Buenas a todos,
Estoy intentando probar que si un par \( (X,A) \) tiene la propiedad de extensión de homotopía (PEH) entonces \( (X\times [0,1],A\times [0,1]) \) también lo tiene.
Por las dudas, la definición es la siguiente:
Definición
Sea \( X \) un espacio topológico y \( A\subset X \), decimos que el par \( (X,A) \) tiene la PEH si para cualquier par de mapas:
\( \begin{cases}
f : X\times \{0\} \to Y \\
F : A\times [0,1] \to Y
\end{cases} \)
tales que \( F|_{A\times \{0\}} = f|_{A\times \{0\}} \) existe un mapa \( \widetilde{F}:X\times [0,1]\to Y \) de forma que extienda a \( f \) y \( F \).
Ahora, para la prueba ya tengo el siguiente resultado previo:
Proposición: Un par \( (X,A) \) tiene la PEH si y sólo si existe una retracción de \( X\times [0,1] \) sobre \( X\times\{0\} \cup A\times [0,1] \).
Mi idea entonces era ver que \( X\times[0,1]\times [0,1] \) retrae sobre \( X\times [0,1] \times \{0\} \cup A\times [0,1]\times [0,1] \), pero como \( (X,A) \) tiene la PEH usando nuevamente la proposición anterior tenemos una retracción \( r:X\times [0,1] \to X\times\{0\}\cup A\times [0,1] \). Solo me estaría faltando ver que \( (X\times\{0\}\cup A\times [0,1]) \times [0,1] \cong X\times [0,1] \times \{0\}\cup A\times [0,1] \times [0,1] \) así luego podría considerar \( r\times \text{id}_{[0,1]} \) y tendremos la retracción buscada, pero esto último no me esta saliendo (el homeomorfismo).
Cualquier ayuda es bienvenida.
Saludos,
Franco.
