Es que \( f \) no tiene por qué ser \( \mu \)-integrable, lo que es, es medible. Por ejemplo: la medida dada por \( d\nu :=f\cdot d\lambda \) en la recta real, donde \( \lambda \) es la medida de Lebesgue y \( f=2 \), es una medida que es trivialmente absolutamente continua respecto a la medida de Lebesgue, y su derivada de Radon-Nikodym es justamente \( f \), la cual no es integrable respecto a la medida de Lebesgue.
Lo que pasa es que si \( \nu \) fuese una medida compleja finita en \( \mathbb{R} \) y \( \nu \ll \mu \) entonces como va a ser que \( d\nu =f\,d \mu \) para alguna función \( f \) tal que \( \nu (\mathbb{R})=\int_{\mathbb{R}}f\,d \mu <\infty \), entonces \( f \) es \( \mu \)-integrable, ya que de otro modo la integral \( \int_{\mathbb{R}}f\,d \mu \) no estaría definida. Dicho de otro modo: la expresión \( \int f \,d \mu \) no está definida si \( \int |f|\,d \mu =\infty \) (exceptuando el caso en el que \( f=|f| \) o situaciones parecidas, claro).
