Hola
Richard R Richard: esta vez te voy a responder globalmente en lugar de citar párrafo por párrafo (aunque en algún momento si pueda aludir a alguna frase en concreto).
Como resumen: me parece que crees que te decimos cosas que NO te estamos diciendo; creo que en este punto el problema es sólo de lenguaje; entiendes mal (y de manera extraña) el uso de "para todo".
Entonces:
1) Nosotros decimos que NO existe un \( x>0 \) número real cumpliendo que: \( x\in [0,1/n] \) para todo \( n\in \Bbb N \).
2) Eso significa EXACTAMENTE lo mismo que esto otro que has escrito aquí:
gracias, yo reescribiría la frase del siguiente modo, dando por entendido que comprendo lo que me expresas, ahora y antes también ," para cualquier $$x$$ que defina entre $$0<x<1$$ siempre hallaré un $$n \in \Bbb N$$ tal que $$1/n$$ sea menor que ese $$x$$" luego ningún x es menor que 1/n para todo n. Supongo que expresan la misma cuestión de fondo.[/size]
3) Entonces si (2) no te causa problemas de comprensión, (1) no debería de causártelos tampoco. Y si te los causa es porque estás entendiendo mal (1), es un problema de lenguaje, no de matemáticas.
4) Entonces mi sensación es que te lías con la interpretación de "para todo".
5) Si yo planteo
¿Existe un \( x>0 \) tal que que \( x\in [0,1/n] \) para todo \( n\in \{1,2,3,4,5,6\} \)?
Entonces estoy planteando si existe un \( x>0 \) que cumpla
al mismo tiempo seis condiciones distintas:
\( x\in [0,1/1],\quad x\in [0,1/2],\quad x\in [0,1/3],\quad x\in [0,1/4],\quad x\in [0,1/5],\quad x\in [0,1/6] \)
En este caso la respuesta sería afirmativa. Por ejemplo \( x=1/10 \) cumple esas seis condiciones a la vez.
Y fíjate que no tiene sentido hablar del "intervalo \( [0,1/n] \) para todo \( n\in \{1,2,3,4,5,6\} \)", como si fuese un sólo intervalo. NO Me estoy refiriendo a SEIS intervalos distintos. Y más en concreto estoy exigiendo a \( x \) que cumpla SEIS condiciones diferentes al mismo tiempo. 6) Si yo planteo
¿Existe un \( x>0 \) tal que que \( x\in [0,1/n] \) para todo \( n\in \Bbb N \)?
Entonces estoy planteando si existe un \( x>0 \) que cumpla
al mismo tiempo infinitas condiciones distintas:
\( x\in [0,1/1],\quad x\in [0,1/2],\quad x\in [0,1/3],\quad x\in [0,1/4],\quad x\in [0,1/5],\quad x\in [0,1/6]\quad \ldots \)
Esos puntos suspensivos indican que las condiciones seguirían recorriendo todos los intervalos \( [0,1/n] \) con \( n \) recorriendo todos los números naturales (nada que ver con \( n=\infty \)).
En este caso la respuesta sería negativa. El motivo lo explicas tu en la cita que puse en (2).
Y fíjate que no tiene sentido hablar del "intervalo \( [0,1/n] \) para todo \( n\in \Bbb N \)", como si fuese un sólo intervalo. NO Me estoy refiriendo a INFINITOS intervalos distintos. Y más en concreto estoy exigiendo a \( x \) que cumpla INFINITAS condiciones diferentes al mismo tiempo. (nada que ver con exigir o suponer que \( n=\infty \)).
7) Y ahora voy a intentar entrar en tu psicología y ver donde puede estar tu confusión. Quizá acierte quizá no. Me parece que cuando dices cosas como estas:
...Creo ver la misma lógica para decir que no existe x como para decir que [0,1/N] esta colmado de reales para todo N...
Es como si te refirieses a \( [0,1/N] \) para todo \( N \) como
un sólo intervalo; cuando como te he dicho no es así. Esa coletilla de "para todo N", se refiere a que exigimos a ese \( x \) que pertenezca al mismo tiempo a infinitos intervalos, distintos. Es decir no hablamos de un sólo intervalo sino de muchos.
Es más, aisladamente decir: \( [0,1/N] \) para dodo \( N\in \Bbb N \) no significa nada.
Algo parecido cuando me respondes:
Si no hay máximo para $$N$$ no hay mínimo para $$1/N$$ y por debajo de él nunca se alcanzará el cero, entonces para mi siempre hay números racionales e irracionales en medio ..
¿En medio de qué.? Completa la frase.
En medio del $$0$$ y $$1/N$$.
Ese \( 1/N \) es un número concreto, para un valor concreto de \( N \).
No tiene sentido aisladamente hablar de \( 1/N \) para todo \( N\in \Bbb N \).
Cosa distinta es hablar de si existe un \( x \) cumpliendo \( 0<x<1/N \) para todo \( N\in \Bbb N \). Pero como antes esto es una forma resumida de exigir a \( x \) infinitas condiciones; es decir ahí no interviene un sólo valor de \( N \) sino infinitos valores.
Y aquí cuando planteas esto más de lo mismo:
[/size] No hay ningún intervalo de longitud mayor a cero que no esté lleno de racionales se irracionales.
Pero eso es lo que te pedía me afirmes, y algo que ya sabía... pero por las dudas...., si ese intervalo puede ser cualquiera de todos los que me pones en lista con extremos en $$0$$ y $$1/N$$ para todo N finito y si esos intervalos no están vacíos (hay racionales e irracionales en su interior) porque dicen que no puedo definir un $$x$$ que esté en todos los intervalos definidos con 1/N? Ahora es mas clara la pregunta?porque la reciproca tambien es cierta para mí. Es claro que ni tu ni yo vemos a N como infinito , por lo que $$1/N >0$$ , si como intuyo se dirá que N no tiene limite , pues mi x tampoco y si N existe y es finito pues mi x también existe.
Ahí de repente en lo rojo parece que te piensas a \( N \) como un sólo valor; o en todo caso que exigimos a \( x \) una sola condición; pero no como te he repetido a lo largo de todo este mensaje estamos exigiendo a \( x \) que cumpla al mismo tiempo infinitas condiciones; y lo que afirmamos es que no existe un \( x \) cumpliendo al mismo tiempo esas infinitas condiciones.
Y rescato esta frase también de ese párrafo:
porque dicen que no puedo definir un $$x$$ que esté en todos los intervalos definidos con 1/N?
Lo dices tu también cuando afirmas esto:
gracias, yo reescribiría la frase del siguiente modo, dando por entendido que comprendo lo que me expresas, ahora y antes también ," para cualquier $$x$$ que defina entre $$0<x<1$$ siempre hallaré un $$n \in \Bbb N$$ tal que $$1/n$$ sea menor que ese $$x$$" luego ningún x es menor que 1/n para todo n. Supongo que expresan la misma cuestión de fondo.[/size]
Saludos.
