Hola
Sea \( A=\{1,2,3,4\} \) y \( R_1 \) y \( R_2 \) dos relaciones en \( A \) tales que \( R_1=\{(x,y)\in A\times A: x+y\in A \vee x-y \in A \} \) y \( R_2 \) tiene por matriz a \( \begin{bmatrix}{1}&{0}&{1}&{1}\\
{0}&{1}&{0}&{1}\\
{1}&{0}&{1}&{0}\\
{0}&{0}&{1}&{1}
\end{bmatrix} \). Determinar las matrices de \( R_1\cap R_2 \) y \( R_1\circ R_2 \), y usarlas para escribir \( R_1\cap R_2 \) y \( R_1\circ R_2 \) por extensión.
Hola, como están. Tengo este problema de relaciones que apareció en un examen de Matemática Discreta. Le di varias vueltas recuerdo, pero no entendí cómo escribir la matriz de la relación \( R_1. \) En este problema se asume que las matrices de \( R_1 \) y de \( R_2 \) son booleanas.
La matriz de una relación \( R \) en un conjunto ordenado \( \{a_1,a_2,\ldots,a_n\} \) es la que tiene un uno en la fila \( i \), columna \( j \) si \( (a_i,a_j)\in R \).
Los pares de la relación \( R_1 \) son:
\( (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3) \)
Por tanto la matriz de la misma es:
\( M(R_1)=\begin{pmatrix}1 & 1& 1 &0\\ 1&1&0&0\\ 1&1&0&0\\ 1&1&1&0\\\end{pmatrix} \)
De los resultados vistos en clase sabemos que \( M(R_1)\cdot M(R_2)=M(R_1\cap R_2). \) Gracias por la ayuda.
Ojo, porque eso es así pero no con el producto de matrices usual. Yo escribiría:
\( M(R_1)* M(R_2)=M(R_1\cap R_2). \)
donde ese producto consiste en simplemente multiplicar término a término las dos matrices, es decir:
\( M(R_1\cap R_2)_{i,j}=M(R_1)_{i,j}\cdot M(R_2)_{i,j} \)
Saludos.
Muchas gracias Luis por la ayuda
.
Resolví y entendí la primera parte del problema, pero aún sigo sin entender lo de la matriz de la composición de dos relaciones
, y cómo escribir estas relaciones por extensión, no estoy 100% seguro de mi respuesta.
Bueno, la primera parte del problema lo explico así, al ser \( x+y\in A=\{1,2,3,4\} \) y \( x-y\in A=\{1,2,3,4\} \), buscamos todos los pares ordenados que cumplan con la primera condición. Por ejemplo, claramente el par \( (1,4) \) no está en la relación, porque \( 1+4=5\notin A \). Ahora, para la segunda condición, razonamos de forma similar, por ejemplo, el par \( (2,4) \) no está en la relación, porque \( 2-4=-2\notin A \). Así, haciendo todas las combinaciones posibles que cumplan con las condiciones dadas, se tiene que
\( R_1=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3) \} \).
Ahora, para hallar la matriz booleana de \( R_1 \) nos fijamos en que esta matriz sólo contiene \( 1 \)s y \( 0 \)s. Entonces, para construir dicha matriz vemos qué pares ordenados de la relación \( R_1 \) pertenecen necesariamente a la relación, entonces, si el par ordenado pertenece, ponemos un \( 1 \), en caso contrario rellenamos las filas y columnas con ceros. Así,
\( M(R_1)=\begin{bmatrix}{1}&{1}&{1}&{0}\\
{1}&{1}&{0}&{0}\\
{1}&{1}&{0}&{0}\\
{1}&{1}&{1}&{0}
\end{bmatrix} \)
Luego,
\( M(R_1\cap R_2)=M(R_1)*M(R_2) \)
\( \begin{bmatrix}{1}&{1}&{1}&{0}\\
{1}&{1}&{0}&{0}\\
{1}&{1}&{0}&{0}\\
{1}&{1}&{1}&{0}
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
{1}&{0}&{1}&{1}\\
{0}&{1}&{0}&{1}\\
{1}&{0}&{1}&{0}\\
{0}&{0}&{1}&{1}
\end{bmatrix}=\begin{pmatrix}
{2}\\
{1}\\
{1}\\
{2}
\end{pmatrix} \)
PD.: Espero sus acotaciones, muchas gracias desde ya.
