábamos, sin saber nada, dado que infinito-infinito es una indeterminación.

...

Aparte, en mi opinión, aquí no tiene sentido considerar ordinales transfinitos. En todo caso sólo habría uno, el w, que además no aparecería directamente, porque “n” no aparece directamente en la sumatoria, no son ésos los términos, no son los naturales.

Saludos.

[Richard R Richard]

No sé si era eso lo que querías decir, pero en principio no existe el ordinal $$w-1$$ (no he entendido muy bien qué querías decir en esta última frase)

He leído un poco y ahora entiendo que w-1 no existe, pero No, no era eso lo que quería decir.
En realidad me referia a que cuando planteaste

$$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{(-1)^n}{2n+1}}=\displaystyle\frac{\pi}{4}$$

Como el sumatorio de todos los elementos de una serie, el primer elemento de ese conjunto lo obtuviste con $$n=0$$ , el ordinal del conjunto está adelantado en 1 con respecto al natural ordenado con el que calculas cada elemento de la serie. Es como si pudieras establecer una relación entre el ordinal al que llamas $$x$$ con el número natural con el que calcular la función, entonces $$x=n+1$$  dejo a $$w$$ para referirme a los ordinales transfinitos.

Pero ya que estamos te comento que si sumas en un orden diferente los elementos de esta serie, entonces el resultado difiere porque es una serie condicionalmente convergente, puedes ver otro ejemplo de ello en https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Riemann_(series)#Ejemplo:_serie_arm%C3%B3nica

Técnicamente no le agrego un valor final, sin más. Lo que hago es lo siguiente:

Tomo, por ejemplo, el conjunto de los naturales $$\Bbb N=\left\{{0,1,2,3,4,5,6,7,...}\right\}$$. Su ordinal es $$w$$ por pura definición. Y cualquier conjunto que sin modificar el orden de sus elementos se pueden biyectar con él, también tendrá por ordinal $$w$$.

Ahora podemos desordenar el conjunto de los naturales de esta forma:

$$N_6=\left\{{0,1,2,3,4,5,7,8,...,6}\right\}$$. "Pescamos" el número seis y lo colocamos más allá de todos los demás elementos del conjunto. En realidad, por el axioma de extensionalidad el conjunto $$N_6$$ y $$\Bbb N$$ son el mismo conjunto, porque tienen exactamente los mismos elementos. Sin embargo el conjunto $$N_6$$ tiene por ordinal $$w+1$$, indicando, con ello, que no está tan bien ordenado como $$\Bbb N$$.

Cabe destacar, por tanto, que del conjunto de los naturales podemos "pescar" cualquiera de sus elementos y colocarlo más allá de todos los demás elementos, generando así un conjunto $$N_n$$ cuyo ordinal será mayor que el de los naturales. Será $$w+1$$.

Ok, así puedes pescar cualquier elemento de la serie, todos los elementos posteriores a ese elemento estarán desordenados y el ordinal al colocarlo al final es $$w+1$$ , pero $$\pi/4$$ o $$\pi^2/6$$ no son elemento de sus respectivas series , por lo que la serie no se desordena, aunque el ordinal de ese límite colocado en la serie será w+1 tambien.

En este sentido podemos generar $$N_n=\left\{{0,1,2,3,4,5,...,n}\right\}$$ siendo $$n$$ el valor más grande posible del conjunto. Hemos "pescado" el valor más grande de todos los naturales y lo colocamos más allá de todos los demás valores. Lo que ocurre, pero, es que $$n$$ no es un valor definido, porque la secuencia de todos los naturales no se aproxima a ningún valor concreto máximo cuando la analizamos "uno a uno".

Creo que te refieres a hacernos la idea que traes el fondo al mayor de los naturales "que no existe"  y cuya posición sería w , lo sacas fuera y lo pones en posición w+1 , bueno siempre existe n+1, así que cuando lo hagas el conjunto quedara desordenado para todos lo valores mayores a n, puesto que si fijas n , siempre hay un n+1 mayor, y si quieres que sea el mayor no puedes fijar n,( me parece que tienes que tomar parte por alguna de las forma de verlo), además la cantidad de elementos que hay entre n fijado y el que se ubique en posición w será infinita, no será contiguo de modo alguno, si a eso te referías.

Ahora tomemos el conjunto de todos los sumandos de la serie de Euler, cuyo ordinal es $$w$$. Esta secuencia sí se aproxima a un valor concreto $$\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$$ cuando tomamos los elementos "uno a uno"; o hacemos suma parciales. Por tanto, aquí al "pescar" este valor límite sí tendremos un valor concreto y bien definido, $$\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$$ , y lo colocamos más allá de todos los elementos del conjunto, formando un nuevo conjunto que contiene los mismo elementos que el anterior, pero cuyo ordinal es mayor por estar más desordenado; en concreto su ordinal será $$w+1$$.

No, no hay ningún elemento de la serie, ni ningún resultado con n finito del sumatorio que sea igual a $$\pi^2/6$$ por lo que no lo puedes extraer , solo podras incorporarlo como un elemento mas  arbitrariamente elegido porque tu lo has decidido.Entre el ultimo elemento calculado con n finito y el limite de la serie siempre habra infinitos elementos de la serie que aproximen sin nunca llegar al valor del límite.

Si agregas un elemento que es el limite, pasan al menos 3 cosas,

1) El elemento que agregaste puede o no tener las mismas propiedades que los demás elementos que definieron la pertenencia al conjunto, cada elemento de la serie se corresponde con un valor racional, pero el que agregaste es irracional.

Buen punto. Sin embargo, el conjunto que formo con los sumandos de la serie de Euler, por ejemplo, lo defino precisamente como el conjunto de todos los sumandos de la serie de Euler. Esta definición no me exige, realmente, que sus elementos sean exclusivamente racionales. ¿no te parece? Sólo exige que sean la suma de los términos de la serie.

No no me parece, cada elemento de las series que me presentaste era un numero racional, la suma de racionales da por resultado otro racional, nunca un irracional, es por eso que nunca la serie podrá tomar el valor irracional del limite para un n finito.

$$\displaystyle\sum_{i=0}^n{\displaystyle\frac{(-1)^i}{2i+1}}=\dfrac{A}{B} \quad \in \Bbb Q$$

el elemento $$n+1$$ de la serie es $$\displaystyle\frac{(-1)^{n+1}}{2(n+1)+1} \quad \in \Bbb Q$$

si lo incorporo a la serie de los elementos de la sumatoria

$$\displaystyle\sum_{i=0}^{n+1}{\displaystyle\frac{(-1)^i}{2i+1}}=\dfrac{A}{B}+\dfrac{(-1)^{n+1}}{2(n+1)+1}=\dfrac{(-1)^{n+1}B+(2(n+1)+1)A}{B(2(n+1)+1)} \quad \in \Bbb Q \checkmark$$

Por inducción puedes comprobar que todos los elementos de la serie los términos de la sumatoria con n finito, como los de la serie de los resultados de la sumatoria, son todos racionales.

Para que los términos sean irracionales debes poner en juego una función que los cree, las potencias de -1, con el denominador lineal a n , no crean ningún número irracional en toda la serie, la funcion del problema de Basilea tampoco.

2) Entiendo que si nombras $$w$$ al ordinal del ultimo elemento del conjunto compuesto de la serie $$S_M$$ con la adición del limite como último elemento, ese ordinal debería coincidir con el cardinal del conjunto. Si el conjunto tiene infinitos elementos tanto cardinal como ordinal lo representas con $$\infty$$  puesto que $$\infty+1$$ sigue siendo $$\infty$$.

Varias cosas:

a) Como ya he dicho en conjuntos transfinitos dos conjuntos con el mismo cardinal pueden tener ordinales diferentes, muy diferentes. Por ejemplo, el conjunto de los naturales tiene un ordinal menor que el conjunto de los racionales, sin embargo ambos tienen el mismo cardinal.

b) Técnicamente $$w$$ no es el ordinal del último elemento del conjunto. $$w$$ indica el orden que muestra el conjunto de todos los naturales, y cualquier conjunto que podamos biyectar con él sin cambiar su orden, también será de ordinal $$w$$. Nada más.

Si ahora ayornado.

En cualquier caso, que el conjunto de todos los sumandos de la serie de Euler se pueda biyectar con los naturales simplemente significa que podemos enumerar cada sumación: primera sumación (1), segunda sumación (3/2), tercera sumación (49/36),... Y enumerando "una a una" las sumaciones no hay forma de hallar el valor $$\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$$. Lo único que podemos decir es que las sumaciones se aproximan a dicho valor. Ahora bien, es un elemento del conjunto de todos los sumandos de la serie de Euler. Es el elemento límite. 

Observa que ahora dices que $$\pi^2/6$$ no esta n las sumaciones, cuando antes querías hallarlo y ponerlo al último. Algo hay contradictorio entre esto y lo que decias.

Des del momento que podemos reordenar los elementos de un conjunto transfinito para convertirlo en un conjunto con un ordinal mayor todo esto parece viable: podemos "pescar" cualquiera de sus elementos y colocarlo más allá de todos los demás elementos.

Sí, con el objetivo de?

Eso es cierto, pero sólo si te dedicas a contar los elementos "uno a uno" o mediante sumas parciales. Si cambias la forma de contar, esto no tiene porqué ser exactamente así ya que se está interpretando el objeto de forma muy diferente.

Es lo que intento decirte al inicio de este mensaje.

1) El ordinal es un conjunto (es el conjunto de todos los ordinales menores).
2) $$w$$ es el primer ordinal transfinito y es el conjunto de todos los naturales:  $$\Bbb N=w$$
3) Cualquier conjunto que se pueda biyectar con $$w$$ sin reordenar sus elementos tiene por ordinal $$w$$.

Entonces, A tiene por ordinal $$w$$, porque se puede biyectar sin reordenar, con $$\Bbb N$$. Pero si se intenta biyectar el conjunto $$A_{limite}$$ con $$\Bbb N$$ sin reordenar sus elementos entonces el elemento cuyo valor es 0 queda desparejado. Por tanto, el ordinal del conjunto $$A_{limite}$$ es $$w+1$$, pues todos sus elementos se pueden biyectar con $$\Bbb N$$, menos uno (el 0).

No. tanto el conjunto $$A_0$$ (con el cero al final) como el $$A_{limite}$$ son numerables, es decir puedes hacer una biyección con $$\Bbb N$$, y concluir que su ordinal es w+1 en ambos casos, si no hay biyección con los naturales no son numerables y lo son hasta $$2^w$$

Ahora bien, ¿el elemento 0 está en A?

Sï y en $$A_0$$ tambien pero al final.

Edito Me parece que pensé esto para otro conjunto. mas abajo lo aclaro

Sabemos que de la secuencia de valores dada por la función $$f(n)=1/n$$, el 0 es el valor límite. ¿El valor límite forma parte de la secuencia y por tanto, del conjunto A?

Pero esa serie  empieza en 1 no en 0, si el conjunto de elementos que compone la serie  esa formado por los resultados de la función $$1/n$$  el $$1/0$$ no está en la serie,
lo defines como
$$A=\left\{{1,\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{1}{3},...}\right\}$$ con cardinal $$\aleph_0$$ el ordinal sería $$w$$.
Si incorporas el límite arbitrariamente(porque tu lo decides) al final, el cardinal no cambia y el "ordinal del cero" es $$w+1$$ , la única diferencia con lo dicho anteriormente que este límite es racional.

Siempre se ha defendido que en tales casos el valor límite no se encuentra en la secuencia, porque la secuencia no tiene un último valor. Tomando nuestro ejemplo, es muy incomodo pensar que dado $$A=\left\{{1,\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{1}{3},...}\right\}$$, el 0 estuviera ahí, en el final de la secuencia, cuando no hay un elemento final.

No creo que nadie diga lo contrario.

Por tanto, lo cómodo es pensar que el 0 es el primer elemento del conjunto inmediatamente posterior. Entonces se dice que el conjunto A no tiene máximo, pero tiene supremo.

Esa conclusión es tuya. Yo no te la puedo rebatir ni asentir, mi impresión por la primer oración me parece no ser acertada y de eso no puedes extraer las conclusiones que sacas.

Ahora bien, según parece la teoría de conjuntos permitiría considerar que el 0 sí pertenece al conjunto A, como "elemento límite" del conjunto. Y podemos "pescar" este elemento reordenado el conjunto $$A$$. Entonces, el conjunto $$A$$ y el conjunto $$A_{limite}$$ son el mismo conjunto, pues tienen los mismos elementos, lo que ocurre es que no están igual de ordenados.

Al cero no lo puedes pescar en la serie porque en los naturales no hay un numero n talque 1/n=0.

Al contrario cualquier valor que pertenezca a la serie ya esta contado, los ordinales no crecen, lo que crecen son los cardinales cuando agregas elementos , no podemos ponernos a debatir si puede o no tener ordinal infinito menos 1 o mas 1, pero si eso te hace ruido , lo hacemos.

¿De donde sacas eso?

Olvidalo, no había entendido bien lo que decias.

Saludos

[feriva]

Como el sumatorio de todos los elementos de una serie, el primer elemento de ese conjunto lo obtuviste con $$n=0$$ , el ordinal del conjunto está adelantado en 1 con respecto al natural ordenado con el que calculas cada elemento de la serie. Es como si pudieras establecer una relación entre el ordinal al que llamas $$x$$ con el número natural con el que calcular la función, entonces $$x=n+1$$  dejo a $$w$$ para referirme a los ordinales transfinitos.

Pero ya que estamos te comento que si sumas en un orden diferente los elementos de esta serie, entonces el resultado difiere porque es una serie condicionalmente convergente, puedes ver otro ejemplo de ello en https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Riemann_(series)#Ejemplo:_serie_arm%C3%B3nica

Ahora que dices eso, Richard, no sé por qué había anotado así las sumatorias, sacando los primeros términos fuera, si es lo mismo que empezar desde cero y escribirlo así

\( {\displaystyle \sum_{n=0}^{n\rightarrow\infty}=\dfrac{1}{1+4n}} \)

\( {\displaystyle \sum_{n=0}^{n\rightarrow\infty}=\dfrac{1}{3+4n}} \)

En cuanto al orden, sí, en general no se puede, no tiene por qué dar lo mismo. Pero en este caso (si no fuera porque es una indeterminación) sí se podría; fíjate en que sería lo mismo, en que están bien asociados los términos. De hecho, sirve para aproximar el valor: si restas las dos series en un rango de cero hasta n=10000 con el ordenador, verás que el valor se aproxima mucho; a mí me sale 0.785385663397 y el valor auténtico es 0.78539...

Pero está muy bien que lo hayas dicho, para que RDC vea que no se puede considerar sumar "todo" sin orden o sin pies ni cabeza.

Saludos.