[geómetracat]

Hola geometracat te agradezco las aclaraciones creo me voy formando idea.


Voy a reiterar tus líneas  pero como un natural es un real y yo necesito antagonismo entre conjuntos numerables Q y no numerables I , las uso como base para plantear si se cumple o no lo que pondré en azul.

Una: dado cualquier \( I \) irracional existe un natural \( n>I \). VERDAD

Una': dado cualquier \( n \) natural existe un irracional \( I>n \). VERDAD

Dos: existe un natural que es mayor que cualquier irracional. FALSO

Dos': existe un irracional que es mayor que cualquier natural. FALSO

O

Una: para todo \( I \) irracional existe un natural \( n>I \). VERDAD

Una': para todo \( n \) natural existe un irracional \( I>n \). VERDAD

Dos: existe un \( N \) natural tal que para todo irracional \( r \) se cumple \( N>r \). FALSO

Dos': existe un \( I \) irracional tal que para todo natural \( n \) se cumple \( I>n \). FALSO

Fíjate en la diferencia: en la primera versión si tú me das un real puedo encontrar un natural que sea mayor. Pero ese natural va a depender del real que me des. Por ejemplo, si me dices \( \pi \), yo te digo que \( 4 > \pi \). Pero si me dices \( 2\pi \) ya no te puedo decir que \( 4>2\pi \) porque es falso. Pero sigue siendo cierto que hay un natural mayor, por ejemplo \( 10>2\pi \).
En cambio la segunda versión querría decir que hay un natural fijo \( n \) que es mayor que cualquier real. Esto es claramente falso, porque si existiera, como todo natural también es un real, tendrías que tener por ejemplo \( n > n+1 \), absurdo.

La explicación que encuentro a la falsedad de los enunciados Dos está en que Una' es verdadero y la que Dos' es falsa en que Una es verdadera.
 

Pero lo que no existe es un \( r \) irracional que cumpla \( 0<r<1/n \) para todo \( n \).

 
Del mismo modo podría decir para los racionales $$q=1/n$$ sería

Pero lo que no existe es un \( r \) irracional que cumpla \( 0<r<q \) para todo \( 1/q \).

Si hay reciprocidad debe darse que

Pero lo que no existe es un \( q \) racional que cumpla \( 0<q<r \) para todo \( 1/r \).

Con esto quiero decir que se aplica la misma lógica, si cumple de una forma de la otra debería también y si no se cumple quiero saber por qué?

Sí, todo lo que dices está esencialmente bien. Aunque me parece una forma un poco rara de enunciarlo lo de "para todo \( 1/r \)". Yo diría simplemente:
Para todo irracional \( r>0 \) existe un racional \( q \) tal que \( 0<q<r \).
Pero no existe ningún racional \( q \) tal que \( 0<q<r \) para todo \( r>0 \).

Y en varios sitios esgrimes que habría que repetir racionales. Pero esa es la clave...¡claro que hay qué repetir racionales!.

Pero es que si los repites no estas construyendo mi tabla, será otra, pero no la que te propongo.
En mi lista cada racional esta una sola vez, olvídate del orden depende de $$f$$ , 
para los irracionales los escojo al azar y voy los pongo intercalados entre  cada par racionales (anterior-siguiente) que haya listado dentro de la lista entera, exhaustivamente , tengo la misma cantidad de racionales intercalados con irracionales.
Luego elijo otro irracional al azar $$I_x$$ y lo quiero incorporar intercalado en la lista sin crear una alteración del patrón alternado, ¿Se puede ? ¿No, no?
Bien, ahora aún así lo ponemos en una posicion $$i$$  tienes $$...,Q_i,I_i, I_x,Q_{i+1},I_{i+1},... $$
ahora lo que quiero es que pongas un racional cualquiera al azar, colocada entre la posición de $$I_i$$ y la de $$I_x,$$, con una sola regla que el que escojas,  no se repita con ninguno de los que ya están en la lista , lo mismo que sucedía cuando Cantor encontró aquel que no estaba en su lista. ¿Existe un racional que cumpla? , para mi no, porque la lista de los racionales que hice fue exhaustiva, estaban todos los racionales, luego creo que mi lista "demuestra" lo mismo que la de Cantor , sigue la misma lógica , a eso el titulo del hilo,  es decir que  hay sobreyectividad, por eso me suena raro y me lleva a concluir que podría haber intervalos de irracionales entre racionales. Se entiende que busco el fundamento de por qué estoy equivocado y no que pretendo de modo alguno hacer nueva matemática.

No estás equivocado en nada. Tu único problema es que de alguna forma crees que este montaje está en contradicción con la densidad de los racionales, y no es así.

Veamos, te montas tu lista enumerando de forma exhaustiva los racionales:
$$Q_1, Q_2,Q_3,... $$
Es muy importante para todo lo que sigue notar que los racionales no van a estar en el orden usual de \( \Bbb R \). Ahora, para cada par de racionales, eliges un irracional entre ellos (en el orden usual de \( \Bbb R \)) y los pones en medio en la lista:
$$Q_1, I_1, Q_2, I_2, Q_3, I_3,... $$
Bien. Ahora dices: hay irracionales que no aparecen en esa lista, pues el conjunto de los irracionales no es numerable. Totalmente correcto.

El problema es que de aquí das un salto a creer que esto implica de alguna forma que hay intervalos sin racionales, y eso no es así. Sigamos con tu procedimiento: me cojo un \( I_x \) irracional fuera de la lista. No lo puedo colocar intercalado entre dos racionales, por como tengo la lista. Si lo pongo intercalado, me queda algo del estilo:
\( ...,Q_i,I_i, I_x,Q_{i+1},I_{i+1},...  \)
Perfecto. Pero esto, ¡no quiere decir que no haya racionales entre \( I_i \) e \( I_x \)! Quiero decir, tienes que \( Q_i < I_i < I_x < Q_{i+1} \) (orden usual de \( \Bbb R \), si lo has elegido así). Pero existirá un \( Q_n \) racional, que ya está en la lista, tal que \( Q_i < I_i < Q_n < I_x < Q_{i+1} \). Y no hay ningún problema ni ninguna contradicción. El tema está en que no puedes ligar el orden en la lista con el orden usual de los reales, porque cualquier enumeración de los racionales necesariamente va a estar desordenada (según el orden de los reales).

Lo que no acabo de entender es lo que dices del argumento de Cantor. Allí lo que tienes es un procedimiento para, a partir de cualquier lista de reales, producir un real que no está en la lista. Pero aquí no tienes tal cosa. Como te he dicho, cuando llegas a la situación:
\( ...,Q_i,I_i, I_x,Q_{i+1},I_{i+1},...  \)
no hay manera de producir un "nuevo" racional que esté entre \( I_i \) e \( I_x \), sino que tal racional ya se encuentra en alguna posición de la lista. No acabo de ver lo de la "misma lógica".

[Luis Fuentes]

Hola

 Suscribo lo dicho por geómetracat. Añadiré alguna cosa más. Antes de comentar párrafos específicos, una reflexión más general que no se si te ayudará, pero leyéndote creo que son cosas que has de tener en cuenta.
 
 1) Olvídate por un momento del asunto de los cardinales. Supón que no has leído nada, ni te planteas, nada ni sabes nada sobre cardinales infinitos ni sobre que el cardinal de los irracionales es mayor que el de los racionales. ¿En ese caso tienes alguna duda, o ves alguna falla, o hay algo que te choque sobre la densidad de los racionales en los irracionales y viceversa?. ¿Es decir "ves" claro que entre cualquier par de racionales hay (al menos y de hecho infinitos) un irracional y viceversa? ¿Ves claras las afirmaciones que pusiste en azul a geómetracat?. Mientras no lo veas claro, yo no pasaría a hacer intervenir en todo esto el asunto de los cardinales.

 2) En cuanto a los cardinales infinitos. Algunas reflexiones.

 2.1) El comportamiento de los conjuntos infinitos choca fácilmente con la intuición. Incluso sólo con conjuntos numerables. Es razonable pensar que hay la mitad de números pares, que de números naturales; pero también es fácil defender que hay los mismos números pares que naturales, ya que los  naturales se pueden reetiquetar multiplicándolos por dos y se "convierten" en los pares.  En otras palabras, intuitivamente uno puede defender sólidamente las dos afirmaciones: hay la mitad de pares que de naturales; hay la misma cantidad de pares que de naturales. Y de hecho ambas se pueden formalizar (cada una de ellas con el enfoque riguroso de esto). La primera puede formalizarse por ejemplo midiendo la densidad de los pares en conjuntos de naturales consecutivos.

 2.2) Y ya no te digo nada si pasamos a conjuntos no numerables. Uno puede entender la definición de que es un conjunto no numerable; pero de ahí a ser capaz de intuir, de "visualizar" un conjunto no numerable...  yo diría que es casi imposible. Los fenómenos inesperados para conjuntos no numerables se multiplican (p.ej. https://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_de_Banach-Tarski)

 2.3) Moraleja: razonar intuitivamente, vagamente, informalmente, de manera poco rigurosa sobre conjuntos infinitos es traicionero, tramposo. Si uno se quiere mover por esos terrenos conviene doblar esfuerzos en expresarse con precisión. Dos afirmaciones aparentemente opuestas como  "hay la mitad de pares que de naturales"; "hay la misma cantidad de pares que de naturales", podrían ser ciertas al mismo tiempo si cada una de ellas se formaliza de la manera correcta. Este es el motivo en que en muchas de mis respuesta te fuerce a precisar de que estás hablando exactamente.

 2.3) En la línea de lo anterior: puede haber muchas cosas que resulten chocantes, relacionadas con la cardinalidad de conjuntos infinitos. Pero si uno quiere estudiarlas/criticarlas tiene que hacerlo de la manera más rigurosa y precisa posible, en otro caso no hay manera de decidir que es cierto y que es falso.
 

Pero es que si los repites no estas construyendo mi tabla, será otra, pero no la que te propongo.
En mi lista cada racional esta una sola vez, olvídate del orden depende de $$f$$ , 
para los irracionales los escojo al azar y voy los pongo intercalados entre  cada par racionales (anterior-siguiente) que haya listado dentro de la lista entera, exhaustivamente , tengo la misma cantidad de racionales intercalados con irracionales.
Luego elijo otro irracional al azar $$I_x$$ y lo quiero incorporar intercalado en la lista sin crear una alteración del patrón alternado, ¿Se puede ? ¿No, no?
Bien, ahora aún así lo ponemos en una posicion $$i$$  tienes $$...,Q_i,I_i, I_x,Q_{i+1},I_{i+1},... $$
ahora lo que quiero es que pongas un racional cualquiera al azar, colocada entre la posición de $$I_i$$ y la de $$I_x,$$, con una sola regla que el que escojas,  no se repita con ninguno de los que ya están en la lista , lo mismo que sucedía cuando Cantor encontró aquel que no estaba en su lista. ¿Existe un racional que cumpla? , para mi no, porque la lista de los racionales que hice fue exhaustiva, estaban todos los racionales, luego creo que mi lista "demuestra" lo mismo que la de Cantor , sigue la misma lógica , a eso el titulo del hilo,  es decir que  hay sobreyectividad, por eso me suena raro y me lleva a concluir que podría haber intervalos de irracionales entre racionales. Se entiende que busco el fundamento de por qué estoy equivocado y no que pretendo de modo alguno hacer nueva matemática.

Sobre esto ya te ha contestado geómetracat. Y sinceramente me sigue pasando lo mismo que a él; sigo sin entender que analogía ves en todo esto con el argumento de Cantor.

La frase que he marcado en rojo no la entiendo; ¿hay sobreyectivad EXACTAMENTE en qué aplicación? Una lista tal como la estamos entendiendo es una aplicación de los naturales en otro conjunto \( f:\Bbb N\to \Bbb X \).

En tu construcción comienzas con una lista de todos los racionales. Bien eso es una aplicación biyectiva (inyectiva y sobreyectiva) \( f_1:\Bbb N\to \Bbb Q \). Luego a esa lista le añades un irracional entre cada par de racionales. Eso sería una segunda aplicación:

\( f_2:\Bbb N\to \Bbb Q\cup \Bbb I \)

donde ahora NO es sobreyectiva por que en la lista no están todos los irracionales.

Luego quieres ir añadiendo algunos irracionales más; cada vez que añadas uno tienes una nueva lista. Pongamos que has añadido 1000 irracionales más en la lista. Eso es una nueva aplicación:

\( f_n:\Bbb N\to \Bbb Q\cup \Bbb I \)

que tampoco es sobreyectiva, porque es imposible que una aplicación sobreyectiva "cubra" todos los irracionales (eso lo demostró Cantor).

Por otro lado dices "demuestra lo mismo que Cantor, ..., es decir que hay sobreyectividad". En realidad Cantor demuestra justo lo contrario que es IMPOSIBLE que exista una aplicación sobreyectiva de los naturales en los reales.

Cuando me dices "tanto como",   a mí me la idea de probabilidad  50-50 , cuando leí que dicen probabilidad 1 para un irracional. Cosa mía de ahí el "infinitamente"

Porque estoy hablando de la propiedad de densidad sin pensar en la cardinalidad de los conjuntos; eso es otro tema. Y a efectos de densidad se comportan igual racionales e irracionales. Insisto en que separes ambas cosas en tu cabeza. Esto tiene que ver con las reflexiones que hice al principio del hilo.

Intenta no expresarte así. Todas las propiedades que te estamos diciendo que se cumplen, se pueden formular sin nada "raro", sin pasos al límite ni nada parecido.

Descuenta que jamás propondría que lo que me dicen no es cierto, lo siento si así se entendió y pido disculpas, solo quiero ver porque a mí y solo a mí no me cuadran las piezas de este rompecabezas.

No, pero no me refería a eso. Quizá no me he explicado bien. Tiene que ver con el punto 2 (o más concretamente punto 2.3) de la reflexión que hice al principio del hilo; si uno pretende analizar conjuntos infinitos ha esforzarse en ser riguroso, en otro caso una misma frase puede ser verdadera o falsa dependiendo de que interpretación precisa se le quiera dar.

Sabemos que en el conjunto de los naturales el elemento infinito no es parte del conjunto, luego corolario mio cualquier natural es finito, (pero no acotado) ,

"Cualquier natural es finito pero no acotado". Esta frase es rara. Cuando dices "cualquier natural" estás hablando de una propiedad para cada uno de los números naturales. Estás diciendo:

- El uno es finito pero no acotado.
- El dos es finito pero no acotado.
- El tres es finito pero no acotado.
- etc...

¿Realmente querías decir eso?. No tiene sentido decir que un sólo número es no acotado. Y decir que un número es finito, es decir poca cosa: todos son finitos.

¿Qué se supone que querías decir ahí?.

Lo que se tiene es que el conjunto de todos los números naturales NO es acotado.

entonces siempre $$1/n >0$$ y de modo que en [1,1+1/n] podría colocar irracionales para cualquier $$n$$,(llevandoles la contra)

Buffff de nuevo la frase me parece ambigua. No se si quieres decir:

1- Que para cada \( n \) siempre puedes encontrar un \( x_n \) irracional (que puede variar al variar \( n \)) tal que \( x_n\in [1,1+1/n] \). (VERDADERO)

ó

2- Que existe un \( x \) irracional tal que \( x\in [1,1+1/n] \) para todo \( n\in \Bbb N \). (FALSO)

Si querías referirte a una de las dos cosas, en lo sucesivo escríbelo como (1) ó como (2); pero tal como lo has escrito es ambiguo. Yo entendería que te refieres a (1), pero como luego dices "llevándoles la contra" quizá te refirieses a (2).

bien que así lo veía yo y la única justificación que encontraba a llegar a la cantidad de irracionales cero en ese intervalo es el paso al límite, que me señalaste que no hace falta llegar a eso para  que lo pueda entender. Y justamente eso quiero hacer entender, y no asumir lo que me dicen que tiene que ser porque así es...  resumiendo mi creencia en que $$n$$ siempre es finito hace que no pueda entender que no haya un irracional mayor cuyo inverso este dentro del intervalo.

¿Dentro de qué intervalo?. ¿Cuál es "ese" intervalo?

Un intervalo (cerrado) es un conjunto \( [a,b] \) con \( b\geq a \) números reales que representa el conjunto de números comprendidos entre \( a \) y \( b \). Si el intervalo \( (a,b) \) es abierto, es lo mismo pero dejando fuera los extremos.

Por momentos me pareciera que quieres hablar del "intervalo" \( [1,1+1/n] \) cuando \( n\to \infty \). Pero eso no es nada. No significa nada concreto. Si tu hablas de un intervalo indica claramente sus límites. Si te refieres a simplemente tomar como límite derecho del intervalo \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}1+1/n=1 \), pues directamente estás hablando del intervalo \( [1,1] \) que es el conjunto formado por un sólo número: el \( 1 \).

Es que no quiero llevarlo a todos los intervalos a la vez, una justificación es que si cumple para el mínimo intervalo lo cumplirá para todos los otros mas amplios.

¿De qué mínimo intervalo hablas? Concreta. Como te he dicho antes no hay trampa ni cartón para determinar un intervalo: basta que indiques su extremo izquierdo y su extremo derecho. Entonces cuando dices "mínimo intervalo", ¿de qué intervalo hablas?.

Dicho de otro modo pensar $$n$$ finito aún sin cota,  tiene que cumplir que haya irracionales mayores con su inverso dentro del intervalo sin cota inferior.

  Reitero: ¿qué intervalo?.

Y esto no tiene nada que ver ni con irracionales. Trabaja sólo con fracciones de enteros (con racionales). En \( (1,1+1/n) \) puedes encontrar el racional \( \color{blue}1+\color{black}1/(2n) \), pero no un racional que esté al mismo tiempo en TODOS esos intervalos \( (1,1+1/n) \).

O bien existe la errata que señalo, y entiendo el sentido de la frase, o bien no entendí la frase.

Me perdí. ¿Qué errata señalas?.

Saludos.

[feriva]

Hola, Richard.

He citado una serie de fragmentos de lo que has escrito, donde manejas la misma idea. Entiendo que planteas que no hay suficientes racionales para que se cumpla la propiedad de que entre cada par de irracionales siempre haya un racional

Ni más ni menos, pregunto porque eso no se puede demostrar, obviamente porque me diran que es falso, y busco saber porque?

Yo propongo una demostración aquí

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=127203.msg522200#msg522200

Puede que no convenza; en ese caso estoy abierto a escuchar objeciones o a que se me pidan aclaraciones.

...

Me parece ver que se te siguen escapando detalles importantes sobre la construcción de la tabla que sale en la Wiki (cosa que sería normal si fuera así, porque no está bien explicada del todo).

En primer lugar, no es la tabla de “los” reales, es la tabla de “algunos” reales. Y hay infinitos, pero numerables. Esto quiere decir simplemente que las celdas donde van las cifras no se acaban y las filas tampoco.

Así que, intuitivamente, parece que ahí cabrán todos los reales de infinitas cifras; donde todos los reales tienen infinitas si añades una coma e infinitos ceros donde haga falta.

En principio cabe el número pi, el número “e”... el 7... todos los reales formando una matriz cuadrada; eso es lo que dice la intuición, porque no hay límite de cifras ni de filas; filas que están en la misma “cantidad” que las celdas, infinito, pues es una matriz cuadrada, una matriz de \( infinito\times infinito \).

Por tanto, no tiene sentido considerar números que ocupen con sus cifras más de infinitas casillas (si se hace eso claro que no caben en la tabla). Así que dichas cadenas de cifras, si son más largas que la dimensión de la matriz cuadrada, no tienen sentido ninguno (y eso implica, por cierto, que no pinten nada los hiperreales ésos).

Pero en la diagonal se pueden construir números infinitos igual de largos que los de las filas y los cuales no están en la tabla; muchísimos, basta pensar simplemente en las variaciones con repetición de las cifras en una tabla finita \( n\times n \); en la medida que “n” es más grande, la diferencia entre la cantidad de variaciones y “n” va siendo más grande.

Ahora date cuenta de que en la diagonal se van a poder construir también números racionales que no están en la tabla, no sólo irracionales; pero menos, pese a que sean infinitos también, porque el hecho de que sean periódicos limita mucho la cantidad de variaciones que podemos hacer con las cifras.

En esa tabla, metiendo sólo racionales, en vez de reales al azar, caben todos los racionales representados de infinitas maneras; porque esta idea “cabe” en infinitas filas de infinitas celdas, no hay impedimento; cabe repetir los primos, cabe repetir los primos al cuadrado y otras potencias, caben todas la fracciones equivalentes de los racionales... Pero también caben todavía, si se quieren meter también, todos los irracionales sueltos que queramos; irracionales que se puedan identificar con puntos discontinuos de la recta o un segmento. Porque el cardinal no supone la idea de una cantidad al uso aunque se diga así, simplemente supone que podemos ir contando las cosas sin dejarnos ninguna.

Un número periódico queda determinado en cuanto aparece el primer periodo; ya no se confunde con ningún otro número y sus representaciones tampoco, no importa que no exista su siguiente ni su anterior. Un irracional, en cambio, no se puede determinar de esa manera; dado que al no tener límite de longitud los perdidos, nunca podremos saber si sus cifras se repetirán o no.; hay que determinarlos de otra manera (y esto a veces es muy complicado, supone un reto matemático grande).

Cuando hablamos de que un número está entre otros dos nos referimos al valor, no a que sea periódico o no, no tiene nada que ver con que se puedan formar muchas mas variaciones de números no periódicos de infinitas cifras.

Las cifras de la izquierda (primera, segunda, tercera...) son las que más influyen a la hora de determinar el valor y, en la medida que se avanza hacia la derecha, valen menos. Cuando comparamos el valor de dos números, es imposible hacerlo a través de una cifra que esté infinitamente a la derecha; no consideramos que exista esa pasibilidad. Así que eso no influye nada.

Si se demuestra que entre dos irracionales tan cercanos como se quiera hay al menos un racional (también se puede ver que hay infinitos fácilmente siguiendo lo que digo) se está demostrando que entre dos irracionales siempre hay al menos un racional (es decir lo mismo de otra manera) pero no se está diciendo que sean los más cercanos posibles, porque, de hecho, dentro de ésos, aún hay infinitos irracionales más; y también infinitos racionales. Y así sin que haya un límite de angostura.

Saludos.

[Richard R Richard]

no hay manera de producir un "nuevo" racional que esté entre \( I_i \) e \( I_x \), sino que tal racional ya se encuentra en alguna posición de la lista. No acabo de ver lo de la "misma lógica".

Bien, seguiste mi línea de pensamiento, pero aún así no se ve lo que yo creo ver. No voy a hacer un hilo interminable e indigerible, así que me pienso mejor como preguntar porque no se observa eso que creo ver y concluir, desde ya muchas gracias por el tiempo y esfuerzo que ponen en hacérmelo aprender.

Suscribo lo dicho por geómetracat.
¿En ese caso tienes alguna duda, o ves alguna falla, o hay algo que te choque sobre la densidad de los racionales en los irracionales y viceversa?.

La viceversa sería el asunto, digamos que si uno son mas que otros  no un 50%-50% me choca que no se entienda que dado que a partir de un ejemplo 50%-50% como es mi lista, se observe que se puede torcer el 50%-50% hacia el 100% de irracionales agregando sin repetir y no se pueda de alguna manera demostrar que la densidad de los racionales es para mi una mera ilusión,(o bien de lo que no estoy convencido con los argumentos que siempre me han dado, no quiero me convenzan, quiero quizá otro argumentos, me los han dado no lo niego,  quiero aprender y solo yo mismo darme cuenta, de porque todos ven blanco y yo veo negro) solo veo que no lo puedo probar porque no puedo escribir todas las cifras de dos irracionales. Por lo tonto no cuestiono que no tengan razón, quiero darme cuenta de porque no la tengo.

El punto 2.1 de tus comentarios , si me ha costado en su momento , fuiste testigo, pero lo he digerido, lo comprendo y entiendo , no puedo detectar si eso mismo me pasa ahora, quizá  releyendo con mas calma y no repitiéndome al escribir porque como me pasaría a mi , entiendo los desanimará.
La paradoja la desconocía, no tengo el conocimiento para poder afirmar o contradecir nada de eso, solo que se me hace parecido a la parábola donde Jesús multiplica el pan y el vino.
Para 2.3 ya sabes que mi formación no me permite ser muy riguroso, aunque lo intento, buscando fundamentos por internet (otra cosa es si estos fundamentos los entiendo como debe ser).

Sobre esto ya te ha contestado geómetracat. Y sinceramente me sigue pasando lo mismo que a él; sigo sin entender que analogía ves en todo esto con el argumento de Cantor.

Cantor no repitió ningún natural en su lista $$n\to r$$ simplemente eligió una lista  de reales y empezó a numerarlos $$1,\to 0.5235...2\to0.2376...3021\to 0.0127...$$ cuando se dio cuenta que le faltaban naturales con su argumento diagonal, suponiendo el resultado posible fuese 0.4179... no volvió sobre sus pasos y asignó otro por ej $$3021\to 0.4179...$$ teniendo su lista entonces dos naturales con el número 3021, repito eso no hizo. Entiendo que ustedes se preguntan "¿porque no vas a poder poner un $$q$$ entre $$I_i$$ e $$I_x$$?" y es que  simplemente estoy "aplicando la misma lógica", me comentan que debería repetir un $$q$$ que ya esta en la lista y eso no se puede si sigo lo que Cantor creo que hizo y expliqué.  Luego no queda otra que haya dos racionales seguidos en mi lista, como tambien concluyeron. Ahora como mi lista es un caso particular de los que pueden escribirse, la recta de los reales es otro particular, y debería para mi criterio suceder lo mismo en este y ese conjunto o lista, pero como contraargumento está lo que me indican de la densidad que me explican que entre cada par de i ya hay infinitos q , lo cual es contrario a lo que acabo de explicar como lo entiendo.

Lo que se tiene es que el conjunto de todos los números naturales NO es acotado.

Si me refería al conjunto no cualquier elemento en particular.

2- Que existe un \( x \) irracional tal que \( x\in [1,1+1/n] \) para todo \( n\in \Bbb N \). (FALSO)

Bien tomo lo que me dices y si aplico la misma lógica , lo transformo en 

Que existe un \( q \) racional tal que \( q\in (1,1+\sqrt2/n) \) para todo \( n\in \Bbb N \). (FALSO)

¿Cierto o no?, se aplica o no la misma lógica, si no puedo tener ese $$q$$, porque todos los $$q$$ son mayores a uno, porque un irracional mayor a 1 no puede a la vez ser menor que ese $$q$$ y viceversa, porque se me indica que la cantidad será cero en ese caso y no otra. ¿Esto es un caso mas de lo que explicas en 2.1?

[Juan Pablo Sancho]

Lo pongo en spoiler por que es casi decir lo mismo:

Spoiler

Sea \( \sigma : \mathbb{N} \to [0,1] \)
Hay racionales que pueden tener dos representaciones por ejemplo \( 0.4 = 0.3999999 \cdots \).
Sea \( \sigma(n) = 0.b_1^nb_2^n \cdots b_n^nb_{n+1}^n..... \)
Tomo \( x = 0.x_1x_2x_3...x_n.... \in [0,1]  \) con la siguiente característica.
Para cada \( n \in \mathbb{N}  \) puedo hacer \( x_n \in \{1,2,3,4,5,6,7,8\} \setminus \{b_n^n\}  \).
Entonces como \( x \) no tiene ceros ni nueves no puede ser otra representación de un racional de la lista y como para cada n-ésimo dígito se tiene \( x_n \neq b_n^n  \) tenemos que \( x \in [0,1] \) y para todo \( n \in \mathbb{N} \) tenemos \( x \neq \sigma(n)  \) , de otra forma \( x \notin \sigma(\mathbb{N}) \).
Lo que hemos probado es que dado una aplicación de los naturales en \( [0,1] \) se tiene que \( [0,1] \setminus \sigma(\mathbb{N}) \neq \emptyset \), da igual la aplicación que sea.
Si ahora tomas otra aplicación \( \sigma_1 \) que sus valores no sean ninguno de los valores de la otra aplicación y lo mismo con \( \sigma_2 \)...\( \sigma_m \) y tomas una aplicación \( \omega:\mathbb{N} \to [0,1]  \) tal que tome todas las images de todas las infinitas aplicaciones anteriores \( \omega(\mathbb{N}) = \bigcup_{k=1}^{+\infty} \sigma_k(\mathbb{N})  \) al ser una aplicación de los naturales en \( [0,1] \) no cubre todo \( [0,1] \) así que eso de ir poniendo más elementos  no sirve mucho.

Propiedades:

Densidad de los irracionales:
_______________________________


Veamos que entre dos números sean lo que sean (racionales, irracionales) se puede meter un irracional.
Sean \( 0\leq x < y  \) para todo natural \( n \) tenemos que \( \dfrac{\sqrt{2}}{n} \) es irracional.
Existe \( n_0  \) con \( \dfrac{\sqrt{2}}{n_0} < y-x  \) , luego tomo el conjunto \( M = \{m \in \mathbb{N} \cup \{0\} | \dfrac{m}{n_0} \sqrt{2} \leq x\}  \) este conjunto es no vacío por ser \( 0 \in M \) y tiene máximo, luego tomo \( m_0 = max(M)  \) nos queda:
\( \dfrac{m_0}{n_0} \sqrt{2} \leq x < \dfrac{m_0 + 1}{n_0} \sqrt{2} = \dfrac{m_0}{n_0} \sqrt{2} + \dfrac{1}{n_0} \sqrt{2} \leq x + \dfrac{1}{n_0} \sqrt{2} < x + (y-x) = y \)

Si \( x < 0 < y \) tomamos el caso primero en \( 0 < y \) y si \( x < y \leq 0 \) aplicamos el primer caso a \( 0 \leq -y < -x \).

Luego para dos números reales siempre hay un irracional lo que implica que hay infinitos, luego en todo intervalo abierto no vacío hay infinitos irracionales.


Densidad de los racionales:
_____________________________
Supongamos que \( y -x > 1 \).Demostrar que existe \( k \in \mathbb{Z} \) con \( x < k < y \)
Sea \( M = \{n \in \mathbb{Z} | n \leq x \}  \) y tomamos su máximo \( n_0 \) como \( y - x > 1  \) tenemos que \(  n_0 \leq x < n_0 +1 < y  \) sea \( k = n_0+1 \).
Sea ahora dos reales \( x < y \) luego existe \( n_0 \in \mathbb{N}  \) con \(  1 < n \cdot (y-x) = n \cdot y - n \cdot x  \) luego existe \( k \in \mathbb{Z}  \) con \( nx < k < ny \) luego:
\( x < \dfrac{k}{n_0} < y \) entonces entre dos números siempre hay infinitos, racionales , luego en todo intervalo abierto no vacío hay infinitos racionales.

[cerrar]

[Luis Fuentes]

Hola

Suscribo lo dicho por geómetracat.
¿En ese caso tienes alguna duda, o ves alguna falla, o hay algo que te choque sobre la densidad de los racionales en los irracionales y viceversa?.

La viceversa sería el asunto,

Antes de nada aquí echo de menos que no me hayas contestado CLARAMENTE a lo que pregunto con un SI o un NO; la cosa es acotar las discrepancias.

- "SI, incluso sin hacer intervenir el asunto de los cardinales tengo dudas sobre la densisdad de racionales en irracionales y viceversa, y las dudas son..."

ó

- "NO, si dejo a un lado el asunto de la cardinalidad, entiendo y asumo perfectamente la densidad de racionales en irracionales y vivecersa."

digamos que si uno son mas que otros  no un 50%-50% me choca que no se entienda que dado que a partir de un ejemplo 50%-50% como es mi lista, se observe que se puede torcer el 50%-50% hacia el 100% de irracionales agregando sin repetir y no se pueda de alguna manera demostrar que la densidad de los racionales es para mi una mera ilusión

,

 De este párrafo donde en seguida aludes a que son más unos que otros, es decir, a la cardinalidad, entiendo que tu respuesta a la pregunta es NO. Es decir NO tienes dudas más allá de que te choca con el asunto de la cardinalidad. ¿Es así?.

 Por otro lado vuelves a decir que el hecho de que la balanza 50%-50% se decanta un 100% de irracionales te choca con que los racionales puedan ser densos. Me soprende que no te haga cambiar este punto de vista o al menos dudar de él, lo que ya te he comentado y le expliqué a RDC. Un mismo racional SIRVE como racional intermedio a infinitos pares de irracionales; esto justifica inuititivamente (si es que se puede tener alguna intuición sobre eso) que "unos pocos racionales" basten para garantizar la propiedad de densidad entre "muchos más" irracionales. ¿Has reflexionado sobre eso? ¿no te hace ni tan siquiera replantearte un poco tu intuición inicial?.

El punto 2.1 de tus comentarios , si me ha costado en su momento , fuiste testigo, pero lo he digerido, lo comprendo y entiendo

De todas formas en el punto 2.1 lo esencial de lo que digo es que el infinito es un concepto escurridizo para la intuición. Y luego simplemente puse algunos ejemplos de cosas sobre el infinito aparentemente contradictorias que sin embargo tienen sustento intuitivo; pero casi es lo de menos los ejemplos.

La paradoja la desconocía, no tengo el conocimiento para poder afirmar o contradecir nada de eso, solo que se me hace parecido a la parábola donde Jesús multiplica el pan y el vino.

Tampoco es cuestión ahora de entender esa paradoja. Simplemente es muy chocante; a mi me pareció una tomadura de pelo la primera vez que oí hablar de ella. Pero insisto que no es para nada el tema de este hilo.

Para 2.3 ya sabes que mi formación no me permite ser muy riguroso, aunque lo intento, buscando fundamentos por internet (otra cosa es si estos fundamentos los entiendo como debe ser).

Bien. Pero yo por eso intento llevarte al camino de la rigurosidad. Y ojo no quiere decir tener que manejar símbolos o notación matemática, sino hablar de la manera más precisa posible evitando ambiguedades. Y teniendo en cuenta que no podemos afirmar cosas "porque sí", sino basadas en definiciones, axiomas y/o propiedades previamente demostradas.

Cantor no repitió ningún natural en su lista $$n\to r$$ simplemente eligió una lista  de reales y empezó a numerarlos $$1,\to 0.5235...2\to0.2376...3021\to 0.0127...$$ cuando se dio cuenta que le faltaban naturales con su argumento diagonal, suponiendo el resultado posible fuese 0.4179... no volvió sobre sus pasos y asignó otro por ej $$3021\to 0.4179...$$ teniendo su lista entonces dos naturales con el número 3021, repito eso no hizo.

Entiendo que lo que quieres decir es que Cantor cuanto demuestra que hay un real que no está en su lista, no lo inserta en ella. Podría haberlo hecho (por ejemplo asignándoselo al 1 y desplazando los demás un lugar) y entonces tendría una nueva lista donde ese real si está incluido. Pero su mismo argumento probaría que entonces hay otro nuevo real que falta. Y podría añadirlo a la lista; y tener una nueva aplicación; y así sucesivamente. ¿Y a dónde llegaría con eso? A ningún sitio; no sirve para nada hacer eso.

El argumento es más sencillo y se termina antes. El argumento es:

1- Quiero demostrar que es imposible que haya una aplicación sobreyectiva \( f:\Bbb N\to \Bbb R \).
2- Razono por reducción al absurdo:
2.1. - Supongo que existe una tal aplicación sobreyectiva.
2.2.- Soy capaz de encontrar un real que NO está en la imagen. Por tanto eso contradice que sea sobreyectiva.
2.3  FIN DE LA PRUEBA
3- Conclusión: es imposible que haya una aplicación sobreyectiva \( f:\Bbb N\to \Bbb R \).

Entiendo que ustedes se preguntan "¿porque no vas a poder poner un $$q$$ entre $$I_i$$ e $$I_x$$?" y es que  simplemente estoy "aplicando la misma lógica", me comentan que debería repetir un $$q$$ que ya esta en la lista y eso no se puede si sigo lo que Cantor creo que hizo y expliqué. 

De verdad que soy incapaz de entender que relación le ves a una cosa con otra. No entiendo que quieres decir aquí con  "aplicar la misma lógica". Lo siento.

Luego no queda otra que haya dos racionales seguidos en mi lista, como también concluyeron

.

Bien.

Ahora como mi lista es un caso particular de los que pueden escribirse, la recta de los reales es otro particular, y debería para mi criterio suceder lo mismo en este y ese conjunto o lista

No entiendo la frase en rojo. Me suena como un trabalenguas al que no encuentro sentido alguno. Con tu construcción lo único que puedes llegar es a una lista de racionales e irracionales (pero ni mucho menos de TODOS los irracionales). ¿Y bien?.

Quede claro que por lista se entiende aplicación de los naturales a un conjunto. ¿De acuerdo?.

, pero como contraargumento está lo que me indican de la densidad que me explican que entre cada par de i ya hay infinitos q , lo cual es contrario a lo que acabo de explicar como lo entiendo.

mmmm no te entiendo del todo (por no decir que no entiendo casi nada de esta frase). Pero me parece que vuelves a mezclar posiciones de los elementos en tu lista; con las posiciones de los números en la recta real. Esto fue mi primera crítica.

Hablas de que te damos "contrargumentos"; pero es que en realidad no es que contraargumentemos nada. Porque la construcción que haces está bien en un 99% tal como lo entiendo yo al menos; pero la discrepancia es que tu al final ves en ella una contradicción con la densidad de los racionales y yo no veo contradicción alguna. A mis ojos esa contradicción es algo que te sacas de la manga sin más (ojo, no dudo que tú le veas un fundamento).

2- Que existe un \( x \) irracional tal que \( x\in [1,1+1/n] \) para todo \( n\in \Bbb N \). (FALSO)

Bien tomo lo que me dices y si aplico la misma lógica , lo transformo en 

Que existe un \( q \) racional tal que \( q\in (1,1+\sqrt2/n) \) para todo \( n\in \Bbb N \). (FALSO)

Si. Correcto, eso es FALSO. Como te dije olvidándose de la cardinalidad el comportamiento de racionales e irracionales en cuanto a densidad es simétrico.

¿Cierto o no?,

Bien.

se aplica o no la misma lógica, si no puedo tener ese $$q$$, porque todos los $$q$$ son mayores a uno, porque un irracional mayor a 1 no puede a la vez ser menor que ese $$q$$ y viceversa, porque se me indica que la cantidad será cero en ese caso y no otra.

Me pierdo. No entiendo la pregunta.

¿Esto es un caso mas de lo que explicas en 2.1?

Pues como no entiendo la pregunta no sabría decirte. Sea como sea lo que el fondo de lo que te decía en 2.1 es muy genérico y vago: el infinito es traicionero para la intuición.

Saludos.

P.D. Insisto mucho todavía en que contestes a mi cuestión del hilo anterior y de manera tajante.

Nos olvidamos de la cardinalidad. ¿Alguna duda con la densidad de racionales/irracionales?.

Digo esto porque feriva y Juan Pablo estan poniendo demostraciones de esta densidad; y yo pensaba al principio que eso no te hacía falta, porque esa densidad la entiendes. Pero ya no se...

[Richard R Richard]

Es decir NO tienes dudas más allá de que te choca con el asunto de la cardinalidad. ¿Es así?.

Sí.

Por otro lado vuelves a decir que el hecho de que la balanza 50%-50% se decanta un 100% de irracionales te choca con que los racionales puedan ser densos. Me soprende que no te haga cambiar este punto de vista o al menos dudar de él, lo que ya te he comentado y le expliqué a RDC. Un mismo racional SIRVE como racional intermedio a infinitos pares de irracionales; esto justifica inuititivamente (si es que se puede tener alguna intuición sobre eso) que "unos pocos racionales" basten para garantizar la propiedad de densidad entre "muchos más" irracionales. ¿Has reflexionado sobre eso? ¿no te hace ni tan siquiera replantearte un poco tu intuición inicial?.

Una cosa es entender la respuesta que te dan, y otra que no se te ocurran formas de pensar por qué eso no sería correcto a sabiendas que vas a perder el debate , tratar de evacuar las dudas y no ser molesto en el intento.


Entonces sobre lo que me propones reflexionar es entendible, pero mi dilema no está allí. Esta cuando los dos irracionales que escoja se aproximan en valor, tanto como se me ocurra si eso es posible, el racional en medio de ambos debe tener cada vez mas cifras iguales a las de cada irracional y me parece lógico lo que ya antes le planteaba a feriva, cuantas más cifras se necesite que sean iguales a las de los irracionales( porque para ser diferentes en alguna cifra deberán tener un digito de diferencia), se me ocurre que cuando esa cifra esté en un posición decimal muy lejana de la coma, mas grandes deben ser los naturales que se deben dividir para lograr ese racional. Y me parece lógico que NO se puede hacer hasta el infinito, sino pasaría a ser ese racional un número irracional, quizá me equivoque y sea imposible  pensar que los dos irracionales que escoja difieran su primera cifra en el infinito, con infinitas diferentes luego esta claro , si es así, mi confusión se acaba.

Pero yo por eso intento llevarte al camino de la rigurosidad. Y ojo no quiere decir tener que manejar símbolos o notación matemática, sino hablar de la manera más precisa posible evitando ambiguedades. Y teniendo en cuenta que no podemos afirmar cosas "porque sí", sino basadas en definiciones, axiomas y/o propiedades previamente demostradas.

Ok, de acuerdo, machácame cada vez me salte un teorema por desconocimiento, o  por que por espebilado no razone con la claridad suficiente , porque adrede nunca lo haría.

Entiendo que lo que quieres decir es que Cantor cuanto demuestra que hay un real que no está en su lista, no lo inserta en ella. Podría haberlo hecho (por ejemplo asignándoselo al 1 y desplazando los demás un lugar) y entonces tendría una nueva lista donde ese real si está incluido. Pero su mismo argumento probaría que entonces hay otro nuevo real que falta. Y podría añadirlo a la lista; y tener una nueva aplicación; y así sucesivamente. ¿Y a dónde llegaría con eso? A ningún sitio; no sirve para nada hacer eso.

El argumento es más sencillo y se termina antes. El argumento es:

1- Quiero demostrar que es imposible que haya una aplicación sobreyectiva \( f:\Bbb N\to \Bbb R \).
2- Razono por reducción al absurdo:
2.1. - Supongo que existe una tal aplicación sobreyectiva.
2.2.- Soy capaz de encontrar un real que NO está en la imagen. Por tanto eso contradice que sea sobreyectiva.
2.3  FIN DE LA PRUEBA
3- Conclusión: es imposible que haya una aplicación sobreyectiva \( f:\Bbb N\to \Bbb R \).

Entiendo que ustedes se preguntan "¿porque no vas a poder poner un $$q$$ entre $$I_i$$ e $$I_x$$?" y es que  simplemente estoy "aplicando la misma lógica", me comentan que debería repetir un $$q$$ que ya esta en la lista y eso no se puede si sigo lo que Cantor creo que hizo y expliqué. 

De verdad que soy incapaz de entender que relación le ves a una cosa con otra. No entiendo que quieres decir aquí con  "aplicar la misma lógica". Lo siento.

Entendí lo del razonamiento por el absurdo pero me dejas rascandome la cabeza de como podría explicar que sï veo el mismo absurdo que hay en la Prueba de Cantor en el ejemplo de mi lista, al no poderse poner un racional que no se halle ya en la lista, y ya expliqué que el valor relativo de los racionales y los irracionales es indiferente a mi planteo. Bueno me lo pienso con más rigor, que es eso lo que me pides.

P.D. Insisto mucho todavía en que contestes a mi cuestión del hilo anterior y de manera tajante.

Nos olvidamos de la cardinalidad. ¿Alguna duda con la densidad de racionales/irracionales?.

Ninguna. 

Dado ese "ninguna" en la forma que se enuncia, me pongo a pensar las cosas de otra manera y pareciera que lo aceptado , no me cierra y no le hallo la explicación dónde está mi error, es difícil  expresarlo con rigor y si no puedo hacerlo con rigor intento ser creativo pero tampoco se me entienden las analogías.

Gracias por estar atento y por la velocidad de respuesta.

[Luis Fuentes]

Hola

Entonces sobre lo que me propones reflexionar es entendible, pero mi dilema no está allí. Esta cuando los dos irracionales que escoja se aproximan en valor, tanto como se me ocurra si eso es posible, el racional en medio de ambos debe tener cada vez mas cifras iguales a las de cada irracional y me parece lógico lo que ya antes le planteaba a feriva, cuantas más cifras se necesite que sean iguales a las de los irracionales( porque para ser diferentes en alguna cifra deberán tener un digito de diferencia), se me ocurre que cuando esa cifra esté en un posición decimal muy lejana de la coma, mas grandes deben ser los naturales que se deben dividir para lograr ese racional. Y me parece lógico que NO se puede hacer hasta el infinito, sino pasaría a ser ese racional un número irracional, quizá me equivoque y sea imposible  pensar que los dos irracionales que escoja difieran su primera cifra en el infinito, con infinitas diferentes luego esta claro , si es así, mi confusión se acaba.

Es que el error está en pensar que tienes que hacer algo "hasta el infinito". Una vez más no está muy claro que se supone que significa hacer algo hasta el infinito.

Tampoco tiene sentido hablar de "su primera cifra en el infinito". No hay tal cifra en el infinito. De nuevo eso no significa nada.

Un número irracional tendrá una cifra decimal en la posición cinco; una cifra decimal en la posición 500; una en la posición 10.000.000,... y una cifra decimal en cualquier posición que puedas citar mediante el correspondiente número natural. ¿Pero en el infinito? No, no hay nada de eso. No hay cifras decimales en el infinito. Hay infinitas cifras decimales pero eso es completamente diferente.

Lo que está demostrado es que dados cualquier par de irracionales distintos puedes encontrar un racional en medio. Entonces esos dos irracionales diferirán en alguna cifra decimal; esa diferencia puede aparecer en la segunda cifra decimal, en la décima o en la millonésima. Pero da igual. Eso no cambia el argumento que te explicó feriva; en cuanto haya una diferencia podemos construir el racional en medio. Y es más podemos construir infinitos racionales en medio jugando con las posteriores cifras decimales. Y como te digo no influye que los irracionales difieran en una cifra decimal muy "temprana" (pongamos la segunda) o muy "tardía" (pongamos la 10 trillonésima), ¿qué más da? A la derecha de ambas todavía quedan infinitas cifras decimales.

Entendí lo del razonamiento por el absurdo pero me dejas rascandome la cabeza de como podría explicar que sï veo el mismo absurdo que hay en la Prueba de Cantor en el ejemplo de mi lista, al no poderse poner un racional que no se halle ya en la lista, y ya expliqué que el valor relativo de los racionales y los irracionales es indiferente a mi planteo. Bueno me lo pienso con más rigor, que es eso lo que me pides.

Si sigues pensando que hay una analogía entre tu idea y la demostración de Cantor, podrías intentar expresar el esquema de tu idea en unas pocas frases, sin entrar en detalles; justo como he hecho yo con la demostración de Cantor.

Saludos.

[feriva]

Entonces sobre lo que me propones reflexionar es entendible, pero mi dilema no está allí. Esta cuando los dos irracionales que escoja se aproximan en valor, tanto como se me ocurra si eso es posible, el racional en medio de ambos debe tener cada vez mas cifras iguales a las de cada irracional y me parece lógico lo que ya antes le planteaba a feriva, cuantas más cifras se necesite que sean iguales a las de los irracionales( porque para ser diferentes en alguna cifra deberán tener un digito de diferencia), se me ocurre que cuando esa cifra esté en un posición decimal muy lejana de la coma, mas grandes deben ser los naturales que se deben dividir para lograr ese racional. Y me parece lógico que NO se puede hacer hasta el infinito, sino pasaría a ser ese racional un número irracional, quizá me equivoque y sea imposible  pensar que los dos irracionales que escoja difieran su primera cifra en el infinito, con infinitas diferentes luego esta claro , si es así, mi confusión se acaba.

Es abstracto pero no deja de ser intuitivo (al menos para mí).

Si piensas en dividir un trozo de materia muchas veces, no cabe en la cabeza que se pueda convertir en la nada absoluta por ese procedimiento; se transformará en energía o lo que sea, pero no desaparecerá (yo no puedo visualizar eso, no digo que no pueda ocurrir o no en el mundo físico, porque tampoco entiendo cómo podrían haber salido las cosas de la nada o, en otro caso, existir desde siempre).

Así que si pienso en un número muy pequeño no puedo evitar esa idea, detrás de muchos ceros acabará llegando una cifra distinta de cero siempre (si ese número procede de una división). Y detrás de esas cifras vendrán otras, o bien ceros, o bien las que sea. Luego en mi cabeza siempre está la posibilidad de prescindir de esas cifras de detrás, con lo que tengo una última cifra y, ya, el número se acaba y no puedo definirlo como de infinitas cifras, porque es una contradicción; es de sentido común.

Por otra parte se me ocurre pensar en sumar o restar a mano dos números cualesquiera; yo lo hago así y no sé hacerlo de otra manera:

Tomo un número y lo pongo encima de otro para después empezar sumando o restando las dos cifras de las unidades, las que están al final por la derecha. ¿Qué pasa si no terminan los números? Pues que no puedo sumarlos ni restarlos porque no encuentro las unidades, no puedo empezar la operación por las decenas o las centenas... y, dentro de lo abstracto que sea, lo más sensato que se me ocurre, en caso de que esos números formen una sucesión infinita de ceros así 0,000... es decir que son iguales.

No sé, ¿qué otra cosa se te ocurre a ti?

Y, si acordamos que son iguales, ¿qué número decimos que es ése?

Con los “números” infinitamente grandes pasa igual, tampoco podemos hacer la operación y tendremos que convenir que son la misma cosa. Es la salida que se me ocurre. Independientemente de que después se pueda definir lo que se quiera, me parece la idea que tiene más sentido común (que es dicen que es el menos común de los sentidos, pero bueno).

Tienes que separar la visión conjuntista de la análitica.

Analíticamente el valor de un irracional tiende al valor de un racional, pero en la teoría de conjuntos no se mira tanto el valor del número sino su identidad como elemento. Quizá se pueda decir (es cosa mía, no lo tomes como una definición) que la cantidad de valores irracionales no son más en cantidad que los racionales analíticamente hablando. Sin embargo, analíticamente, también es necesaria su existencia, ya que, si no existieran los irracionales, no habría forma de justificar la existencia de los racionales. Esto es debido a que los periodos de un número racional se repiten infinitamente y, además, no tienen límite de cifras, por lo que si no considerásemos la existencia de un “periodo” infinito (que ya no es un periodo y da lugar a un irracional) pondríamos limite a las cifras de los periodos racionales y a sus repeticiones, no podrían “estirarse” tanto como quisieran, con lo cual habría una cantidad finita de ellos. Así que tienen que existir los irracionales necesariamente, se observe desde un punto de vita o de otro, pero eso no quiere decir que se puedan mezclar a la ligera ambos puntos de vista. No los mezcles y verás todo con mucha más claridad.

Saludos.

[Carlos Ivorra]

No he seguido este hilo con detalle, pero voy a decir alguna cosa a ver si le sirve de algo a Richard.

En primer lugar vamos a dar una demostración de que ente dos números reales (da igual que sean racionales o irracionales) hay siempre un número racional que no dependa para nada de expresiones decimales, que parece que lían.

Tomemos dos números reales \( \alpha <\beta \). Por simplicidad voy a suponer que \( 0< \alpha <\beta \). El caso general se reduce a éste fácilmente.

Reducción

Supuesto que ya hemos probado que entre dos números positivos hay siempre un número racional, en el caso en que \( \alpha = 0<\beta \), basta aplicar el caso positivo a \( \beta/2<\beta \), con lo que obtenemos un número real \( \alpha = 0<\beta/2<r<\beta \) que cumple lo requerido.

Así, ya lo tenemos probado cuando \( 0\leq \alpha <\beta \).

Si es \( \alpha <\beta \leq 0 \), entonces \( 0\leq -\beta<-\alpha \), y por el caso anterior existe un número racional \( 0\leq -\beta<r<-\alpha \), con lo que \( \alpha<-r<\beta \) cumple lo requerido.

Sólo falta el caso en que \( \alpha <0<\beta \), pero entonces sirve \( r=0 \).

[cerrar]

Tenemos que \( \beta-\alpha >0 \), luego también \( 1/(\beta-\alpha)>0 \), y podemos tomar un número natural \( q \) tal que \( 1/(\beta-\alpha)<q \). Por ejemplo, basta tomar la parte entera de \( 1/(\beta-\alpha) \) y sumarle 1.

Manipulando: \( 0<1/q < \beta-\alpha \) o, también, \( \alpha <\beta-1/q \).

Ahora consideramos \( q\alpha >0 \), y podemos tomar, como antes, un número natural \( p \) tal que \( q\alpha <p \), pero no tomamos uno cualquiera, sino el menor posible. Equivalentemente, \( p \) es el menor número natural que cumple \( \alpha <p/q \). Basta razonar que también \( \alpha <p/q<\beta \), pues entonces \( r=p/q \) cumple lo requerido.

Ahora bien, si, por el contrario, fuera \( \beta\leq p/q \), entonces

\( \alpha <\beta-\dfrac1q\leq \dfrac pq-\dfrac1q = \dfrac{p-1}q \),

con lo que \( p-1>q\alpha \) en contradicción con que \( p \) era el menor número natural que cumple esto.

Así termina la prueba. Sin decimales.

Ahora conviene entender la idea intutiva que hay detrás de este argumento. Pensemos que \( \alpha \) y \( \beta \) son dos puntos en la recta real separados por una distancia \( \beta-\alpha \). Al tomar el número \( q \) de modo que \( 1/q<\beta-\alpha \), tenemos que si una pulga parte de \( 0 \) y va dando saltitos de longitud \( 1/q \), de modo que va cayendo en \( 1/q, 2/q, 3/q, \ldots \) tarde o temprano, al cabo de \( p \) saltitos, sobrepasará \( \alpha \) y llegará a un número \( \alpha <p/q \), y la clave es que entonces necesariamente \( \alpha <p/q<\beta \), porque si los saltitos de la pulga miden \( 1/q<\beta-\alpha \), no puede ser que a la vez que supera \( \alpha \), supere también \( \beta \), porque para ello su saltito tendría que haber medido más de \( \beta-\alpha \).

En otras palabras: para situar un número racional entre dos números reales \( 0<\alpha <\beta \), basta con fijar un paso \( 1/q<\beta-\alpha \) y caminar a saltitos de longitud \( 1/q \), con la garantía de que, en uno de esos saltitos, caeremos entre los dos números, ya que no damos zancadas capaces de saltar los dos a la vez.

Y esto nos lleva a la cuestión de que \( \mathbb Q \) es numerable. En efecto, ¿y qué?

Mediante saltos de longitud \( 1 \) podemos situarnos entre cualquier par de números reales que disten más de \( 1 \).

Mediante saltos de longitud \( 1/2 \) podemos situarnos entre cualquier par de números reales que disten más de \( 1/2 \).

Mediante saltos de longitud \( 1/3 \) podemos situarnos entre cualquier par de números reales que disten más de \( 1/3 \), etc.

Y, como cualquier par de números reales distan menos de 1, o menos de 1/2, o menos de 1/3, etc., resulta que siempre podemos encontrar un número racional entre ellos. Sólo tenemos que buscarlo entre las fracciones con denominador suficientemente grande (= longitud del saltito suficientemente pequeña como para no dar zancadas). Y esto es una cantidad numerable de números racionales, ¿y qué?